辽宁省抚顺市2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027年中学生能力训练 数学限时作业（一） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于的方程中，是一元二次方程的为 A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是 A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 A． B． C． D． 6．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是 A．3 B．6 C．9 D．18 7．东北超是2026年最大的群众足球赛事．有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行28场比赛，则可列方程 A． B． C． D． 8．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度（）与水平距离（）的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是 A． B． C． D． 9．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是 A．4 B．5 C．6 D．7 10．二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点，则不等式的解集是 A．或 B． C． D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是__________． 12．二次函数的最小值为__________． 13．若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第__________象限． 14．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，若，则__________（填“>”“=”或“<”）． 15．如图，关于的二次函数的图象为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．计算：（每题5分，共10分） （1）； （2）． 17．（本小题8分）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求的值． 18．（本小题8分）某乡村草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需要设计一款底面积为的有盖长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．在纸板的四个角分别剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余纸板折叠后，盒盖与盒底全等．工作人员按要求设计了一款基础裁剪方案（如图1），并借助提出了优化裁剪方案（如图2）．两种方案中剪去的正方形边长相等，两种方案折叠得到的包装盒底面积、体积均相同，指出：按照方案2折叠后，包装盒的表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 请你解决以下问题： （1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求快递包装盒的表面积； （2）通过计算说明对方案2“表面积更小”的评价是否准确？ 19．（本小题8分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的32万人增加到2026年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）按照这个增长率，预计该市2027年参加健身运动的人数将达到多少人？ 20．（本小题8分）抛物线：的对称轴为，且经过点． （1）求抛物线：的解析式； （2）将抛物线向左平移个单位得到抛物线，的顶点落在直线上． ①求的值； ②过点作与轴平行的直线交抛物线于点，（两点均在轴的左侧，且点在点的右侧），若，求的值． 21．（本小题8分） 生活情景 户外露营时，为了防晒遮阳，常会准备天幕，有一款隧道式穹顶天幕，它的外观轮廓近似抛物线． 设计数据 图1为天幕的平面示意图，相关信息如下： ①天幕底部跨度为3米； ②天幕最高点到底部的距离为2.1米； 建立模型 以中点为原点，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． 解决问题 （1）根据数据，求抛物线的解析式； （2）如图3，点、为上的两点，米，水平、区域是活动“非舒适区”，那么身高为1.2米的儿童能否在“非舒适区”站立活动？ 22．（本小题12分）如图，抛物线的顶点为点，与轴交于点和点，点在抛物线上． （1）如图1，若时，的面积为3，求的值； （2）以点为顶点的抛物线交轴于点． ①若，求点的坐标； ②直线与线段有交点，请直接写出的取值范围． 23．（本小题13分）已知二次函数与二次函数的图象交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）①点在轴上，过点作垂直于轴的直线，与抛物线，分别相交于点，．若点在点的上方，求的最大值； ②若函数 其中，且函数的最大值与最小值的差为16，求的值； ③点在抛物线上，将点分别向左、向上平移个单位长度得到点，，再以和为邻边作正方形；当抛物线落在正方形内部的图象上，随的增大而增大时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $