精品解析：上海市新中高级中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试卷

新中高级中学2026学年第一学期高一阶段检测数学试题 一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 用描述法表示被除余的所有自然数组成的集合：____________________． 2. 已知全集，，，则___________. 3. 不等式的解集为__________． 4. 用反证法证明命题“若，则或”，则应假设____________. 5. 设方程的两根为，则__________. 6. 若，，则是的____________________条件． 7. 已知集合M满足，则这样的集合M有__________个． 8. 已知集合，，且，则实数a的取值范围是__________． 9. 已知集合，，其中为实数，当，则满足的条件是_________. 10. 若使集合中的元素个数最少，则实数k的取值范围是__________． 二、单选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11. 下列集合中，表示方程组的解集的是 A. B. C. D. 12. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ） A. B. C. D. 13. 若是的必要非充分条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件． 14. 若对于任意，都有，则称集合为“和谐集”．已知，则集合的非空子集中“和谐集”的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 15. 求下列不等式的解集： （1）； （2）． 16. （1）证明：若，则； （2）已知集合，，，求实数x，y的值． 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 19. 已知一元二次方程的两个实根为，； （1）若，，求的值； （2）若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； （3）若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新中高级中学2026学年第一学期高一阶段检测数学试题 一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 用描述法表示被除余的所有自然数组成的集合：____________________． 【答案】 【解析】 【详解】被除余的所有自然数即，的所有值， 所以被除余的所有自然数组成的集合为 2. 已知全集，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由集合的运算，即可得到结果. 【详解】因为全集，，则，所以. 故答案为： 3. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式可化为， 方程的根有，， 作函数的图象如下： 观察图象可得不等式的解集为. 4. 用反证法证明命题“若，则或”，则应假设____________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据反证法的基本思想判断即可. 【详解】用反证法证明命题“若，则或”，则应假设且. 故答案为：且 5. 设方程的两根为，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由韦达定理得出根与系数关系，化简即可求解. 【详解】由得，则. 故答案为：5 6. 若，，则是的____________________条件． 【答案】必要不充分 【解析】 【详解】由题可知，所以， 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件. 7. 已知集合M满足，则这样的集合M有__________个． 【答案】7 【解析】 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】由于， 所以是与的真子集的并集， 的真子集有个， 所以集合有个. 8. 已知集合，，且，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，，且， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 9. 已知集合，，其中为实数，当，则满足的条件是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得方程组 有解，即有解即可求解. 【详解】因为， 所以方程组 有解， 消去可得：，即 所以：，即， 故答案为：. 10. 若使集合中的元素个数最少，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】对进行分情况讨论，根据一元二次不等式解的特征可得当时，中的整数个数最少，结合基本不等式即可求解. 【详解】时，不等式解得，有无数个整数解； 时，则不等式变形为， 当时，，仅当时等号成立， 此时不等式解得或，有无数个整数解； 当时，，仅当时等号成立， 此时不等式解得， 由，，要使集合A中的元素最少，则， 即，解得， 故实数的取值范围是. 二、单选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11. 下列集合中，表示方程组的解集的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解出方程组，方程组的解构成的集合，即有序数对构成的集合. 【详解】解方程组，得即， 所以方程组的解集. 故选：C 【点睛】此题考查集合元素的辨析，正确解出方程组，方程组的解是有序数对，其解集是由有序数对构成的集合，容易出现概念混淆，把解集的形式弄错. 12. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用不等式性质即可求解. 【详解】因为，故，故A正确； 对于选项B：因为，所以成立，故B正确； 对于选项C：成立，故C正确； 对于选项D：由可知，，故D错误. 故选：D. 13. 若是的必要非充分条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件． 【答案】A 【解析】 【详解】因为是的必要非充分条件，所以. 因为是的充要条件，所以. 因为是的必要非充分条件，所以. 所以，但得不出，所以是的充分不必要条件. 14. 若对于任意，都有，则称集合为“和谐集”．已知，则集合的非空子集中“和谐集”的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先确定集合中能构成“和谐集”的元素组，再根据元素组的组合情况确定“和谐集”的个数． 【详解】当时，,当时，，当时，， 可作为“和谐集”中一组元素； 当时，，当时，，当时，，可作为“和谐集”中一组元素； 当时，，当时，无意义，不是“和谐集”中的元素． 若集合的非空子集为“和谐集”，则其元素只能从元素组：和两组数中任意选择一组或两组， 集合的非空“和谐集”为：，，，共3个． 故选：B． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 15. 求下列不等式的解集： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求得正确答案. （2）由等价于或，把绝对值不等式化为两个一次不等式，分别求解后取并集. 【小问1详解】 ， 解得， 所以不等式的解集是. 【小问2详解】 由得或， 由得，即；由得，即. 所以该不等式的解集为. 16. （1）证明：若，则； （2）已知集合，，，求实数x，y的值． 【答案】（1）证明： ， 由，有， 则有，即. （2）， 【解析】 【详解】（1）略 （2）已知，则有，得，解得或， 当时，，不满足，故舍去； 当时，，，由，得， 综上可得：，. 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，先求出集合的范围，再结合集合的交集和补集运算，即可求解； （2）由得，通过对的取值进行讨论，求得集合，再结合集合的关系列出相应的不等式，求解即可. 【小问1详解】 由已知，集合，所以，即， 解得，故， 因为，所以，所以， 解得，故，所有， ； 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知， 又集合，即， 可得， ①当时，不等式的解集为空集，即，符合条件； ②当时，有， 所以不等式的解为，即， 又，所以，解得， 又因为，所以， ③当时，有， 所以不等式的解为，即， 又，所以，解得， 又因为，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 18. 已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据一元二次方程无实根的条件即可求解； （2）首先根据一元二次不等式恒成立的条件计算出分当为真命题时，的范围，然后为真假和假真两种情况，最后根据集合的运算即可求解. 【小问1详解】 由题意可知. 【小问2详解】 当为真命题时，即对于任意恒成立. 当，不等式即为，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，当为真命题时， ，则当为假命题时或； 由第（1）可知，当为真命题时， ，则当为假命题时； 若、有且只有一个真命题，则真假或假真. 当真假时，的范围是或； 当假真时，的范围是. 所以若、有且只有一个真命题，的范围是. 19. 已知一元二次方程的两个实根为，； （1）若，，求的值； （2）若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； （3）若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 假设，都小于2， 由，可知，，且与异号， 由韦达定理可知，，，则与同正， 此时，则， 又因为，都小于2，所以，这与矛盾， 故假设不成立，从而，中至少有一个大于等于2. （3） 【解析】 【分析】(1)结合已知条件，利用韦达定理首先判断与的符号，进而即可求出的值；(2)首先假设，都小于2，结合已知条件和韦达定理可得和同号，且，再结合和的范围推出矛盾即可证明；(3)首先利用判别式求出的范围，然后结合已知条件并利用韦达定理求解即可. 【小问1详解】 当，时，的两个实根为，， 由韦达定理可得，，， 即，， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由可知，， 从而方程等价于， 由题意可知，且，即， 故，解得或， 又因为，所以的取值范围为， 又因为，是方程的实根， 所以，即， 从而或，解得或， 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $