精品解析：上海市吴淞中学2026-2027学年高一上学期10月第一次调研数学试卷

上海市吴淞中学2026学年第一学期 高一数学学科第一次学科调研（试卷） 一、填空题（前6题每题3分，后6题每题4分，共42分） 1. 小于3的所有正整数组成的集合用列举法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】小于的所有正整数有， 所以小于的所有正整数组成的集合用列举法表示为. 2. 已知全集为，集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义运算即可. 【详解】因为，全集为，根据补集的定义可知. 故答案为： 3. 满足的集合共有________个． 【答案】 【解析】 【详解】方法一：满足的集合有，，，，，，，， ，，，，，，，共个； 方法二：因为，结合有个元素， 所以满足的集合共有个. 4. 陈述句“ 或 ” 的否定形式为_____. 【答案】且 【解析】 【分析】根据命题的否定求解. 【详解】由命题的否定知， 或 的否定形式为且， 故答案为：且 5. 已知方程的两个根为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用韦达定理可得、，进而可求. 【详解】对于方程，则， 可知方程的两个不相等的实根为， 则，， 所以. 故答案为：. 6. 设集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出中的范围确定集合，求出中的范围确定集合，再利用集合的运算，即可解． 【详解】因为，， 所以，得到， 故答案为：. 7. 若，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系及集合元素的互异性求解. 【详解】由集合，得，即， 由，得，所以. 故答案为：0 8. 已知等式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过比对系数即可求解. 【详解】， 所以， 所以， 故答案为：5 9. 已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】将条件转化为对应集合，，利用必要非充分条件与集合包含关系的转化，得是的真子集，所进而列出不等式求解即可. 【详解】令集合，集合，由是的必要非充分条件，可得是 的真子集，所以，解得. 故答案为：. 10. 已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得实数的取值. 【详解】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 11. 设集合，且，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【详解】集合是一元二次方程的实数解集， 由,则或或或， 当时，方程无实根，则，解得， 当时，方程有一个实根， 则，解得， 当时，方程有一个实根， 则，此时无解， 当，方程有两个实根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 12. 对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，若，则中所有元素之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得当时，.再根据或分段，得断点，再分段计算的值并求和可得. 【详解】对任意实数，表示不超过的最大整数，当时，. 函数，它的分段断点发生在：或或. 区间内，断点：. 在每两个相邻断点之间，和都是常数，所以是常数. 按的区间分段讨论的取值： 1.当​时：，，得，，； 2.当​时：，，得，，； 3.当时：，，得，或，或； 4.当​时：，，得，，； 5.当时：，，得，，； 6.当​时：，，得，，； 7.当时：，，得，，； 8.当时：，，得，，； 9.当时：，，得，，； 10. 当时：，，得，，； 11. 当时：，，得，，； 12.当时：，，得，，. 所以的取值为， 的所有元素的和为：. 二、选择题（前2题每题3分，后2题每题4分，共14分） 13. 下列写法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于AB，因为集合中只有一个元素， 所以，，故A错误，B正确； 对于CD，是不含任何元素的集合， 所以，，故CD错误. 14. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用不等式性质即可求解. 【详解】因为，故，故A正确； 对于选项B：因为，所以成立，故B正确； 对于选项C：成立，故C正确； 对于选项D：由可知，，故D错误. 故选：D. 15. 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当均为正数时，，， 当有个正数，个负数时，不妨设，则，， 若有个正数，个负数时，不妨设，则，， 当均为负数时，，， 综上可知，所以D正确，其它选项错误. 16. 若，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得，则， ，当且仅当时等号成立， 即，，， 又因，所以， ，当时取等号. 三、解答题（共46分） 17. 求解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，且， 解得，即. 【小问2详解】 ，， 解得，即 18. 已知集合 . （1）当时，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，然后由交集的定义运算； （2）先得出，分情况讨论集合是否是空集，根据集合的包含关系求参数. 【小问1详解】 当时，， 此时. 【小问2详解】 由可知，. 当，，解得； 当，结合可知，解得. 综上，或 19. 已知，命题：关于的方程无实根；命题：对任意，不等式恒成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若、中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分类讨论求出命题为真时的取值范围； （2）求出命题为真时的取值范围，再结合（1）命题为真时的取值范围，最后分真假、假真两类情况得到结果. 【小问1详解】 当为真命题时，分两类讨论： ① 当时，不等式化为，对任意恒成立，满足条件； ② 当时，为一元二次不等式， 若对任意恒成立，需满足，解得， 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】  为真时，方程无实根，故判别式，解得， 因此为假时，； 由(1)得为假时或， 、有且只有一个真命题，分两类： ① 真假：满足，解得； ② 假真：满足，解得， 综上所述，的取值范围是. 20. 某工厂生产件产品的总成本（单位：元）与生产件数之间满足二次函数. （1）若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； （2）试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出不等式直接计算，结合实际意义即可得解； （2）表示出平均成本，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 若要求生产总成本不超过30000元，则， 即，解得， 又，所以满足生产总成本要求的产品件数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意知，生产件数为时，每件的平均成本为， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即该工厂生产件产品时，每件产品的平均成本最小. 21. 已知有限集，如果中元素（）满足，就称为“和积平衡集”． （1）判断集合是否为“和积平衡集”； （2）若、是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以、为根的一元二次方程（系数可用、表示），可尝试用反证法证明：、至少有一个大于． （3）若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 【答案】（1）集合是“和积平衡集” （2）根据韦达定理，以​为根的一元二次方程为：, 因为是“和积平衡集”，所以​， 代入得方程：  (或等价形式 ). 反证法证明：至少有一个大于： 假设都不大于，即且， 则且，所以，即. 又因为是“和积平衡集”，所以，代入上式得，即①. 又由基本不等式得（是两个不同的正数），再将代入， 得，即，这与矛盾， 因此假设不成立，所以、至少有一个大于． （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据“和积平衡集”的条件检验判断可得； （2）先由是“和积平衡集”得，由假设可得再结合可得，又由基本不等式及得，从而得出矛盾，故假设不成立，从而原结论成立； （3）首先通过反证法证明，再以集合中元素的个数分类讨论：先验证时不成立；当时：可得“和积平衡集”；当时，通过放缩法证明不成立可得. 【小问1详解】 由集合，计算集合两元素的和与积： 和：，积：，两者相等， 因此集合是“和积平衡集”. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设集合元素为，，满足且. 假设，所以， 所以，， 当时，，所以，这与矛盾. 因此当时，必有. 当时，若，由得，解得，元素出现重复，舍去. 综上所述，时，必有. 将代入等式，得， 即③. 当时：方程③变为，无解，舍去； 当时：方程③变为，即，因为， 所以，解得，得集合，满足条件. 当时：因为， 所以， 又因为， 所以， 当时，，， 所以，即， 所以方程无解，即当时，方程无解. 综上，所有符合条件的“和积平衡集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市吴淞中学2026学年第一学期 高一数学学科第一次学科调研（试卷） 一、填空题（前6题每题3分，后6题每题4分，共42分） 1. 小于3的所有正整数组成的集合用列举法表示为________． 2. 已知全集为，集合，则______. 3. 满足的集合共有________个． 4. 陈述句“ 或 ” 的否定形式为_____. 5. 已知方程的两个根为，则___________. 6. 设集合，则______． 7. 若，则__________. 8. 已知等式，则________． 9. 已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________ 10. 已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 11. 设集合，且，则实数的取值范围是________． 12. 对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，若，则中所有元素之和为________． 二、选择题（前2题每题3分，后2题每题4分，共14分） 13. 下列写法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 若，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 三、解答题（共46分） 17. 求解下列不等式： （1）； （2）． 18. 已知集合 . （1）当时，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 19. 已知，命题：关于的方程无实根；命题：对任意，不等式恒成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若、中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 20. 某工厂生产件产品的总成本（单位：元）与生产件数之间满足二次函数. （1）若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； （2）试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 21. 已知有限集，如果中元素（）满足，就称为“和积平衡集”． （1）判断集合是否为“和积平衡集”； （2）若、是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以、为根的一元二次方程（系数可用、表示），可尝试用反证法证明：、至少有一个大于． （3）若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $