精品解析：江苏省苏州市苏州中学2024--2025学年秋八年级上学期10月数学能力测评卷

2024秋季初二数学10月能力测评卷 一、选择题（共8小题） 1. 下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ） A. 贵州航空 B. 江西航空 C. 春秋航空 D. 香港航空 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 3. 对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①，推出，得到是直角三角形；②根据勾股定理逆定理，即可推出是直角三角形；③，推出，得到是直角三角形；④，结合三角形的内角和定理，求出三个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故①正确； ②∵， 设， ∴， ∴是直角三角形；故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形；故④错误； 综上：能确定是直角三角形的条件有①②③； 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握直角三角形的定义，以及勾股定理逆定理，是解题的关键． 4. 如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理．过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又点P到的距离是4，进而求出． 【详解】解：过点P作于E， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故选A． 5. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 6. 如图，在中，，，O为、平分线的交点，若的面积为30，则的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，由角平分线的性质可得，点O到的距离相等，则面积的比实际为三边的比． 【详解】解：∵O为平分线的交点， ∴点O到的距离相等， ∴面积的比， ∵的面积为30， ∴的面积为24． 故选：C． 7. 如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，利用勾股定理得到x2+32=（9－x）2，计算即可． 【详解】解：∵D是BC的中点， ∴BD=3， 设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x， 在Rt△BDN中，， x2+32=（9－x）2， 解得x=4． 故线段BN的长为4． 故选C． 8. 如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（　　） A. 秒 B. 3秒 C. 或3秒 D. 3或秒 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，利用直角三角形的性质解答即可． 本题考查了直角三角形的分类计算，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∵为直角三角形，， ∴当，时， 则， ∴， 解得：， 当，时， 则， ∴， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故选：D． 二、填空题（共8小题） 9. 新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为______． 【答案】20231425 【解析】 【分析】本题考查了镜面对称的性质； 根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可得答案． 【详解】解：他的学号为20231425， 故答案为：20231425． 10. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 为高， ， ， ， ； 当在外部时，如图2， 为高， ， ， ， ， 而， ， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 11. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=__度． 【答案】15 【解析】 【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=∠CGD=30°， ∵DF=DE， ∴∠E=∠DFE=15°． 故答案为：15． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练运用等边对等角是关键． 12. 如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再证明，继而得到后计算即可． 【详解】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：． 13. 如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米， 过作于E，则， 在直角三角形中，． 答：小鸟至少要飞10米． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际运用和两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 14. 如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：设定字母如图所示： ①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∵ ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，将沿折叠得，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理得到，根据翻折性质得出，，然后借助三角形的面积公式列出关于线段CO的关系式，问题即可解决． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵，，，， ∴， ∴， 根据翻折的性质得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 16. 如图，在长方形中，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为，，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过D作于，连接，根据题意可得，从而可以判定最小值为，即可求解． 【详解】解：过D作于，连接，如图： 长方形中，，，， ∴ ∴， ∵M关于边，的对称点分别为M1，M2， ∴， ∴， 线段长度最小即是长度最小，此时，即M与重合，最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的有关性质将的最小值转化为的最小值是解题的关键． 三、解答题（共11小题） 17. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'； （2）若网格中最小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ； （3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点． 【答案】（1）如图，△A'B'C'即为所求； （2）3； （3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P， 此时△PAC周长最小． ∴点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'； （2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积； （3）根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小． 【详解】解：（1） 略 （2）△ABC的面积为：×3×2=3； （3） 略 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短． 18. 在中，，、、的边分别为、、， （1）若，，求，的值． （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． （1）设，则，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论． （2）根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值． 【小问1详解】 解：中，，、、的对边分别为、、，且， 设，则． ，即， 解得， ，； 【小问2详解】 解：中，，、、的对边分别为、、， ， ， ∴， ∵， ， 解得：． 19. 如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地，种了一些蔬菜．爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，，，，又测得，求这块土地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理是解答此题的关键． 先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴在中，由勾股定理可得：， ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴这块土地的面积为：， 答：这块土地的面积是． 20. 如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接． （1）若的周长为19，的周长为7，求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案； （2）先求解，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． 21. “赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 【答案】 证明：五边形的面积为： ①， ②， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．五边形的面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，或五边形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【详解】略 22. 如图，已知． （1）在图中用直尺和圆规作出的平分线和边的垂直平分线，并交于点O(保留作图痕迹，不写作法)． （2）在（1）的条件下，若点D，E分别是边和上的点，且，连接，，试说明． 【答案】（1） 解：如图1中，点O即为所求． （2） 如图1中，连接． ∵， ∴， ∵由作图可得：， ∴， 由作图可得：， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用尺规根据要求作出点O即可． （2）如图1中，连接．构造全等三角形解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 24. 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E． （1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数； （2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长． 【答案】（1）40°；（2）4cm． 【解析】 【分析】（1）求出∠BAC＝110°根据线段垂直平分线的性质得到，DA＝DB，EA＝EC，继而即可求解； （2）连接OA，OB，OC，根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质求得OA＝OB和 OA＝OC ，进而得出OB=OC，计算即可求解． 【详解】解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∵DM是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠ABC＝30°， 同理，EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ACB＝40°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°； （2）连接OA，OB，OC， ∵△ADE的周长7cm ∴AD+DE+EA＝7（cm）， ∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）； ∵△OBC的周长为15， ∴OB+OC+BC＝15， ∵BC＝7， ∴OB+OC＝8， ∵OM垂直平分AB， ∴OA＝OB， 同理，OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC＝4cm． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 25. 如图，在中，分别是边上的高线，取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点． （1）求证：； （2）如果，求． 【答案】（1） 证明：在中，、分别是边、上的高线， . 是的中点， ， 是等腰三角形. 是的中点， ； （2）48． 【解析】 【分析】对于（1），根据直角三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出结论； 对于（2），先根据已知条件及直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的性质及证明是等边三角形，再根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：、分别是边、上的高线， ， 是的中点，， ， ，. ， ， ， ， 是等边三角形. 是的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形内角和定理等，掌握直角三角形的性质是解题的关键．即直角三角形的斜边中线等于斜边的一半． 26. 如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求的长： （3）若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵将绕点B顺时针方向旋转到， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）的最小值为10． 【解析】 【分析】（1）利用证明，得； （2）由（1）得，则，再根据勾股定理可得的值，从而得出的长； （3）由（2）知，，则点E在直线上运动，作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小，再根据勾股定理求的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 则点E在直线上运动， 作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴的最小值为10． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题，确定点E的运动路径是解题的关键． 27. 如图①，等腰中，． 点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． 问题思考 在图①中，求证：； 问题再探 若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展 若且平分，如图③，请直接写出的值为 ． 【答案】 问题思考：证明：∵，， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 问题再探：，理由如下： 在上取点G，使，连接CG，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形 又∵，， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题拓展： 【解析】 【分析】问题思考：证，推出，根据等腰三角形性质推出，即可得出答案； 问题再探：在上截取，连接，证，为等边三角形，再证明，推出，即可得出答案； 问题拓展：延长交于点H，证，推出，证，推出，即可得出答案． 【详解】问题思考：略 问题再探：略 问题拓展：延长交于点H，如下图 ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024秋季初二数学10月能力测评卷 一、选择题（共8小题） 1. 下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ） A. 贵州航空 B. 江西航空 C. 春秋航空 D. 香港航空 2. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 3. 对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 4. 如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 6. 如图，在中，，，O为、平分线的交点，若的面积为30，则的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 48 7. 如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 8. 如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（　　） A. 秒 B. 3秒 C. 或3秒 D. 3或秒 二、填空题（共8小题） 9. 新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为______． 10. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是____． 11. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=__度． 12. 如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则_______． 13. 如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________米． 14. 如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是__________． 15. 如图，在中，，，，将沿折叠得，连接，则______． 16. 如图，在长方形中，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为，，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是______． 三、解答题（共11小题） 17. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'； （2）若网格中最小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ； （3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点． 18. 在中，，、、的边分别为、、， （1）若，，求，的值． （2）若，，求的值． 19. 如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地，种了一些蔬菜．爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，，，，又测得，求这块土地的面积． 20. 如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接． （1）若的周长为19，的周长为7，求的长； （2）若，，求的度数． 21. “赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 22. 如图，已知． （1）在图中用直尺和圆规作出的平分线和边的垂直平分线，并交于点O(保留作图痕迹，不写作法)． （2）在（1）的条件下，若点D，E分别是边和上的点，且，连接，，试说明． 23. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 24. 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E． （1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数； （2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长． 25. 如图，在中，分别是边上的高线，取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点． （1）求证：； （2）如果，求． 26. 如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求的长： （3）若，请直接写出的最小值． 27. 如图①，等腰中，． 点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． 问题思考 在图①中，求证：； 问题再探 若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展 若且平分，如图③，请直接写出的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $