精品解析：江苏苏州高新区第一初级中学校2026-2027学年上学期八年级第一次学情自测数学试题

2026-2027学年度新区一中初二10月份月考卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 2. 下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某同学在“做·中·学”课上，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则一定是的一条角平分线的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. 将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，∠AOB＝70°，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点D，连接CD；以点D为圆心，DC长为半径画弧交OB于点E，连接CE，∠DCE的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 7. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 8. 如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A. 5条 B. 4条 C. 3条 D. 2条 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若，，，则______°． 10. 已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为________． 11. 单项式和的公因式是______． 12. 如图，方格纸中的度数为_______． 13. 已知，，则代数式的值为______． 14. 已知的三边分别为a，b，c，化简：______． 15. 已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成和两部分，则这个等腰三角形的底边长是_____________. 16. 如图，在四边形中，C是边的中点，，，，若，则线段长度的最大值为______． 三、解答题（共11题，共68分） 17. 分解因式： （1） （2） （3） （4） 18. 利用网格线画图：如图，点、、都在正方形网格的格点上． （1）在上找一点，使； （2）在上找一点，使点到和的距离相等． 19. 如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 20. 如图，在中，． （1）用圆规和直尺在边上作点P，使点P到A，B的距离相等；(保留作图痕迹) （2）若(1)的点P到的距离相等，求的度数． 21. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为17，求的长． 22. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）该同学从第______步开始出现错误； （2）请写出因式分解正确的过程． 23. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF； （2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长． 24. 【阅读材料】我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：． 解： ． 【实践应用】请用配方法解答下列问题： （1）分解因式：． （2）多项式的最小值是______． （3）已知a、b、c是的三边长，且满足：，判断是什么形状的三角形，并说明理由． 25. 仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． （1）若二次三项式可分解为，则 ； （2）若二次三项式可分解为，则 ； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 26. 已知线段，以为斜边作和，连接，M、N分别是线段、的中点，连接、． （1）如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； （2）如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含α、β的代数式表示） 27. （1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE． ①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为　　； ②求证：△AEF是等腰三角形； （2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值　　．（只需直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度新区一中初二10月份月考卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 2. 下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据因式分解的结果为几个整式乘积的特征判断． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合题意． B．符合因式分解要求，是因式分解，符合题意． C．仅为符号变形，左右均为乘积形式，不是因式分解，不符合题意． D．右边为和的形式，不是因式分解，不符合题意． 3. 如图，某同学在“做·中·学”课上，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则一定是的一条角平分线的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的中线，而不是角平分线，故A不符合题意； B、由折叠可知不是的角平分线，故B不符合题意； C、由折叠可知是的角平分线，故C符合题意； D、由折叠可知是的高线，故D不符合题意． 4. 如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，共有4对全等三角形； 故选D． 5. 将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义，以及用几何图形解释因式分解的含义等内容，牢牢把握因式分解的定义是解决此题的关键．利用拼接前后的面积相等，再结合因式分解的定义，对选项进行排除，即可得到正确结果． 【详解】解：根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式， 故可排除选项C，D； 由图①的面积为，图②的面积为， 则， ∴可排除选项B； 故选：A． 6. 如图，∠AOB＝70°，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点D，连接CD；以点D为圆心，DC长为半径画弧交OB于点E，连接CE，∠DCE的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知，CO＝CD，DC＝DE，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知，CO＝CD，DC＝DE， ∵CO＝CD， ∴∠ODC＝∠COD＝70°， ∴∠DCE＋∠CED＝∠ODC＝70°， ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠CED＝35°，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，由作图得出CO＝CD，DC＝DE是解题的关键． 7. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 8. 如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A. 5条 B. 4条 C. 3条 D. 2条 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形． ∴这样的直线最多可画4条． 故选：B． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若，，，则______°． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由三角形内角和定理求出，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：100． 10. 已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角新三边数量关系，掌握等腰三角形的定义，分类讨论是关键． 根据等腰三角形的定义分类讨论即可． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和10， 当腰长是，底边长为时， ∵， ∴不能构成等腰三角形； 当腰长是，底边长是时， ∵， ∴符合等腰三角形的定义， ∴这个等腰三角形的周长为， 故答案为：24 ． 11. 单项式和的公因式是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：首先确定系数的最大公约数，和的最大公约数是； 再确定两个单项式都含有的相同字母，可得都含有和； 接着取相同字母的最低次幂，的次数分别为和，取次数，的次数分别为和，取次数； 将三部分结果相乘，得到公因式为． 12. 如图，方格纸中的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，如图，利用可证，得到，进而即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将因式分解为，代入求值即可． 【详解】解： ，， ， 原式 ． 14. 已知的三边分别为a，b，c，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简、三角形的三边关系，利用绝对值的性质正确化简是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 15. 已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成和两部分，则这个等腰三角形的底边长是_____________. 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及二元一次方程组的应用，熟练求解二元一次方程组是解题的关键。设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为，故应该列两个方程组求解． 【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，由题意得 或， 解得或 故等腰三角形的底边长为或． 16. 如图，在四边形中，C是边的中点，，，，若，则线段长度的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将沿翻折得，将沿翻折得，证明为等边三角形，当A，F，G，E共线时，有最大值． 【详解】解：如下图，将沿翻折得，将沿翻折得， ， ， 沿翻折得，将沿翻折得， ，，，， ， ， 是边的中点， ， ， 为等边三角形， ， ，， 当A，F，G，E共线时，有最大值，为． 三、解答题（共11题，共68分） 17. 分解因式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 利用网格线画图：如图，点、、都在正方形网格的格点上． （1）在上找一点，使； （2）在上找一点，使点到和的距离相等． 【答案】（1）答案见试题解析；（2）答案见试题解析． 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线和交平分线性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）直接利用线段垂直平分线的性质结合网格得出答案； （2）直接利用角平分线的性质结合网格得出答案． 【详解】（1）如图所示：要使，则点要在的垂直平分线上，找到中点，作垂线，与交于点即为所求； （2）如图所示：要使到与的距离相等，则点要在的角平分线上， 由图可知，所以找到方格纸上和点在同一个小正方形上且与点相对，连接两点并延长与交于点即为所求． 19. 如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，利用即可证明． 【详解】略 20. 如图，在中，． （1）用圆规和直尺在边上作点P，使点P到A，B的距离相等；(保留作图痕迹) （2）若(1)的点P到的距离相等，求的度数． 【答案】（1）如图，点P即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点P，得； （2）由角平分线判定定理得．由等边对等角，得，于是，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形性质，角平分线的判定定理；理解垂直平分线性质，角平分线的判定定理是解题的关键． 21. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为17，求的长． 【答案】（1）； （2）5． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，再根据三角形内角和定理解答即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，结合的周长得到，即可解答． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵垂直平分，， ∴, ， ∴， ∵的周长为17， ∴ ∴， ∴， ∴． 22. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）该同学从第______步开始出现错误； （2）请写出因式分解正确的过程． 【答案】（1）二； （2） 原式 【解析】 【小问1详解】 解：第二步出现错误，错误的原因是括号前是“”号，去掉括号后，原括号里的第二项没有变号； 【小问2详解】 见详解 23. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF； （2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长． 【答案】 （1）∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠EBA， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△BEA≌△AFC． ∴EA=FC，BE=AF． ∴EF=EB+CF． （2）7 【解析】 【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论； （2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了． 【详解】解：（1）略 （2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠ABE， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△BEA≌△AFC． ∴EA=FC=3，BE=AF=10． ∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题． 24. 【阅读材料】我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：． 解： ． 【实践应用】请用配方法解答下列问题： （1）分解因式：． （2）多项式的最小值是______． （3）已知a、b、c是的三边长，且满足：，判断是什么形状的三角形，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）是等边三角形．理由： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）利用【阅读材料】中配方法将式子因式分解即可得到答案； （2）利用【阅读材料】中配方法将式子化成，由于，所以，从而即可得到答案； （3）利用【阅读材料】中配方法将式子整理成，从而得到，即可得到是等边三角形． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴的最小值是； 【小问3详解】 略 25. 仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． （1）若二次三项式可分解为，则 ； （2）若二次三项式可分解为，则 ； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】（1）4 （2）1 （3）另一个因式是，的值为 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据多项式乘多项式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则计算，由此即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． 【小问2详解】 解：由题意得：， 所以， 所以， 故答案为：1． 【小问3详解】 解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． 26. 已知线段，以为斜边作和，连接，M、N分别是线段、的中点，连接、． （1）如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； （2）如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含α、β的代数式表示） 【答案】（1）①证明：连接， ∵M是线段的中点，， ∴， ∴， 又∵N是的中点， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质． （1）①根据直角三角形斜边中线的性质得出，再根据等腰三角形“三线合一”即可证明；②易证，则，，即可得出，的度数，则，最后根据等腰三角形的性质即可解答； （2）易证，则，即可得出，的度数，则，最后根据等腰三角形的性质即可解答； 【小问1详解】 解：①略 ②解：∵M是线段的中点，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接， ∵M是线段的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，N是的中点， ∴． 故答案为：． 27. （1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE． ①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为　　； ②求证：△AEF是等腰三角形； （2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值　　．（只需直接写出结果） 【答案】（1）①k+1； ②如图1，过B点作BG∥AC交EF于G． ∴， 在△BGD和△CED中， ， ∴（ASA）， ∴BG＝CE， 又∵BF＝CE， ∴BF＝BG， ∴， ∴ ∴AF＝AE，即△AEF是等腰三角形． （2）y＝x+45°，理由如下： 如图2，设AH与BC交于点N，∠2＝α． 则∠3＝∠1＝2∠2＝2α， ∵AH∥BG， ∴∠CNH＝∠ANB＝∠3＝2α， ∵∠CNH＝∠2+∠4， ∴2α＝α+∠4， ∴∠4＝α， ∵∠4＝∠BCG﹣∠2， ∴∠BCG＝∠2+∠4＝2α， 在△BGC中，，即：， 在△ABC中，，即：， 联立消去得：y＝x+45°． （3） 【解析】 【分析】（1）①先根据AE与CE之比求出△ADE的面积，进而求出ADC的面积，而D中BC中点，所以△ABD面积与△ADC面积相等；②延长BF至R，使FR＝BF，连接RC，注意到D是BC中点，过B过B点作BG∥AC交EF于G．得，再利用等腰三角形性质和判定即可解答； （2）设∠2＝α．则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，根据平行线性质及三角形外角性质可得∠4=α，再结合三角形内角和等于180°联立方程即可解答； （3）分别作P点关于FA、FD的对称点P'、P''，则PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP“≥P'P''＝FP，当FP垂直AD时取得最小值，即最小值就是AD边上的高，而AD已知，故只需求出△ADF的面积即可，根据AE＝kEC，AE＝AF，CE＝BF，可以将△ADF的面积用k表示出来，从而问题得解． 【详解】解：（1）①∵AE＝kCE， ∴S△DAE＝kS△DEC， ∵S△DEC＝1， ∴S△DAE＝k， ∴S△ADC＝S△DAE+S△DEC＝k+1， ∵D为BC中点， ∴S△ABD＝S△ADC＝k+1． ②略 （2）略 （3）如图3，作P点关于FA、FD的对称点P'、P''， 连接P'Q、P'F、PF、P''M、P''F、P'P''， 则FP'＝FP＝FP''，PQ＝P'Q，PM＝P''M，∠P'FQ＝∠PFQ，∠P''FM＝∠PFM， ∴∠P'FP''＝2∠AFD， ∵∠G＝100°， ∴∠BAC＝∠G+45°＝120°， ∵AE＝AF， ∴∠AFD＝30°， ∴∠P'FP''＝2∠AFD＝60°， ∴△FP'P''是等边三角形， ∴P'P''＝FP'＝FP， ∴PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP''≥P'P''＝FP， 当且仅当P'、Q、M、P''四点共线，且FP⊥AD时，△PQM的周长取得最小值． ，，， ， ， 当时，， 的周长最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，涉及了三角形面积之比与底之比的关系、全等三角形等腰三角形性质和判定、轴对称变换与最短路径问题、等边三角形的判定与性质等众多知识点，难度较大．值得强调的是，本题的第三问实际上是三角形周长最短问题通过轴对称变换转化为两点之间线段最短和点到直线的距离垂线段最短． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $