5.2勾股定理及其逆定理（勾股定理）（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

5.2勾股定理及其逆定理（勾股定理） （8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由勾股定理求线段长度 题型二 由勾股定理求面积 题型三 由勾股定理求线段的平方和（差） 题型四 勾股定理的证明方法 题型五 由勾股定理证明线段平方关系 题型六 以弦图为背景的计算 题型七 勾股树（数） 题型八 勾股定理与网格问题 能力提升题 题型一 与勾股定理有关的几何多结论问题 题型二 勾股定理与折叠问题的综合运用 题型一 由勾股定理求线段长度 1．下列说法中正确的是（   ） A．已知，，是三角形的三边，则 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．，，是一组勾股数 D．在中，，所以 2．已知直角三角形的两条直角边分别为和，则斜边上的中线等于（　　） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的腰长为，底边上的高为6，则底边长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．在中，，，则（   ） A．16 B．4或34 C．16或34 D．4或24 5．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 6．思考题：如图，在中，，于点，，，求的长． 题型二 由勾股定理求面积 7．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为和，那么以斜边为边长的正方形的面积是（  ） A． B． C． D． 8．一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（   ）． A．斜边长为25 B．三角形的周长为25 C．斜边长上的高为 D．三角形的面积为20 9．如图，在中，是边上的高，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 12．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 13．如图，在中，，垂足为点D，，，．求的面积． 14．在中，，，．求的面积． 某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．如图，作，垂足为D，设，用含x的代数式表示CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型，利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积． 15．在中，，点D为上一点，于点E． (1)如图1，若E为中点时，求证：； (2)如图2，若，求的面积． 题型三 由勾股定理求线段的平方和（差） 16．在中，斜边的长为6，则的值为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 题型四 勾股定理的证明方法 18．如图，是第14届国际数学教育大会的会标，数学元素无处不在，画面非常几何化，主画面由圆和螺线组成，呈中心对称，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标，充分展示了中国古代数学的灿烂，利用“弦图”所证明的数学定理是（    ） A．三角形内角和定理 B．垂径定理 C．正弦定理 D．勾股定理 19．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 20．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 21．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 题型五 由勾股定理证明线段平方关系 22．如图，是等腰直角三角形，，D是的中点，，点E，F在，上． (1)求证：． (2)连结，则之间有什么数量关系？请说明理由． 23．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 24．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部． (1)求 的度数． (2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 25．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 题型六 以弦图为背景的计算 26．综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 题型七 勾股树（数） 27．下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．6，8，9 B．5，12，13 C．8，15，16 D．10，20，26 28．下列各组数据中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，5 29．定义：如果一个正整数m能表示为两个正整数的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面三个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数，正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 30．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 31．数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 32．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 33．如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 34．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； (2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 35．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 36.阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          题型八 勾股定理与网格问题 37．如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（   ） A． B． C．2 D． 38．如图，在的正方形网格中，直线过点，点都在格点处，则点到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 39．在如图所示的方格中，点都在格点上，且是线段上的动点，连结． (1)设，用含字母x的代数式分别表示线段的长，并求当的时候，的值； (2)是否存在最小值？若存在，求出其最小值． ． 题型一 与勾股定理有关的几何多结论问题 40．如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 41．在中，为线段上一点，过点做直线，交平分线于点，交平分线于点，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 42．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 43．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．如图，在中，，，，点是的中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点转转时（点不与，重合），以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 勾股定理与折叠问题的综合运用 45．如图，在纸片中，，将其折叠，使得点 C 与点 A 重合，折痕为，若， 则的周长为（   ） A．14 B．16 C．17 D．18 46．如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（　　） A． B． C． D． 47．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 48．如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 49．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 50．如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 51．如图，在四边形中，，，在上选取一点，连接，将沿翻折，使点落在上的点处．求： (1)的长； (2)的长． 52．如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 53．综合与实践 知识再现 如图1，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时， ． 问题探究 如图，中，． （1）如图2，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是 ． （2）如图3，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （1）如图4，将图3中的绕点B逆时针旋转一定角度至，绕点A顺时针旋转一定角度至，、相交于点P．求证：； （2）如图5，分别以图3中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值． 54．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 55．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 56．（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2勾股定理及其逆定理（勾股定理） （8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由勾股定理求线段长度 题型二 由勾股定理求面积 题型三 由勾股定理求线段的平方和（差） 题型四 勾股定理的证明方法 题型五 由勾股定理证明线段平方关系 题型六 以弦图为背景的计算 题型七 勾股树（数） 题型八 勾股定理与网格问题 能力提升题 题型一 与勾股定理有关的几何多结论问题 题型二 勾股定理与折叠问题的综合运用 题型一 由勾股定理求线段长度 1．下列说法中正确的是（   ） A．已知，，是三角形的三边，则 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．，，是一组勾股数 D．在中，，所以 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、勾股数，根据勾股定理和勾股数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、当，是直角三角形的两直角边，是直角三角形的斜边时，，故A选项说法错误； B、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故B选项说法错误； C、勾股数指满足的三个正整数，，，，且，故C说法错误； D、在中，，所以，故D选项说法正确． 故选：D． 2．已知直角三角形的两条直角边分别为和，则斜边上的中线等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：由勾股定理得，斜边， 所以，斜边上的中线长， 故选：C． 3．若等腰三角形的腰长为，底边上的高为6，则底边长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作交于D，由勾股定理可求得长，根据等腰三角形三线合一可知，则题目可解． 【详解】解：作交于D， ， ∵， ． 故选：C． 4．在中，，，则（   ） A．16 B．4或34 C．16或34 D．4或24 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是注意分类讨论． 分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，时， 当时，则， ∴； 当时，则； 由得， ∴或16， 故选：C． 5．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题目没有明确斜边或直角边，故要分情况讨论：当12为直角边时，当12是斜边时，解答即可． 【详解】解：当12为直角边时，第三边长为， 当12为斜边时，第三边长为， ∴第三边长为13或， 故选：B． 6．思考题：如图，在中，，于点，，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了勾股定理，垂直的定义，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由，得，设，则，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 题型二 由勾股定理求面积 7．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为和，那么以斜边为边长的正方形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理可知，斜边边长的平方等于两直角边边长的平方和即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为和， ∴两直角边边长的平方分别为和， 由勾股定理可知，斜边边长的平方， 即以斜边为边长的正方形的面积是， 故选：． 8．一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（   ）． A．斜边长为25 B．三角形的周长为25 C．斜边长上的高为 D．三角形的面积为20 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出斜边长，再分别求其周长、面积，利用等面积法求斜边的高，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它的斜边长是，故A不正确； 周长是，故B不正确； 设斜边的高为h，则， 解得，故C正确； 面积是，故D不正确． 故说法正确的是C选项． 故选：C． 9．如图，在中，是边上的高，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据条件得出，利用含角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴的面积为， 故选：A． 10．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 11．如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键． 由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴， ∴， 故选：A． 12．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13．如图，在中，，垂足为点D，，，．求的面积． 【答案】84 【分析】本题考查了勾股定理，在中，根据勾股定理求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又， ∴， ∴． 14．在中，，，．求的面积． 某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．如图，作，垂足为D，设，用含x的代数式表示CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型，利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积． 【答案】，面积 【分析】设由勾股定理得：由此建立关于的方程求得的值，进而得出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作交于点． 在中，，设则． 在中，． 在中，． ． 解这个方程得：． ． ． ． 答：的长为，三角形的面积为336． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是“搭桥”建立等量关系是解题的关键． 15．在中，，点D为上一点，于点E． (1)如图1，若E为中点时，求证：； (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）由含角的直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，，设，分别表示出，即可证明； （2）根据含角的直角三角形的性质，，，由勾股定理求得，进一步求得面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵E为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵中，，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴（舍负）． ∴的面积． 题型三 由勾股定理求线段的平方和（差） 16．在中，斜边的长为6，则的值为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据在中，斜边的长为6，得出，即可作答． 【详解】解：∵在中，斜边的长为6， ∴， ∴， 故选：D 17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3） 由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 题型四 勾股定理的证明方法 18．如图，是第14届国际数学教育大会的会标，数学元素无处不在，画面非常几何化，主画面由圆和螺线组成，呈中心对称，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标，充分展示了中国古代数学的灿烂，利用“弦图”所证明的数学定理是（    ） A．三角形内角和定理 B．垂径定理 C．正弦定理 D．勾股定理 【答案】D 【分析】本题考查用“赵爽弦图”证明勾股定理，作出图象，设四个全等的直角三角形，边长为，围成了一个边长为c和的大正方形和小正方形，根据大正方形的面积小正方形的面积4个直角三角形的面积列出等式，化简等式即可得到勾股定理． 【详解】 如图，四个全等的直角三角形，边长为，围成了一个边长为c和的大正方形和小正方形， 则， 化简得， 此即为勾股定理， 故“弦图”所证明的数学定理是勾股定理， 故选：D． 19．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 20．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 利用勾股定理、线段的和差、完全平方公式、直角三角形的面积公式逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，由勾股定理得，，， ∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意； 由得，，整理得， ∴， ∴选项③正确，符合题意（或由图形面积来证明）； 由③得， ∴， ∴， ∴选项①错误，不符合题意； 故选：C． 21．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的关键． （1）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证； （2）设中边上的高为，计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ； 又， ， ∴， ； （2），， 设中边上的高为， ， ∴，即边上的高是； （3）在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 题型五 由勾股定理证明线段平方关系 22．如图，是等腰直角三角形，，D是的中点，，点E，F在，上． (1)求证：． (2)连结，则之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． （1）连接，，由，得，由D是的中点，得，则，所以，可证明，得； （2）由全等三角形的性质得，则，因为，所以． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 是等腰直角三角形，， ， ， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， 理由：， ， ， ， ， ． 23．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 24．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部． (1)求 的度数． (2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形的外角性质，勾股定理，全等三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和定理和角的和差得到，然后根据邻补角的定义解题即可； （2）过B作，使，连接，．可以得到，进而得到，，，根据为等边三角形得到，即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）， 证明如下：过B作，使，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 25．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 题型六 以弦图为背景的计算 26．综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）x的值为． 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）解： ，，，， ，，， ， ， ； （2）解：借助网格，可知，， 边上的高为：； 故答案为：； （3）解：在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ． 题型七 勾股树（数） 27．下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．6，8，9 B．5，12，13 C．8，15，16 D．10，20，26 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义，满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可求解． 【详解】解：A、，6，8，9不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，5，12，13是勾股数，故本选项符合题意； C、，8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，10，20，26不是勾股数，故本选项不符合题意， 故选：B． 28．下列各组数据中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，5 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理及勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可得出答案． 【详解】解：A、 ，，1不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、1，2，，不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、4，5，7，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、3，4，5，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 29．定义：如果一个正整数m能表示为两个正整数的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面三个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数，正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了阅读新定义以及勾股定理的应用， 根据广义勾股数的定义逐个判断解答即可. 【详解】解：因为，所以7不是广义勾股数，则①正确； 因为，所以13是广义勾股数，则②正确； 因为，可知15不是广义勾股数，则③不正确. 所以正确的有①②. 故选：B. 30．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理计算即可． 【详解】∵三个正方形围成一个直角三角形， ∴图中字母M所代表的正方形面积是， 故选A． 31．数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积是解题的关键． 根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故选：A 32．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、图形类规律探索，由题意可得，由等腰直角三角形的性质并结合勾股定理可得，即可得出，同理可得，从而得出规律，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 故选：D． 33．如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 【答案】(1) (2) (3)这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？答案：每次生长增加的正方形面积之和是 【分析】此题主要考查了三角形、正方形的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式． （1）根据正方形的面积公式及勾股定理得出、、之间的关系即可； 【详解】（1）解：正方形和是通过在正方形的边上构建直角三角形后形成的，根据勾股定理，直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和， 因此，正方形的面积等于正方形和的面积之和，即：． （2）解：正方形、、、是通过在正方形和 的边上构建直角三角形后形成的．根据勾股定理，正方形和的面积之和等于正方形的面积，而正方形、、、的面积之和等于正方形和的面积之和． 因此，正方形、、、的面积之和等于正方形的面积，即：． （3）解：这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？ 答案：每次生长增加的正方形面积之和是． 34．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； (2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查勾股数，完全平方公式，数字的规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所提供的几组勾股数的规律发现，当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数；当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，据此列方程求解即可； （2）根据勾股数的定义，证明即可． 【详解】（1）解：根据所提供的几组勾股数的规律发现， 当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数， 设两个连续整数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数， 设两个连续偶数或奇数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 故答案为：和； （2）证明：， ， ， ， ， ∴不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 35．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）证明： 是“完美勾股数” 36.阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：． 【分析】任务一：利用勾股定理，结合正方形面积与直角三角形三边平方的对应关系，推导、、的数量关系． 任务二：先依据半圆面积公式，用直角三角形三边表示出、、，再结合勾股定理验证面积关系是否成立． 任务三：借助正方形面积与边长平方的联系，利用对角线互相垂直时，把四边形四边平方转化为直角三角形直角边平方和，推导、、、的数量关系． 此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1 ， 即 故答案为：； 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2 ， 即 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得： 又 ∴． 题型八 勾股定理与网格问题 37．如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理， 先连接，根据题意可知，再根据勾股定理可得答案. 【详解】解：连接，根据题意可知， 根据勾股定理，得. 故选：A. 38．如图，在的正方形网格中，直线过点，点都在格点处，则点到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，理解题意，结合图形求解是解题关键． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此求解即可． 【详解】解：由题图可知，， ， 点到直线的距离是线段的长度． 故选：B 39．在如图所示的方格中，点都在格点上，且是线段上的动点，连结． (1)设，用含字母x的代数式分别表示线段的长，并求当的时候，的值； (2)是否存在最小值？若存在，求出其最小值． 【答案】(1)，， (2)存在， 【分析】此题考查了勾股定理，最短路径等知识﹒ （1）分别用x表示出的长度，再根据勾股定理即可求解； （2）作点A关于的对称点，连接，即可得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意结合图形得, 在中，， 在中，， 当时， ； （2）解：存在﹒ 如图，作点A关于的对称点，连接， ∴， 在中，， ∴最小值为． ． 题型一 与勾股定理有关的几何多结论问题 40．如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质、三角形的三边关系、完全平方公式等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，则可得，利用勾股定理可得，再根据三角形的三边关系即可得①正确；在中，利用勾股定理即可得②正确；利用直角梯形的面积公式即可得③正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，结论①正确； 在中，，即， ∴，结论②正确； 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是直角梯形， ∴， ∴，结论③正确； 综上，所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 41．在中，为线段上一点，过点做直线，交平分线于点，交平分线于点，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义与平角度数，证明，即可由勾股定理得，可判定A正确；根据角平分线的定义与平行线的性质可得，利用等腰三角形的判定得，同理可得，即可得出，，即可判定B、C正确；假设，证明得，而根据题意与并不一定相等，故可判定D错误． 【详解】解：A、∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 由勾股定理，得， 故此选项正确，不符合题意； B、∵ ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴ 故此选项正确，不符合题意； C、∵，， ∴， 故此选项正确，不符合题意； D、若，则 ∵，， ∴， 而题目中没有这一条件，根据题意与并不一定相等，故与不一定相等， 故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的判定以及勾股定理是解题的关键． 42．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 43．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理． 由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 44．如图，在中，，，，点是的中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点转转时（点不与，重合），以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定得出，即可判断①②③④都正确. 【详解】∵中，，，      ∵点是的中点， 在 和中 ∴①正确，②正确.      ∴③正确. ∵Rt中， ∴④正确. 综上，正确的有4个， 故选：D 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等.判定是解题的关键. 题型二 勾股定理与折叠问题的综合运用 45．如图，在纸片中，，将其折叠，使得点 C 与点 A 重合，折痕为，若， 则的周长为（   ） A．14 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是把握折叠的不变性． 先由勾股定理求出，再由折叠的性质得到，然后即可求解周长． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴的周长为：， 故选：A． 46．如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到的长，由折叠的性质得到，，，从而求得的长，设，在中，根据勾股定理求解可得的长，在中，根据勾股定理求解可得的长． 【详解】解：在中，，，， ， 将沿翻折，使点与边上的点重合， ，，， ， 设， ， 在中，， ，解得， 即， 在中，． 故选：A． 47．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 48．如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质，得到，平行线的性质，推出，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：C 49．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 50．如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，由题意得，，，由折叠性质可知，，， 通过勾股定理得，所以，设，则，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是长方形， ∴，，， 由折叠性质可知，，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 51．如图，在四边形中，，，在上选取一点，连接，将沿翻折，使点落在上的点处．求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用方程解决几何问题，灵活运用勾股定理及翻折的性质是解题的关键． （1）利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长； （2）设，则，在中，，据此求出的长度即可． 【详解】（1）解：在中， ∵， ∴， ∵， ∴，（负值已舍）， ∴， ∴根据勾股定理得， ∵， 在中，， ∴由勾股定理得； （2）解：设，由翻折的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， 故 解得． 故． 52．如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，设与交于点．由折叠的性质可知，根据三角形全等的性质得出．证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：如图，设与交于点． ∵四边形是长方形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴． 53．综合与实践 知识再现 如图1，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时， ． 问题探究 如图，中，． （1）如图2，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是 ． （2）如图3，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （1）如图4，将图3中的绕点B逆时针旋转一定角度至，绕点A顺时针旋转一定角度至，、相交于点P．求证：； （2）如图5，分别以图3中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值． 【答案】知识再现：64；问题探究：（1）；（2），理由见解析；实践应用：（1）见解析；（2） 【分析】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解； 问题探究：（1）利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解； （2）过点D作交于G，分别求出，，，由勾股定理可得，进而可得结论； 实践应用：（1）设，，，则，，，可证明是等边三角形，四边形是平行四边形，则，，再由，可证明； （2）设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为，可得，又由，进而可得答案． 【详解】知识再现：解：∵中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：64； 问题探究：（1）解：∵中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵中，， ∴， 过点D作交于G， 在等边三角形中，，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 实践应用：（1）证明：设，，， ∴，，， ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，四边形是平行四边形， ∴，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键． 54．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)2或8 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 55．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 56．（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】此题主要考查几何变换中的旋转变换，勾股定理； （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． 【详解】（1）证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形． ∴，， 又∵， ， 即 （2） 证明：如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等腰三角形． 且， ∴， ∵， ∴， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $