精品解析：贵州省毕节市七星关区第三实验学校2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题

贵州省毕节市七星关区第三实验学校2025秋7-9年级第二次 教学质量检测九年级数学试卷 （考试总分：150 分 考试时长：120分钟） 一、 选择题 （每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：①以及含的式子（例）、带根号且开不尽方的数（例）、无限不循环小数（例（每两个1之间0的个数增加1））． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 2是有理数，不符合题意； B. 是无理数，符合题意； C. 0是有理数，不符合题意； D. 是有理数，不符合题意； 故选：B． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 3. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 根据水中的两条折射光线是平行的可求得，根据水面和杯底平行得的度数即可． 【详解】解：如图， ∵水中的两条折射光线是平行的， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ， ． 故选：B． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 是关于x的一元二次方程 C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 连续九次抛掷同一枚质地均匀的硬币都是反面朝上，第十次抛掷该硬币，正面朝上的可能性大于 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、一元二次方程的定义、正方形的判定、随机事件的可能性大小，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、平行四边形是中心称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、是关于x的一元二次方程，故该选项不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故该选项符合题意；； D、连续九次抛掷同一枚质地均匀的硬币都是反面朝上，第十次抛掷该硬币，正面朝上的可能性与反面朝上的可能性是一样大，故该选项不符合题意；． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、一元二次方程的定义、正方形的判定以及概率等知识内容；大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）． 6. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ） A. B. C. 7 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义．设另一根为a，利用根与系数的关系得到关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：设另一根为a， 则， 解得：， 故选D． 7. 如图，在菱形中，点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，再由点C的坐标和点A的坐标得出OA＝2，AC＝6，则DE＝2，AE＝3，即可解决问题． 【详解】解：连接AC、BD交于点E，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD， ∵点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，2）， ∴OA＝2，AC＝6， ∴BE＝DE＝OA＝2，AE＝3， ∴BD＝2DE＝4， ∴点D的坐标为（3，4）． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键． 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 9. 如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键． 先计正方形和空白部分的面积，然后计算空白部分的面积与整个图形的面积的比即可解答． 【详解】解：∵整个正方形的面积为，空白部分的面积为：， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故选：B． 10. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E．若D为的中点，，则的面积为（ ） A. 40 B. 36 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的定义、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握三角形中位线的定义是解题的关键． 如图：连接，由题意可得垂直平分线段可得，，即；再运用勾股定理可得；然后说明是的中位线可得、，即；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得垂直平分线段， ∴，，即 ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选C． 11. 如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 4.5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系． 先求出BC′，再由图形折叠特性知，，在中，运用勾股定理求解． 【详解】解：∵点是AB边的中点，， ∴， 由图形折叠特性知，， 在中，， ∴， 解得，， 故选：A． 12. 若一元二次方程的两个根为m，n，则一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得出，再根据一次函数的性质得出直线经过的象限，从而得出结论 【详解】一元二次方程的两个根为， ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【详解】解：原式==， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键． 14. 在一个不透明的袋中装有个红球和若干个白球（除颜色外其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则袋中白球的数量是_______个． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数是解题关键． 【详解】解：解：设白球个数为x个， ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， ∴， 解得：， 经检验是方程的解，故白球的个数为个． 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握这两个知识点是关键；根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于或等于零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， ∴且． 16. 如图，在矩形中，点是边上的一点，点，分别是，的中点，延长，交于点．若，，，则的长为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理及其逆定理等知识，熟练运用以上知识点，利用中点作出适当的辅助线，构造全等三角形和三角形中位线是解题的关键．过点作交于点，可得是的中位线，，是的中位线，．延长交于点，易证，，．过点作于点，易证四边形是矩形，．在中，，，通过勾股定理即可求的长，从而求的长． 【详解】解：如图， 过点作交于点， 点是的中点，， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ； 延长交于点， ∵， ∴ 又， ， ，； 过点作于点， 四边形是矩形，； 点是的中点， ， 在中，，， ． 故答案为 ：． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再从1，2，中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】（1）3；（2），把代入原式得 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再计算加法即可得解； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后结合分式有意义的条件代入符合题意的值计算即可得解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 分母不等于0 把代入原式得． 18. 计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 （1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 【答案】（1）二；二 （2） 解：按嘉嘉的解法：原方程可化为：， ∴， ∴或, 解得：； 按琪琪的解法：原方程可化为：， 当时，， 当时，两边都除以，得， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可； （2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉从第二步开始错误，因为方程左边因式分解出现了错误； 琪琪从第二步开始错误，因为她方程两边同时除以时，没有分情况讨论． 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，延长至，使得，过点A，分别作，与相交于点下面是小红、小星这两位同学的对话： （1）请你根据题中的条件和小红同学的说法，证明：； （2）你认为小星同学的说法是否正确？如果正确，试说明理由． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小星：受你的启发，我还发现：若连接，交于点，则可证明． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ， ∴. （2） 解：小星说法正确，理由如下： 如图，连接， 设交于点F， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握平行四边形和矩形的判定方法是解题的关键． （1）如图：连接，证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）如图，，设交于点F，由矩形的性质可得，可得是中位线，最后根据三角形中位线的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 贵州省2025年师生信息素养提升实践活动中，初中组部分比赛项目：A．数字绘画，B．微电影，C．3D创意设计，D．创意编程，E．算法设计，某校为了解学生的报名情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了______名学生；请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数； （3）现从“创意编程”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加编程比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）50； 补全图形如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，列表法求概率，求扇形统计图的圆心角， 对于（1），先根据A项的人数及所占百分比得出总人数，再求出C项的人数，并补全统计图即可； 对于（2），用E项的人数除以总人数，再乘以即可； 对于（3），列出表格得出所有可能出现的结果，进而得出符合题意的结果，即可得出答案. 【小问1详解】 解：50，， 所以一共抽取50名学生，选择C项的人数为10名同学. 故答案为：50； 【小问2详解】 解： ∴扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 —— （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） —— （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） —— （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） —— 由表可知，共有12种等可能的情况发生，其中恰好选中甲、乙两名同学的有2种结果． ∴. 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 22. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 23. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF， （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长． 【答案】 （1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）12 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证出，然后由矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，，然后由勾股定理求出，则，最后由菱形的面积，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）四边形是菱形，， ，，，， ， ， ，， ， ， 菱形的面积， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 24. 【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ， 当时，的最小值是4． （1）【类比探究】求代数式的最小值； （2）【举一反三】若代数式：当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； （3）【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）3 （2），大，1 （3）当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了配方法求代数式最大值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．正确的配方是解题的关键． （1）将原式配方，根据，再根据不等式的性质求解即可； （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可； （3）设，由长方形与长方形面积比为，得到，再根据栅栏总长度表示出的长度，由面积公式建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值，注意的取值范围． 【小问1详解】 解： ， ， 时，取最小值，且最小值为3； 【小问2详解】 解： ， ， 时，取最大值，且最大值为1， 故答案为：，大，1； 【小问3详解】 解：设， ∵长方形与长方形面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为48， 即当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为． 25. 【问题情境】 如图，四边形是正方形．过点C在正方形的外侧作射线，．作点D关于射线的对称点E，线段交射线于点M，连接交直线于点F． 【探究发现】 （1）当时，的度数为___________度； 【猜想论证】 （2）在（1）的条件下，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】 （3）若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2），证明如下： 如图所示，过点作，交与点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）BF的长为或． 【解析】 【分析】（1）连接，由对称的性质可得，，，结合正方形的性质，，可以得到是等腰三角形，，则，在中，利用三角形外角和定理即可得到答案； （2）线段、、之间的数量关系为，证明如下：过点作，交与点，由题意可知，得出，结合正方形性质得，证明，得到，，可得是等腰直角三角形，，由即可得到答案； （3）由题意可得，需要对两种情况分别讨论： ①当时，参照（2）中的结论即可求解； ②当时，连接，作过点作，交与点，由题意得，，得到，再根据直角关系得到，证明，得到，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 由对称的性质可得，，， ，， ， 是的一个外角， ， 故答案为：； （2）略 （3），，根据题意分为两种情况： ①当时，由（1）可知，， 由对称的性质可得：， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（2）得； ②当时，如图所示，连接，作过点作，交与点， 四边形是正方形， ，， ， ， 由对称的性质可得，，， ，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， 由对称的性质可得，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握以上知识点，能够作出适当的辅助线并进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省毕节市七星关区第三实验学校2025秋7-9年级第二次 教学质量检测九年级数学试卷 （考试总分：150 分 考试时长：120分钟） 一、 选择题 （每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 是关于x的一元二次方程 C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 连续九次抛掷同一枚质地均匀的硬币都是反面朝上，第十次抛掷该硬币，正面朝上的可能性大于 6. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ） A. B. C. 7 D. 3 7. 如图，在菱形中，点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 9. 如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是（ ）. A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E．若D为的中点，，则的面积为（ ） A. 40 B. 36 C. 24 D. 20 11. 如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 4.5 D. 5 12. 若一元二次方程的两个根为m，n，则一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算的结果是________． 14. 在一个不透明的袋中装有个红球和若干个白球（除颜色外其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则袋中白球的数量是_______个． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 16. 如图，在矩形中，点是边上的一点，点，分别是，的中点，延长，交于点．若，，，则的长为 ________． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再从1，2，中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 18. 计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 （1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 19. 如图，在中，延长至，使得，过点A，分别作，与相交于点下面是小红、小星这两位同学的对话： （1）请你根据题中的条件和小红同学的说法，证明：； （2）你认为小星同学的说法是否正确？如果正确，试说明理由． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小星：受你的启发，我还发现：若连接，交于点，则可证明． 20. 贵州省2025年师生信息素养提升实践活动中，初中组部分比赛项目：A．数字绘画，B．微电影，C．3D创意设计，D．创意编程，E．算法设计，某校为了解学生的报名情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了______名学生；请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数； （3）现从“创意编程”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加编程比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 22. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 23. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF， （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长． 24. 【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ， 当时，的最小值是4． （1）【类比探究】求代数式的最小值； （2）【举一反三】若代数式：当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； （3）【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 25. 【问题情境】 如图，四边形是正方形．过点C在正方形的外侧作射线，．作点D关于射线的对称点E，线段交射线于点M，连接交直线于点F． 【探究发现】 （1）当时，的度数为___________度； 【猜想论证】 （2）在（1）的条件下，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】 （3）若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $