27.3 实际问题与反比例函数 第1课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章 反比例函数 2026人教版·九年级上册 27.3实际问题与反比例函数 第1课时 建立反比例函数模型 学习目标 1.能准确识别生活中乘积为定值的反比例数量关系，理解实际问题中反比例函数的现实意义；掌握实际问题建立反比例函数模型的基本步骤，能熟练求解反比例函数解析式；能根据实际情境限制条件，正确确定自变量和函数值的取值范围，并利用模型解决简单实际求值问题. 2.经历“分析实际情境—寻找定量与变量—抽象函数关系—建立模型—求解验证”的完整探究过程，掌握实际问题建模的通用方法，提升信息提取、抽象概括和运算求解能力. 3.感受反比例函数在生产、生活、工程中的广泛应用，体会数学与现实生活的紧密联系，破除函数学习的抽象感，培养主动用数学解决实际问题的意识，养成严谨的解题习惯. 重点 难点 复习导入 1.反比例函数的一般形式是什么？ 2.反比例函数的图象和性质分别是什么？ 一般形式 k为常数，k ≠ 0 图象形状 双曲线 性质 当k < 0时，图象在二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 当k > 0时，图象在一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小； 今天我们就一起运用反比例函数的知识，解决生活中常见的实际问题。 例题分析 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位: t / h)与卸载完所有货物的总时间t(单位:h)之间有怎样的函数关系？ 分析：根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量. 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9 = 6300 ( t )，所以 v 关于 t 的函数解析式为 例题分析 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 分析：根据“平均装载速度=货物总量÷装载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式. (2) 把 t = 6 代入 ，得 (t/h). 想一想 你还有其他方法能解决此问题吗？ 例题分析 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 方法二：结合函数性质分析 对于函数 ，当t > 0时，t 越小，v 越大. 因此当卸载时间最长为6h时，对应的卸载速度就是最小值. 答：若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 新知探究 若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为： 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂 阻力 动力 支点 动力臂 阻力臂 例题分析 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1)动力 F (单位:N)与动力臂 l (单位:m) 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力 F 不超过(1)中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 阻力 动力 支点 动力臂 阻力臂 (1)动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 例题分析 解：根据“杠杆原理”，得 Fl = 1200×0.5， 所以 F 关于 l 的函数解析式为 　　当 l = 1.5 m 时， (N) 例题分析 (2)若想使动力 F 不超过(1)中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 解：对于函数 ，当l>0时，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 　　当 F=400×0.5=200 N 时， (m). 3-1.5=1.5(m). 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m. 新知小结 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：审清题意，识别常量与变量，提取等量关系； 2.建：根据 “乘积为定值” 的等量关系，建立反比例函数解析式； 3.定：结合实际意义，确定自变量的取值范围； 4.解：代入求值或结合增减性，求解变量的值或范围； 5.验答：检验结果是否符合实际，规范作答。 注：涉及 “至少”“最多” 类问题时，必须结合反比例函数的增减性判断变量的最值对应关系，避免范围写反。 某蔬菜生产基地在气温较低时用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内的温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象，其中BC段是双曲 线 的一部分，请根据图中信息解答下列问题： 即时即练 (1)恒温系统在这天保持大棚内的温度18 ℃的时间 有 小时； (2)k= ⁠； (3)当棚内温度不低于16 ℃时，该蔬菜能够快速生 长，则这天该蔬菜能够快速生长 小时. 即时即练 10 216 12.5 课堂小结 建立反比例函数模型 解题一般步骤 审：识别常量与变量，提取等量关系 建：建立反比例函数解析式 定：确定自变量的实际取值范围 解：代入求值或求解变量范围 验答：检验结果，规范作答 本质 两变量乘积为定值 → 建立反比例函数模型 课堂练习 1.如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120cm3 (不计直玻璃管部分)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S(单位:cm2)与漏斗的深h(单位:cm)有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过50cm2，那么漏斗的深h至少为多少？ 解: (1)根据题意，得120= Sh，可化为S= ， 因此S是h的反比例函数. 【选自教材第76页 练习 第1题】 课堂练习 1.如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120cm3 (不计直玻璃管部分)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S(单位:cm2)与漏斗的深h(单位:cm)有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过50cm2，那么漏斗的深h至少为多少？ 【选自教材第76页 练习 第1题】 (2)当S≤50 cm2时， ≤50， 所以h≥7.2，即漏斗的深至少为7.2 cm. 课堂练习 【选自教材第76页 练习 第2题】 2.为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元.他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元. (1)y与x有怎样的函数关系？ 解: 由题意，得y= ，即y与x的函数关系为y= (0<x≤36，x为正整数). 课堂练习 【选自教材第76页 练习 第2题】 2.为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元.他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元. (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ 解: 将x=20代入y= ，得y= =0.6. 所以他平均每月应还款0.6万元. 课堂练习 【选自教材第76页 练习 第2题】 2.为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元.他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元. (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 解：将y=0.5代入y= ，得0.5= ，所以x=24. 所以他至少要24个月才能结清余款. 下 课 $