27.3 实际问题与反比例函数 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 学习目标 1.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力. 2.能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力 3.能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点：提高运用代数方法解决问题的能力. 难点：建立反比例函数模型解决问题． 复习导入 1.反比例函数的一般形式是：___________________. 2.反比例函数的图象及性质： (1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； (2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. (k为常数，k≠0) 典例解析 题型1 基础实际问题 例1已知一艘轮船上装有 100 吨货物，轮船到达目的地后开始卸货。设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为 t（单位：小时）。 (1)求v关于t的函数表达式； (2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ （1）v = . (2) ∵ 不超过 5 小时卸完船上的这批货物， ∴ t ≤ 5， ∴v ≥ = 20（吨/小时）． 答：平均每小时至少要卸货 20 吨． 针对训练 1.某段公路全长200 km,一辆汽车要行驶完这段路程,则所行速度v(km/h)和行驶时间t(h)间的函数关系为v=  .若限定汽车行驶速度不超过80 km/h,则行驶时间至少要　 h. 针对训练 1.某段公路全长200 km,一辆汽车要行驶完这段路程,则所行速度v(km/h)和行驶时间t(h)间的函数关系为v=  .若限定汽车行驶速度不超过80 km/h,则行驶时间至少要　 h. 　 2.5　 典例解析 题型2 面积或者体积问题 例2.市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系？ (2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？ (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m.相应地，储存室的底面积应改为多少？ 典例解析 题型2 面积或者体积问题 例2.市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系？ (2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？ (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m.相应地，储存室的底面积应改为多少？ (2)把 S =500 代入 ，得d=20 (m) (3)把 d=15代入 针对训练 2. 体积为 20 cm3 的滴胶做成圆柱体模型，圆柱的高度 y (单位：cm) 与底面积S (单位：cm2)的函数关系为 ，若要使做出来的圆柱体粗2 cm2，则圆柱的高度是 cm. 针对训练 2. 体积为 20 cm3 的滴胶做成圆柱体模型，圆柱的高度 y (单位：cm) 与底面积S (单位：cm2)的函数关系为 ，若要使做出来的圆柱体粗2 cm2，则圆柱的高度是 cm. 30 典例解析 题型3 利用反比例函数图像 例3 某校对教室采用药薰法进行灭蚊.根据药品使用说明,药物燃烧时,室内每立方米空气中含药量y(mg)与药物点燃后的时间x(min)成正比例关系,药物燃尽后,y与x成反比例关系(如图).已知药物点燃8 min燃尽,此时室内每立方米空气中含药量为6 mg. (1)分别求药物燃烧时和药物燃尽后,y与x之间函数的表达式; (2)根据灭蚊药品使用说明,当每立方米空气中含药量不高于1.6 mg时,对人体是安全的,那么从开始药薰,至少需要经过多长时间后,学生才能进教室? (3)根据灭蚊药品使用说明,当每立方米空气中含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时,才能有效杀灭室内的蚊虫,那么此次灭蚊是否有效?为什么? 典例解析 题型3 利用反比例函数图像 例3 某校对教室采用药薰法进行灭蚊.根据药品使用说明,药物燃烧时,室内每立方米空气中含药量y(mg)与药物点燃后的时间x(min)成正比例关系,药物燃尽后,y与x成反比例关系(如图).已知药物点燃8 min燃尽,此时室内每立方米空气中含药量为6 mg. (1)分别求药物燃烧时和药物燃尽后,y与x之间函数的表达式; (2)根据灭蚊药品使用说明,当每立方米空气中含药量不高于1.6 mg时,对人体是安全的,那么从开始药薰,至少需要经过多长时间后,学生才能进教室? (3)根据灭蚊药品使用说明,当每立方米空气中含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时,才能有效杀灭室内的蚊虫,那么此次灭蚊是否有效?为什么? 解:(1) y关于x的函数表达式是y=,其中x>8. (2)答:至少需要经过 30 min后,学生才能进教室. (3) 持续时间是 16-4=12(min)>10 min, ∴此次灭蚊有效. 针对训练 3.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召,建设生态文明,某工厂开始限产并进行治污改造,其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示,治污完成前是反比例函数图象的一部分,完成后是一次函数图象的一部分,下列选项错误的是 (　 　) A.4月份的利润为50万元 B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 D.9月份该厂利润达到200万元 C 典例解析 题型4 多学科融合 给我一个支点，我可以把地球撬动! ---阿基米德 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为： 阻力×阻力臂＝动力×动力臂 典例解析 题型4 多学科融合 例4.某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 典例解析 题型4 多学科融合 例4.某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ (1)根据“杠杆原理”，F关于l的函数解析式为 　　当l=1.5m时， 因此撬动石头至少需要400N的力. (2)当F=200N时， 3－1.5=1.5m 因此，若想用力不超过400N 的一半，则动力臂至少要加长1.5m. 针对训练 4.如图,取一根长1 m的质地均匀的木杆,用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来,在中点的左侧距离中点30 cm处挂一个重9.8 N的物体,在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆保持平衡,改变弹簧秤与中点O的距离L(单位:cm),看弹簧秤的示数F(单位:N,精确到0.1 N)有什么变化.小慧在做此活动时,得到下表的数据: 结果老师发现其中有一个数据明显有错误. (1)你认为当L=　 　cm时所对应的F数据是明显错误的; (2)在已学过的函数中选择合适的模型求出F与L的函数关系式; (3)若弹簧秤的最大量程是60 N,求L的取值范围. L/cm 5 10 15 20 25 30 35 40 F/N 58.8 60.2 19.6 14.7 11.8 9.8 8.4 7.4 针对训练 4.如图,取一根长1 m的质地均匀的木杆,用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来,在中点的左侧距离中点30 cm处挂一个重9.8 N的物体,在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆保持平衡,改变弹簧秤与中点O的距离L(单位:cm),看弹簧秤的示数F(单位:N,精确到0.1 N)有什么变化.小慧在做此活动时,得到下表的数据: 结果老师发现其中有一个数据明显有错误. (1)你认为当L=　 　cm时所对应的F数据是明显错误的; (2)在已学过的函数中选择合适的模型求出F与L的函数关系式; (3)若弹簧秤的最大量程是60 N,求L的取值范围. L/cm 5 10 15 20 25 30 35 40 F/N 58.8 60.2 19.6 14.7 11.8 9.8 8.4 7.4 10 (3) L的取值范围是4.9 cm≤L≤50 cm. 解:(2) F与L的函数关系式为F=. 典例解析 题型4 多学科融合 电学知识告诉我们，用电器的功率P(单位：W)、两端的电压U(单位：V)及用电器的电阻R(单位：Ω)有如下关系：PR=U2.   这个关系也可写为P=_____，或R=_____. 典例解析 题型4 多学科融合 例5.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110—220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示. (1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？ (2)这个用电器功率的范围是多少？ 典例解析 题型4 多学科融合 例5.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110—220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示. (1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？ (2)这个用电器功率的范围是多少？ (2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小. 把电阻的最小值R=110代入上式，得到功率 的最大值 (W) 把电阻的最大值R=220代入上式，得到功率 的最小值 (W) 因此用电器功率的范围为220--440W. 针对训练 5.在功W(J)一定的条件下,功率P(W)与做功时间t(s)成反比例,P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示.当25≤t≤40时,P的值可以为 (　 　) A.24 B.27 C.45 D.50 C 归纳总结 （1）建立反比例函数模型解决实际问题的过程是怎样的？ 实际问题 反比例函数 建立数学模型 运用数学知识解决 （2）在这个过程中要注意什么问题？ ①厘清问题中的数量关系，将实际问题抽象为数学问题，关键要得出各变量间应满足的关系式． ②辨析自变量和函数，并注意自变量的取值范围． 作业布置 课堂作业:P80习题27.3的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $