5.2勾股定理及其逆定理（勾股定理的逆定理）（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

5.2勾股定理及其逆定理（勾股定理的逆定理） （7大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由三边长度判断直角三角形 题型二 勾股数 题型三 格点中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理进行求值 题型五 利用勾股定理的逆定理进行证明 题型六 确定直角三角形的个数 题型七 勾股定理的逆定理的应用 能力提升题 题型一 与勾股定理逆定理有关的几何多结论问题 题型二 勾股定理及其逆定理的综合运用 题型一 由三边长度判断直角三角形 1．在中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且 B．是直角三角形，且 C．是直角三角形，且 D．不是直角三角形 2．已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（       ） A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 3.在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．中，的对边分别记为．下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，于点E． (1)求证：为直角三角形． (2)求的长． 题型二 勾股数 6．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 7．下列不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25 8.成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（    ）    A．14 B．16 C．35 D．37 9．观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出 (1)当时，则 ， ； (2)当时，求的值；（ 用字母 n 表示） (3)用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由． 题型三 格点中判断直角三角形 10．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 12．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上．若，则以三条线段为边长，能否构成直角三角形？请说明理由． 13．如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D分别在格点上． (1)求四边形的周长及面积； (2)求的度数； (3)画出点C到线段的垂线段，并求出垂线段的长． 题型四 利用勾股定理的逆定理进行求值 14.如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 15.如图，是直线外一点，、、三点在直线上，且于点，，若，，，，则点到直线的距离是 ． 16.已知 ，点是上的一个动点，则线段长的最小值是 ． 17．如图，在中，，，，是上一点，，求的长． 18．如图，在中，，点D在边上，连接，且，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的长． 19．如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型五 利用勾股定理的逆定理进行证明 20．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，且． (1)求证：是直角三角形； (2)若，，求的长． 21．如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接． (1)是直角三角形吗？请说明理由； (2)求的长． 22.如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°． 题型六 确定直角三角形的个数 23．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24．如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 题型七 勾股定理的逆定理的应用 25．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？ 26．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 27．如图，长方形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点为公园小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得米，米，米，米． (1)求观赏池边的长； (2)求草坪的面积． 28．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 29．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 30．新情境  如图，有一辆卡车沿笔直公路由点向点匀速行驶，点为一栋居民楼，且点与点，的距离分别为和，，已知卡车的行驶速度为，卡车周围以内为受噪声影响区域．则居民楼是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 31．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． ． 题型一 与勾股定理逆定理有关的几何多结论问题 32.如图，D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点D与点的距离为5；②可以由绕点A逆时针旋转60°得到；③；④点D到的距离为3；⑤．其中正确的有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 33．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有（　　） ①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 34．如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．如图，中，且，为外一点，连接，过作交于点，为上一点且，连接，．将线段绕点逆时针旋转到线段，连接分别交、于点、，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤若，，，则．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 勾股定理及其逆定理的综合运用 36.如图，，，，，则 ． 37.如图，中，，长为5，点D是上的一点，． (1)是哪种类型的三角形，请给出证明； (2)求出线段的长． 38．如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 39．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 40．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）． (1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形； (3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围． 41．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 42．勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2勾股定理及其逆定理（勾股定理的逆定理） （7大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由三边长度判断直角三角形 题型二 勾股数 题型三 格点中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理进行求值 题型五 利用勾股定理的逆定理进行证明 题型六 确定直角三角形的个数 题型七 勾股定理的逆定理的应用 能力提升题 题型一 与勾股定理逆定理有关的几何多结论问题 题型二 勾股定理及其逆定理的综合运用 题型一 由三边长度判断直角三角形 1．在中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且 B．是直角三角形，且 C．是直角三角形，且 D．不是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是计算三角形三边的平方，判断是否满足“两条较短边的平方和等于最长边的平方”，进而确定直角三角形及直角的位置． 先计算三边的平方，即，，；观察发现，根据勾股定理的逆定理，可知最长边所对的角为直角，即，由此判断选项． 【详解】解：A、若，则需满足，计算得，此选项不符合题意； B、若，则需满足，计算得，符合勾股定理的逆定理，此选项符合题意； C、若，则需满足，计算得，此选项不符合题意； D、由B的分析可知，满足勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 2．已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（       ） A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质以及勾股定理的逆定理，解题关键是根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0．求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ，，， ，， ，， ，， ，即 三角形的形状是直角三角形， 故选：D． 3.在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可． 【详解】解：∵，， 由得， 由得 ∴，即， ∴是直角三角形，又， ∴选项A符合题意， 故选：A． 4．中，的对边分别记为．下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，则为直角三角形，故本选项不符合题意； B、最大角，则为直角三角形，故本选项不符合题意； C、若，则，则为直角三角形，故本选项不符合题意； D、设，则，不能构成三角形，故本选项符合题意； 故选：D 5．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，于点E． (1)求证：为直角三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，垂直平分线的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形可得是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，设，则,根据勾股定理可得，求出x的值，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：中，， 又， 即， 是直角三角形； （2）如图，连接 是的垂直平分线， ， 设，则， ． 解得：，即， , ， ． 题型二 勾股数 6．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股数的定义，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； B．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； C．∵，即，且6，8，10是正整数， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； 故选C． 7．下列不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义，正确记忆勾股数的定义是解题关键．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，则3，4，5是勾股数，不符合题意； B、，则5，12，13是勾股数，不符合题意； C、，则2，3，4不是勾股数，符合题意； D、，则7，24，25是勾股数，不符合题意； 故选：C． 8.成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（    ）    A．14 B．16 C．35 D．37 【答案】C 【分析】依题意，设斜边为x，则股为，根据勾股定理即可求出x的值． 【详解】解：依题意，设斜边为x，则股为， ∴， 解得：， ∴股为， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力． 9．观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出 (1)当时，则 ， ； (2)当时，求的值；（ 用字母 n 表示） (3)用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由． 【答案】(1)60,61 (2)， (3)不是一组勾股数，理由见详解 【分析】本题考查了勾股数，数字规律，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的数据，发现，结合勾股数的定义进行列式化简，即可作答． （2）同理得，再结合以及勾股数的定义得， 得，，即可作答． （3）由（2）得，，，令，则， ，，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干的数据，发现， ∵a ，b ，c是勾股数， 即， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：60,61． （2）解：观察题干的数据，发现， ∵a ，b ，c是勾股数， 即， ∵，， ∴， ∴， 故， （3）解：不是一组勾股数，理由如下： 由（2）得，，， 依题意，令，则， ， ， ∴19，188，189不是一组勾股数． 题型三 格点中判断直角三角形 10．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理，勾股定理的逆定理逐项判断即刻． 【详解】A、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； B、由勾股定理可求，，，则，由勾股定理逆定理可得，故本选项不符合题意； C、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； D、在中，由勾股定理，，故本选项符合题意． 故选：． 11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可． 【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意； B、， ， ，B选项正确，不符合题意； C、，C选项错误，符合题意； D、设点A到直线的距离为h， 则，即， ，D选项正确，不符合题意， 故选：C． 12．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上．若，则以三条线段为边长，能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】能构成直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理；根据勾股定理得到，再结合勾股定理的逆定理即可求出结果． 【详解】解：能构成直角三角形． 理由如下： 由题图可知． 又因为， 所以， 所以以三条线段为边长，能构成直角三角形． 13．如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D分别在格点上． (1)求四边形的周长及面积； (2)求的度数； (3)画出点C到线段的垂线段，并求出垂线段的长． 【答案】(1) (2) (3)图见解析， 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据勾股定理求出各边的长度即可得到周长，根据三角形面积公式即可求出四边形的面积； （2）根据勾股定理的逆定理即可求出答案； （3）根据等腰三角形的判定和性质得到，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：由勾股定理可得，， ∴四边形的周长, 四边形的面积； （2）∵， ∴， ∴是直角三角形，， （3）如图，即为所求， ∵， ∴， ∴ 题型四 利用勾股定理的逆定理进行求值 14.如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 【答案】135 【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， 即， ． 故答案为：135 15.如图，是直线外一点，、、三点在直线上，且于点，，若，，，，则点到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，勾股定理的逆定理，理解点到直线距离的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得，然后再根据点到直线距离的定义可得出答案． 【详解】解：，，， ， 为直角三角形，即， ， 点到直线的距离是是线段的长， 即点到直线的距离是是4． 故答案为：4． 16.已知 ，点是上的一个动点，则线段长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短得到当时，线段最短，勾股定理逆定理求出是直角三角形，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∵垂线段最短， ∴当时，线段最短， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17．如图，在中，，，，是上一点，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 由勾股定理的逆定理，可得，根据勾股定理可得，从而可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴的长为． 18．如图，在中，，点D在边上，连接，且，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的长为17 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用是解题关键． （1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果； （2）利用勾股定理求出的长，从而求出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）在中，由勾股定理得， 所以． 19．如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再结合等边三角形性质证明，即可解题； （2）利用等边三角形性质得到，结合全等三角形性质推出，再利用勾股定理逆定理推出，最后利用结合全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：由题意可得：， ∵是等边三角形． ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理逆定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 题型五 利用勾股定理的逆定理进行证明 20．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，且． (1)求证：是直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）设，，则，，首先确定的长，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且； 是直角三角形； （2）解：∵， 设，，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 21．如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接． (1)是直角三角形吗？请说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)的长为5． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可解答； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 22.如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°． 【答案】见解析 【分析】利用勾股定理及勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】证明：连接AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=∠D=90°， ∵正方形ABCD的边长是4，BE=CE，DF=3CF． ∴BE=CE=2，CF=1，DF=3， 由勾股定理得， AE2=AB2+BE2=42+22=20， EF2=CE2+CF2=22+12=5， AF2=AD2+DF2=42+32=25， 又∵AE2+EF2=AF2， ∴△AEF是直角三角形，即∠AEF=90°． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握其定理是解决此题关键． 题型六 确定直角三角形的个数 23．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 24．如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，   设网格中每个小正方形的边长为，连接, 由图可知，, , , , , , ; 综上，共有个格点使得． 故选：C． 题型七 勾股定理的逆定理的应用 25．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？ 【答案】“海天”号沿北偏西方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的实际应用，根据题意可求出的长，则可证明得到，根据“远航”号的航向得到的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，海里，海里， ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿北偏东方向航行， ∴， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行， 答：“海天”号沿北偏西方向航行． 26．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 【答案】种植矮牵牛的面积为，种植三色堇的面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，由勾股定理求得，进而由勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 又∵， ∴，则是直角三角形，， ∴种植矮牵牛的面积为， 种植三色堇的面积为． 27．如图，长方形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点为公园小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得米，米，米，米． (1)求观赏池边的长； (2)求草坪的面积． 【答案】(1)20米 (2)600平方米 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用勾股定理求解即可； （2）连接,根据勾股定理求出米,然后证明出是直角三角形，且，然后利用代数求解即可. 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 在Rt中，米，米， 由勾股定理，得，即， 所以米． 答：观赏池边的长为20米; （2）解：连接． 因为,米，米， 根据勾股定理，得， 所以米． 因为在中，，， 所以， 所以是直角三角形，且， 所以（平方米）． 答：草坪的面积为600平方米． 28．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是从村庄C到河边的最近路，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，垂线段的性质，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，由垂线段最短，可知是从村庄C到河边的最近路； （2）利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：是从村庄C到河边的最近路，理由如下： ，，，， ， 是直角三角形，其中， ， 是从村庄C到河边的最近路 （2）解：设 ，则， 在中，， ， 解得， 即原来的路线的长为2.5千米． 29．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车不符合安全标准，见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理；利用勾股定理求出，由，可得，则和不垂直，该车不符合安全标准． 【详解】解：该车不符合安全标准； 在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴，即和不垂直， ∴该车不符合安全标准． 30．新情境  如图，有一辆卡车沿笔直公路由点向点匀速行驶，点为一栋居民楼，且点与点，的距离分别为和，，已知卡车的行驶速度为，卡车周围以内为受噪声影响区域．则居民楼是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 【答案】会受噪声影响，卡车噪声影响该居民楼持续的时长为 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，过点作于点，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，根据三角形的面积公式可以求出，因为卡车周围以内为受噪声影响区域，所以居民楼会受到影响，当时，卡车在段行驶会影响居民楼，利用勾股定理可以求出，根据卡车的行驶速度为，可以求出居民楼受影响的时间为． 【详解】解：居民楼会受噪声影响， 如下图所示，过点作于点， ，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 卡车周围以内为受噪声影响区域， 居民楼会受噪声影响， 当时，卡车在段行驶会影响居民楼， 此时， 在中，， ， ， ， 卡车的行驶速度为，， ， 答：卡车噪声影响该居民楼持续的时长为． 31．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ． ∴为直角三角形， ， ； （2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图， ， ∴． 又， ∴， ． ， ， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴ 解得：． ． 购物车把手点到的距离为． ． 题型一 与勾股定理逆定理有关的几何多结论问题 32.如图，D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点D与点的距离为5；②可以由绕点A逆时针旋转60°得到；③；④点D到的距离为3；⑤．其中正确的有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】连接，根据旋转的性质得，可判断为等边三角形，则，可对①进行判断；由为等边三角形得到，则把逆时针旋转60°后，与重合，与重合，于是可对②进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对③④进行判断；由于四边形的面积，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断． 【详解】解：连接，如图所示， ∵线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴，故①正确； ∵为等边三角形， ∴， ∴把逆时针旋转60°后，与重合，与重合， ∴可以由绕点A逆时针旋转60°得到，故②正确； ∴， ∵， ∴在中，， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴点D到的距离为3，故④正确； ∵， ∴ ，故③错误； ∵四边形的面积，故⑤正确． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理． 33．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有（　　） ①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④． 【详解】解：①∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA， ∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴△BPQ是等边三角形， 所以①正确； ∴PQ=PB=4， ∵PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°， ∴△PCQ是直角三角形， 所以②正确； ∵△BPQ是等边三角形， ∴∠PQB=∠BPQ=60°， ∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以③正确； ∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC， ∵∠PQC=90°，PC≠2QC， ∴∠QPC≠30°， ∴∠APC≠120°． 所以④错误． 所以正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识． 34．如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，作交的延长线于点E，由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则是等边三角形，，可证明，则可以由绕点B逆时针旋转得到，可判断①正确；因为，所以点O与的距离为4，可判断②正确；因为，，所以，则，而，则，可判断③正确；因为，则，所以，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作交的延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴， ∴是等边三角形，， 在和中， ， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故①正确； ∴， ∴点O与的距离为4， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， 故④错误， 故选：C． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 35．如图，中，且，为外一点，连接，过作交于点，为上一点且，连接，．将线段绕点逆时针旋转到线段，连接分别交、于点、，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤若，，，则．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先证明，得到对应边相等，对应角相等，依次得出①正确和③错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出②正确，由三角形的三边关系，可以得出④正确，利用勾股定理逆定理和三角形面积公式即可判定⑤正确． 【详解】解:∵，， ∴， 又∵且， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ，即，故④正确； ∵，，， ∴， ∴，故③错误； 如图，连接， 若，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等内容，解决本题的关键是能正确分析图形中的相等关系，能在相等的边和角中进行转化，能构造直角三角形进行求解等． 题型二 勾股定理及其逆定理的综合运用 36.如图，，，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答． 【详解】解：，，， ，， ∵，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 37.如图，中，，长为5，点D是上的一点，． (1)是哪种类型的三角形，请给出证明； (2)求出线段的长． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可证明． （2）设，则，在中，利用勾股定理列方程，从而解决问题． 【详解】（1）为直角三角形． ∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴为直角三角形． （2）在中，设，则， 由勾股定理得： 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，判定是解题的关键． 38．如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可证，得到，设点到的距离为，由等积法即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， 设点到的距离为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 39．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由两个三角形全等的判定定理证得，再由全等性质即可得到答案； （2）连接，如图所示，在中，由勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质得到及，在中，由勾股定理的逆定理得到，从而得到的度数．． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： ， 在中，，，则由勾股定理可得，且， ， ， 在中，，，则，， ， 即为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，熟记三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识是解决问题的关键． 40．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）． (1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形； (3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】(1)锐角，钝角 (2)， (3)是锐角三角形，此时；时，是直角三角形；是钝角三角形，此时 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的性质，熟练掌握“大边对大角，大角对大边”、“三角形任意两边之和大于第三边”是解题的关键． 【详解】（1）解：当三边长分别为6，8，10时，是一个直角边长分别为6、8的直角三角形，斜边长为10，，所以当三边长分别为6，8，9时，边长为9的边所对的角小于直角，则为锐角三角形； ，所以当三边长分别为6，8，11时，边长为11的边所对的角大于直角，则为钝角三角形； 故答案为：锐角，钝角． （2）解：由（1），猜想当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形； 故答案为：，． （3）解：为最长边， ， 时，是直角三角形； 时，是锐角三角形，此时，即； 时，是钝角三角形，此时，即； 综上，时，是锐角三角形；时，是直角三角形；时，是钝角三角形． 41．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 42．勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦 【分析】探究1：（1）根据勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）； （2）根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证； （3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数； 探究2：（1）根据规律即求解； （2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝，弦＝； （3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，根据所给3组数据找出规律即可得结论． 【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；· （2）证明： ， ， 满足以上公式的是一组勾股数； （3）∵＝ ∴满足以上公式的是一组勾股数； 当时，， ∴构成一组勾股数．(答案不唯一） 探究2：（1）依据规律可得，如果勾为， 则股， 弦， （2）如果勾用，且为奇数）表示时， 则股， 弦 （3）①b＝80． ②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)， 则另一条直角边 弦 【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足的三个正整数均为勾股数是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $