精品解析：上海市宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

罗店中学高一上10月月考数学试卷 2026.10.8 一、填空题（本大题满分36分，每题3分） 1. 若全集，则__________． 2. 设，则______．（选填“”、“”） 3. 若恒成立，则的值______． 4. “整数、中至少有一个能被6整除”的否定形式是______． 5. 设集合，则满足的集合的个数是________． 6. ，，且若则是真命题，求实数的取值范围是__________________． 7. 不论实数取何值，点一定不在第______象限．（选填“一”、“二”、“三”或“四”） 8. 设、是方程的两个实数根，则______． 9. 已知全集，集合，或．集合表示图中阴影区域对应的集合，则集合______．（用区间表示） 10. 关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为______． 11. 设、、、均为非零常数，不等式和的解集分别为、，则“”是“”的______条件．（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”和“既非充分也非必要”） 12. 已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则_______. 二、单选题（本大题满分12分，每题3分） 13. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 给出命题：“如果n是素数，那么不是素数”.甲同学判断该命题是假命题，他给出这个判断的反例可以是（ ） A. B. C. D. 15. 设集合，则下列图形能表示A与B关系的是． A. B. C. D. 16. 以某些整数为元素的集合P具有以下性质： （1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数； （3）；（4）若，则． 则下列选项哪个是正确的（ ） A. 集合P中一定有0但没有2 B. 集合P中一定有0可能有2 C. 集合P中可能有0可能有2 D. 集合P中既没有0又没有2 三、解答题（本大题满分52分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．） 17. （1）已知、为实数，比较与的值的大小； （2）若，，求的范围． 18. 已知集合，集合． （1）若，求、； （2）若，求实数的取值范围． 19. 我校校园文化节即将到来，高一年级将开展“数字配对”的抽奖活动，活动规则如下：每人可以抽取一张卡片，每张卡片上都印有一个不小于且不大于10的整数，其中不含．每张卡片数字对应一个抽奖号码，卡片上的数字减去所得的差，与抽奖号码减去所得的差，两者的乘积等于12． （1）记卡片上的数字为，卡片数字对应的抽奖号码为，请用含有卡片数字的式子来表示抽奖号码； （2）当抽奖号码不小于且不大于时，抽奖者可以领取奖品．请问抽到哪些数字的卡片可以领取奖品？请写出满足领取奖品的卡片数字所组成的集合． 20. （1）已知，若不等式的解集是空集，求的取值范围； （2）命题：，命题：，若命题是命题的充分非必要条件，求实数的取值范围． 21. 对于至少含两个元素的有限正整数集，定义它的“两两和集”为，其中、，且． （1）若，求； （2）已知集合中恰好含有四个元素，且，写出所有符合条件的集合； （3）猜想：当集合含有个元素（）时，的元素个数最少是多少？证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗店中学高一上10月月考数学试卷 2026.10.8 一、填空题（本大题满分36分，每题3分） 1. 若全集，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义进行求解即可. 【详解】因为全集， 所以， 故选： 2. 设，则______．（选填“”、“”） 【答案】 【解析】 【详解】是有序实数对，且满足，故． 3. 若恒成立，则的值______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 即恒成立， 所以，所以， 故的值为. 4. “整数、中至少有一个能被6整除”的否定形式是______． 【答案】整数、都不能被6整除 【解析】 【详解】由命题“整数、中至少有一个能被6整除”是特称命题， 所以其否定形式是“整数、都不能被6整除”． 5. 设集合，则满足的集合的个数是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合的子集个数问题，再由集合的元素与子集数目的关系，即可得到答案． 【详解】由题意，可知, 则结合中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题， 所以满足条件的集合共有个． 【点睛】本题主要考查了并集的运算以及集合的子集个数问题，其中解答中转化为求集合的子集个数问题，再由集合的元素与子集数目的关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 6. ，，且若则是真命题，求实数的取值范围是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围. 【详解】，，且若则是真命题，则， 所以，，解得. 故答案为：. 7. 不论实数取何值，点一定不在第______象限．（选填“一”、“二”、“三”或“四”） 【答案】三 【解析】 【详解】当时，，，此时点位于第二象限； 当时，，，此时点位于第一象限； 当时，，，此时点位于第四象限； 当时，点位于轴的正半轴上； 当时，点位于轴的正半轴上； 故不论实数取什么值，点一定不在第三象限． 8. 设、是方程的两个实数根，则______． 【答案】2026 【解析】 【详解】因为，是方程的两个实数根，由韦达定理得， 所以，故. 9. 已知全集，集合，或．集合表示图中阴影区域对应的集合，则集合______．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 即， 解得， 所以集合， 又或， 所以， 所以. 10. 关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】由不等式的解集为，得且． 代入不等式，等价于． 因，不等式等价于， 所以不等式的解集为． 11. 设、、、均为非零常数，不等式和的解集分别为、，则“”是“”的______条件．（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”和“既非充分也非必要”） 【答案】必要非充分 【解析】 【详解】设，则， 所以， 当时，，此时， 所以“”推不出“”． 当时，有同号，且，可以推出， 综上所述“”是“”的必要非充分条件． 12. 已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等的条件，列出、、所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出、、的值后代入式子求值. 【详解】由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾； 若正确，则正确，不符合题意； 所以正确，则有，故. 故答案为： 二、单选题（本大题满分12分，每题3分） 13. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 14. 给出命题：“如果n是素数，那么不是素数”.甲同学判断该命题是假命题，他给出这个判断的反例可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需要找出一个反例，即存在一个素数 ，使得  也是素数，然后一一验证即可. 【详解】由题意得：需要找出一个反例，即存在一个素数 ，使得  也是素数. 选项A：当 时，计算：，  不是素数（合数），符合命题结论， 不能作为反例，故选项A不正确； 选项B：当 时，计算：， 11是素数，满足反例条件，故选项B正确； 选项C： 不是素数，不满足命题前提， 不能作为反例，故选项C不正确； 选项D：当 时，计算：，  不是素数（合数，可被 3 整除），符合命题结论， 不能作为反例，故选项D不正确. 故选：B 15. 设集合，则下列图形能表示A与B关系的是． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合,,,故选A. 16. 以某些整数为元素的集合P具有以下性质： （1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数； （3）；（4）若，则． 则下列选项哪个是正确的（ ） A. 集合P中一定有0但没有2 B. 集合P中一定有0可能有2 C. 集合P中可能有0可能有2 D. 集合P中既没有0又没有2 【答案】A 【解析】 【分析】由（4）得，则（k是正整数），由（1）可设，且，，可得.利用反证法可得若，则P中没有负奇数，若P中负数为偶数，得出矛盾即可求解. 【详解】解：由（4）得，则（k是正整数）． 由（1）可设，且，，则、，而． 假设，则．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中， 故（k是正整数）， 不妨令P中负数为奇数（k为正整数）， 由（4）得，矛盾． 故若，则P中没有负奇数． 若P中负数为偶数，设为（k为正整数），则由（4）及， 得均在P中，即（m为非负整数）， 则P中正奇数为，由（4）得，矛盾． 综上，，. 故选:A． 三、解答题（本大题满分52分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．） 17. （1）已知、为实数，比较与的值的大小； （2）若，，求的范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较大小即得. （2）利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， 所以． （2）令，得， 则，解得，即． 由，得， 因此，所以的范围是． 18. 已知集合，集合． （1）若，求、； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求集合，再由交集、并集的定义可得； （2）由得，再分和两种情况讨论可得. 【小问1详解】 当时，解不等式，解得，所以. 又因为， ，． 【小问2详解】 若，则，下面分两种情况： ①当时，则，符合题意； ②当时，则，解不等式，得， ，要使， ，即，解得， 综上①②，或，即 所以实数的取值范围为. 19. 我校校园文化节即将到来，高一年级将开展“数字配对”的抽奖活动，活动规则如下：每人可以抽取一张卡片，每张卡片上都印有一个不小于且不大于10的整数，其中不含．每张卡片数字对应一个抽奖号码，卡片上的数字减去所得的差，与抽奖号码减去所得的差，两者的乘积等于12． （1）记卡片上的数字为，卡片数字对应的抽奖号码为，请用含有卡片数字的式子来表示抽奖号码； （2）当抽奖号码不小于且不大于时，抽奖者可以领取奖品．请问抽到哪些数字的卡片可以领取奖品？请写出满足领取奖品的卡片数字所组成的集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式变形即可. （2）由（1）的结论，建立不等式求出的范围即可. 【小问1详解】 卡片上的数字为，对应的抽奖号码为，依题意，， 而，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由抽奖条件，得， ，因此， 所以可领取奖品的卡片数字为. 20. （1）已知，若不等式的解集是空集，求的取值范围； （2）命题：，命题：，若命题是命题的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）当时，即，则由，得，不合题意， 当，即时， 由不等式的解集为得， 解得， 所以的取值范围为； （2）解，因式分解得，故的解集为， 解，因式分解得， 因为命题是命题的充分不必要条件，所以是解集的真子集， 当时，的解集为，不合题意，舍去； 当时，的解集为， ，不等式组无解，舍去； 当时，的解集为， 又因为是解集的真子集，所以有（等号不同时取），解得； 综上，实数的取值范围. 21. 对于至少含两个元素的有限正整数集，定义它的“两两和集”为，其中、，且． （1）若，求； （2）已知集合中恰好含有四个元素，且，写出所有符合条件的集合； （3）猜想：当集合含有个元素（）时，的元素个数最少是多少？证明你的猜想． 【答案】（1） （2）或 （3）猜想：两两和集的元素个数的最小值为．证明如下： 将集合中的元素按从小到大排列为， 当时，两两和集恰好有一个元素，结论成立． 当时，考虑下列均属于的数，由不等式的传递性可得严格不等式： ． 其中共有个不相等的数；共有个不相等的数， 所以一共有个． 因此，两两和集至少含有个元素． 再证明可以取到：对任意，取， 所有两两和都是不小于且不大于的整数．其中，是从到的整数； 当时，可取到其余整数． 因此，其元素个数为． 所以所求最小值为． 【解析】 【分析】（1）直接由“两两和集”的定义计算可得； （2）设，其中，从而可以确定中从小到大中第一、第二、第五、第六个数，再对第三个数和第四个数的大小分类讨论可得； （3）先将集合中的元素按从小到大排列为，进而可得和数严格不等式，从而可得和数共有，再证明可以取到，构造集合，进而可得及其元素的个数为，得证. 【小问1详解】 因为，计算所有两两和并去掉重复的结果有：， 所以. 【小问2详解】 设，其中，且， 四个元素共有六种两两配对，和集恰好有六个元素，因此六个和互不相同． 这六个数分别为， 所以这六个数从小到大中，可以确定第一个数为，第二数为，第五个数为，第六数为， 第三个数和第四个数不能确定，即和的大小不定. 所以，，，． 由此得到，，． 于是，． 其余两个数、对应、，分两种情况讨论： ①若，，则，解得，所以； ②若，，则，解得，所以； 检验可知，两组均符合题意．因此所有符合条件的集合为或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $