·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 《第三章 勾股定理 第二节 勾股定理的逆定理》提优特训A·B卷

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第三章勾股定理第二节勾股定理的逆定理》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解勾股定理与逆定理的互逆关系，掌握 “ 由边长数量关系判定直角三角形 ” 的数形转化思想，建立代数判形的几何模型。 2.掌握勾股定理逆定理的判定逻辑，能严谨推理三角形是否为直角三角形，区分定理与逆定理的条件、结论差异。 3.熟练通过平方运算、大小比较，验证三边关系，精准判定直角三角形，规范解题步骤，提升计算准确率。 4.能运用逆定理解决生活测量、图形判定、网格几何等实际问题，熟练识别常见勾股数，提升几何综合解题能力。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.勾股定理逆定理的文字表述、公式形式、判定方法与适用条件。 2.利用三边平方关系，判定任意三角形是否为直角三角形。 3.熟记常见勾股数，掌握勾股数的基本性质与简单拓展规律。 4.区分勾股定理与勾股定理逆定理的用途：定理知形求边，逆定理知边判形。 （二）难点 1.判定前先找最长边的解题规范，避免公式代入顺序错误。 2.理解 “ 数 → 形 ” 的转化逻辑：通过代数计算证明几何图形为直角三角形。 3.复杂含根式、含参数、网格不规则三角形的直角判定。 4.逆定理综合应用：结合面积、折叠、实际测量问题的综合解题。 ) 三．知识梳理 回顾勾股定理：直角三角形的三边满足a2 + b2 = c2。反过来，若一个三角形的三边满足a2 + b2 = c2，它是否一定是直角三角形？ 比如古埃及人曾用“3、4、5”的绳子围三角形来确定直角，这背后蕴含着什么数学原理？ （一）勾股定理的逆定理（本节核心） 1.定理内容： 如果三角形的三边长 a、b、c（c 为最长边），满足：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且最长边 c 所对的角为直角。 2.符号语言： 如图，在△ABC中 ∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形且∠C=90°． 3.核心本质 勾股定理：已知直角三角形 → 得三边平方关系（由形得数）；逆定理：已知三边平方关系 → 判定直角三角形（由数定形）。二者互为互逆定理，是几何数形结合的经典模型。 3.标准判定步骤（考试必考规范） （1）排序：找出三边中最长边，定为 c； （2）计算：分别算出两条短边平方和、最长边平方； （3）比较：若短边平方和 = 最长边平方 → 直角三角形；不相等 → 非直角三角形。 （二）三角形形状的三边判定拓展（提优拓展） 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。 设三角形最长边为 c： （1）a2+b2=c2 → 直角三角形 （2）a2+b2>c2 → 锐角三角形 （3）a2+b2<c2 → 钝角三角形 该拓展是期中、期末提优高频考点，可快速判定任意三角形形状。 （三）勾股数（高频基础考点） 1.定义： 满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为一组勾股数。 2.必备条件（缺一不可） （1）必须是正整数（小数、分数、根式都不是勾股数） （2）必须满足短边平方和 = 长边平方 3.常用基础勾股数（必须熟记） （1）（为正整数）； 例如：（3，4，5）；（8，6，10）；（15，8，17）；（24，10，26）等。 （2）（为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7.24，25）；（9，40，41）等。 （3）（，为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（11，60，61）等。 4.勾股数性质 一组勾股数的正整数倍，仍然是勾股数。 例：3、4、5 同乘2得 6、8、10，依旧为勾股数。 5.判断一组数是不是勾股数的一般步骤 （四）定理与逆定理对比辨析 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在△ABC 中,∠C=90° 在△ABC 中，a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 ∠C=90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为题设，进而得到这个三角形三边的关系，即“a2＋b2＝c2（c 为斜边）”，由形到数 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足 a2+b2=c2 （c 为最长边）”为题设，进而得到这个三角形是直角三角形，由数到形 （五）常见应用场景 1.网格格点三角形，判定是否为直角三角形； 2.生活测量：判断墙角、支架、建筑结构是否垂直； 3.几何综合：先判直角，再用勾股定理求边长、求高、求面积； 4.压轴铺垫：折叠、动点、四边形证明直角、垂直关系。 （六）易错分析（本节高频陷阱，考试重灾区） 1.不找最长边，随意代入公式 【错误】：随便取三边代入 a2+b2=c2 【正解】：必须以最长边作为 c，只有短边平方和等于最长边平方，才是直角三角形；顺序颠倒直接判错。 2.混淆定理与逆定理因果关系 【错误】：知道三边关系，乱用勾股定理说理 【正解】：知形求边用勾股定理，知边判形用逆定理，几何证明、填空题说理必须严格区分，因果不能倒置。 3.对勾股数概念理解片面 【错误】：0.6、0.8、1 或 、、认为是勾股数 【正解】：勾股数仅限正整数，小数、分数、无理数即使满足等式，也不属于勾股数。 4.直接默认三边最大角在固定位置 【错误】：不排序，默认某条边对直角 【正解】：最长边一定对最大角，若为直角三角形，直角一定是最长边所对的角。 5.计算马虎，平方运算出错 【错误】：122=24、152=200 低级平方计算错误 【正解】：熟记常用平方数，判定时分步计算、逐项验算，避免计算失误导致判形错误。 6.忽略非整数边长三角形的判定 【错误】：只有整数边长才能用逆定理 【正解】：逆定理适用于所有三角形，无论边长是整数、小数、根式，只要满足平方关系，即可判定为直角三角形。 7.不会区分锐角、钝角三角形 【错误】：不相等就一律判定为锐角三角形 【正解】：短边平方和大于长边平方为锐角三角形，小于长边平方为钝角三角形，提优题常考分类判定。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·盐城盐都月考）下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.5,1.2,1.3 B. 3,4,5 C. 4,5,6 D. 1,2,3 【答案】B 【解析】勾股数必须是正整数，且满足两短边平方和等于最长边平方。32+42=52，A是小数，C、D不满足等式，故选B。 2.（2025·连云港海州期末）三角形三边长为6，8，10，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 【答案】B 【解析】最长边为10，62+82=36+64=100=102，满足勾股定理逆定理，是直角三角形。 3.（2026·泰州姜堰期中）工人检测门框是否为直角，测量三边长度，判断依据是（ ） A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和 D.全等判定 【答案】B 【解析】已知三边长度，通过边长数量关系判定直角，是由数定形，利用勾股定理的逆定理。 4.（2026·南通通州期中）一组勾股数同乘以正整数k，得到的新数组（ ） A.一定还是勾股数 B.一定不是勾股数 C.只有k=2才是勾股数 D.无法确定 【答案】A 【解析】若a2+b2=c2，则(ka)2+(kb)2=k2(a2+b2)=k2c2=(kc)2，仍然满足，新数组为勾股数。 5.如图，在一个6×6的正方形网格中，有三个格点三角形(顶点在网格的交点上)，其中直角三角形的个数是 （  ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】如图所示：∵ AB² = 2² + 1² = 5，AC² = 3² +1² = 10，BC² = 2² +1²=5,∴.AB² + BC² = AC²，∴△ ABC是直角三角形;∵ DE² = 3² +1² =10，EF²= 2² + 1² = 5，DF² = 32 + 2² =13,∴.DF² + EF² ≠ DF²，∴ΔDEF不是直角三角形;∵ PM² = 3² +3² =18，NM² = 2² + 2² = 8，PN² = 5² + 1² =26，:.PM² + MN² = PN²，∴.△PMN是直角三角形;故选C.   6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6 【答案】D 【解析】A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D． 7．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解答】∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故选：C． 8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 【答案】B 【解答】如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确； 故选：B． 9．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c= C．（b+a）（b﹣a）=c2 D．∠A：∠B：∠C=5：3：2 【答案】B 【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；B、设a=20k，则b=15k，c=12k，∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，故不能判定是直角三角形；C、∵（b+a）（b﹣a）=c2，∴b2﹣a2=c2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确；D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，∴∠A=×180°=90°，故是直角三角形，正确．故选：B． 10.如图,在ΔABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3, 则∠BPC的度数为( ) A.120° B.135° C.140° D.150° 【答案】B 【解析】如图，将△ACP绕C点旋转90°，得△BCQ，连接PQ，由旋转的性质可知:Rt△ACBRtΔPCQ，∠PCQ=90°，∴.CQ=CP=2,BQ=PA=3，∠QBC= ∠PAC，∴.PQ² = CQ² + CP² =8，且∠QPC=45°，在△BPQ中，PB² + PQ² =8+1=9，∴.PB² + PQ² = BQ²，:. ∠QPB =90°,∴.∠BPC= ∠QPB+∠QPC=135°.故选B. 二．填空题（共30分） 11.（2026·淮安清江浦月考）三角形三边9,12,15，这个三角形是______三角形。 【答案】直角 【解析】92+122=81+144=225=152，满足勾股逆定理。 12.（2026·徐州泉山期中）判断三角形是否为直角三角形，首先要找到______边。 【答案】最长 【解析】逆定理判定规则，必须以最长边作为c进行验证。 13.（2025·盐城大丰期末）勾股数必须是满足a2+b2=c2的三个______整数。 【答案】正 【解析】勾股数定义，小数、根式不属于勾股数。 14.（2026·南京建邺月考）若三角形三边平方满足a2+b2<c2，则该三角形是_____三角形。 【答案】钝角 【解析】三角形形状判定拓展结论。 15．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为　　． 【答案】4.8 【解析】∵三角形三边的长分别为6、8和10，62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边，设它的最大边上的高是h，∴6×8=10h，解得，h=4.8． 16．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是　　． 【答案】480 【解析】设三边的长是5x，12x，13x，则5x+12x+13x=120，解得：x=4，则三边长是20，48，52．∵202+482=522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是×20×48=480． 17．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为　　． 【答案】等腰直角三角形． 【解析】∵（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，∴a﹣b=0，且a2+b2﹣c2=0，∴a=b，且a2+b2=c2， ∴以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．故答案为等腰直角三角形． 18．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和　　组成一组勾股数． 【答案】13 【解答】∵852﹣842=132，∴85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．故答案为：13．故答案是：480． 19．如图，等腰△ABC中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】 【解析】设，，，，， ，，在中，由勾股定理得：， ，，，故答案为：． 20.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数 a,b,c,其中a,b均小于c,a=m2-, c=m2+ ；m是大于1的奇数，则b=_____________(用含m的式子表示). 【答案】m 【解析】:由于现有勾股数 a，b，c，其中a，b均小于c，∴a，b为直角边，c为斜边，∴a²+b²=c²,∴(m2-)2+b²=(m2+)2,得到b²=m²，∴b=±m，∵m是大于1的奇数，:.b=m.故答案为:m. 三．解答题（共60分） 21．判断由下列各组线段a、b、c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由. (1)，，； (2)，，． 解：(1)不是，理由如下：∵，，∴，即， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形； (2)是，理由如下：，，∴，即，∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形． 22. 如图，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，图中已给出△ABC的一边AB的位置． （1）请在所给的网格中画出边长分别为2，2，4的一个格点△ABC； （2）根据所给数据说明△ABC是直角三角形． 【答案】（1）如图所示:（2）由图可知，AB＝4，BC＝2，AC＝2， ∵AB2＋BC2＝20，AC2＝20，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形． 【解析】(1) 利用勾股定理即可作出边长为2，2，4的一个格点△ABC；(2)根据勾股定理的逆定理即可证明. 23．如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 解：(1)证明：，，∴为直角三角形， ，； （2），． 24.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 解：（1）根据题意，得：AC=，CD=，AD==5． （2）∵AC+CD=+=25=5=AD．∴∠ACD=90°． （3）S四边形ABCD==8+5=13． 25. 阅读理解并解答问题 如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数 （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数； （2）写出一组不同于3、4、5的勾股数； （3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2－1，c=m2+1，请你根据勾股数的意思，说明 a、b、c为勾股数． 解：（1）∵3、4、5是正整数，且32+42=52，∴3、4、5是一组勾股数； （2）∵122+162=202，且12，16，20都是正整数，∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；   （3）∵m表示大于1的整数，∴由a=2m，b=m2-1，c=m2+1得到a、b、c均为正整数； 又∵a2+b2=（2m）2+（m2-1）2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1，而c2=（m2+1）2=m4+2m2+1， ∴a2+b2=c2，∴a、b、c为勾股数 26.定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b，AB= c，且a，b，c满足ac+a² = b²，则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题: (1)如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC，AC>AB，求∠C的度数. (2)如图 2,在△ ABC中,∠B=2∠A,且∠ACB>∠A,D是AB上的点,连接CD,满足AD=CD,过点C作CEIAB，垂足为E.求证:△ABC为“类勾股三角形”. 解: (1) 设BC=a,AC=b，AB= c，∵△ ABC是“类勾股三角形”，∴.ac +a² = b²，∵AB =BC，∴a =c，∴.c+a² =b²，∴.∠B=90°,∴.△ ABC是等腰直角三角形，∴∠C=45°; (2)证明:设BC=a，AC=b，AB =c，∵AD=CD，∴.∠A=∠DCA,∴.∠CDB=∠A+∠DCA=2∠A，又∵∠B=2∠A，∴∠B=∠CDB，∴.CD =CB=a,∴.AD=CD=a,∵CE⊥AB，∴.DE=BE=, 在Rt△AEC中,AE = AD+ DE=a+=,由勾股定理得CE² = AC² - AE² =b2- ()2在Rt△CED中，由勾股定理得CE2 =CD2 - DE² = α² - ()2，∴b2-()2=a²-()2.∴.b² =α² +ac，∴.△ ABC为“类勾股三角形”. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·南京玄武一模）三角形三边n2-1,2n,n2+1(n>1)，这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】B 【解析】最长边n2+1，(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，满足逆定理，直角三角形。 2.（2025·无锡惠山期末）△ABC三边长为9,12,15，若将三边都扩大3倍，得到新三角形（ ） A.不再是直角三角形 B.仍然是直角三角形 C.是锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】B 【解析】勾股数同乘正整数，依然满足平方关系，新三角形仍为直角三角形。 3.（2026·常州武进二模）△ABC三边a=5,b=7,c=8，则△ABC是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】B 【解析】最长边c=8，52+72=25+49=74>64=82，短边平方和大于长边平方，锐角三角形。 4.（2026·扬州广陵期中）下列说法正确的是（ ） A.若a2+b2≠c2，则△ABC不是三角形 B.勾股定理逆定理用于已知直角求边长 C.已知三角形三边，判定直角用勾股定理逆定理 D.小数不可能满足a2+b2=c2 【答案】C 【解析】A错误，只是不是直角三角形；B是勾股定理用途；D小数可以满足等式，只是不是勾股数。 5.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距,4个结间距,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一角便是直角,这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 【答案】D　 【解析】设相邻两个结点的距离为m,则此三角形的三边长分别为3m、4m、5m, ∵(3m)2+(4m)2=(5m)2,∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.(如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形)故选D. 6．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　） A．②④ B．①②④ C．①② D．①④ 【答案】C 【解析】①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设，，则＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，当ad＝bc时，m1•m2不是广义勾股数，∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，故④结论错误，∴依次正确的是①②．故选：C． 7．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【解析】由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C． 8．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．250 B．288 C．300 D．574 【答案】B 【解析】从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，•••，即24＝2×（10+2），b依次为8，15，24，35，48，•••，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143， c依次为10，17，26，37，50，•••，即当a＝24时，c＝122+1＝145，所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288，故选：B． 9．如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】连接AB，BD，AC，AD，由勾股定理得：AB2＝22+12＝5，AC2＝22+42＝20，BD2＝32+42＝25，AD2＝CD2＝12+32＝10，∵BC2＝52＝25，∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，AB2+AD2≠BD2，BD2+CD2≠BC2，∴△ABC和△ADC是直角三角形，△ABD和△CBD不是直角三角形，即直角三角形有2个，故选：B． 10．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A. B． C． D． 【答案】C 【解析】连接、．由题意得：，，， ∴，∴是直角三角形，∴，∵， ∴，∵，，， ∴，∴，∴， 故选：C． 二．填空题（共30分） 11.（2026·苏州相城一模）三角形三边11,60,61，这个三角形是______三角形。 【答案】直角 【解析】112+602=121+3600=3721=612。 12.（2025·南通海门期末）一个三角形三边连续偶数，是直角三角形，则三边长为6，8，______。 【答案】10 【解析】62+82=102，连续偶数勾股数。 13． 若一个三角形的周长为，一边长为，其它两边之差为，则这个三角形是 　 　三角形． 【答案】直角 【解析】∵较小一边长为x，则另一边长为x+，根据题意得x+x++=，解之：，∴另一边长为，∵ ∴，∴此三角形是直角三角形.故答案为：直角. 14.若 8，15，x是一组勾股数，则x的值为____-_. 【答案】17 【解析】:当x为直角边时，x2 =161，x不是正整数，不符合题意，当x为斜边时，x=17，是正整数，符合题意，综上，若8，15，x是一组勾股数，则x的值为17，故答案为:17. 15．观察下列勾股数 第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1 …观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是　 　（只填数，不填等式） 【答案】15，112，113． 【解答】∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113． 16．有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为　 　． 【答案】234m2 【解析】连接AC，在Rt△ABC中，AC为斜边，则AC= = =25（m），在Rt△ACD中，AC为斜边，则AD= = ═24（m），四边形ABCD面积S= AB×BC+ AD×CD= ×20×15+ ×7×24=234（m2）．故答案为234m2． 17．在中，，，分别是，，所对的边．若，，，则最长边上的高是　 　． 【答案】 【解析】由 ， 联立，组成方程组：解得： ∵∴ 为直角三角形，c为斜边.设斜边c上的高为h，则面积s=解得：h=故答案为：. 18.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为__________ 【答案】 【解析】在矩形ABCD中，∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝5，折叠后A′D＝AD＝3，∴A′B＝2.设AG＝x，则BG＝4－x，在Rt△GA′B中，A′G2＋A′B2＝GB2，∴x2＋22＝(4－x)2，∴x＝. 19.下列说法:①因为 0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形；②若 a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b²=c2；③因以 0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；④若三个整数 a，b，c是直角三角形的三条边，则3a，3b，3c必是勾股数其中正确的是(填序号). 【答案】②④ 【解析】:①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82=12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误;②若a，b、c是勾股数，且c>b，c>a，则必有 a²+b² = c²，故②说法正确;③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误;④若三个整数 a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c-定是勾股数，故④说法正确。故答案为:②④. 20．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【解析】连接，∵，，，∴，∵，，∴，，∴， ∴是直角三角形，∴，∴四边形的面积=的面积+的面积∴这块菜地的面积为，故答案为：． 三．解答题（共60分） 21．根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形． (1)，，． (2)，，． 解：（1）∵，∴以7，24，25为边的三角形是直角三角形． （2）∵，也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方， ∴a，b，c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，∴以，1，为边的三角形不是直角三角形． 22.线段AB的端点A，B在6x6的正方形网格的格点(网格线的交点)上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图. (1)在图①中找出格点C，并连接AC，BC，使AC2=AB²+BC2; (2)在图②中作出△ ABC的高CH，并直接写出CH的长为_______. 解: (1)如图①，由题意知，AB²=2²+42= 20,BC²=22 +12 =5,AC² = 32 + 42 = 25,∴.AC² = AB² +BC²，∴格点C，AC，BC即为所作; (2)如图②，作△BCD，CD、AB的交点为H，∵CB=4=AE,∠CBD=90°=∠AEB，BD =3=EB，∴△CBD ≌△ AEB(SAS)，∴∠BCD=∠EAB，∴∠BCD+∠ABE =∠EAB +∠ABE =90°,∴∠BHC=180°-(∠BCD+∠ABE)=90°,∴CH为△ABC的高，由勾股定理得，AB=5， ∴S△ABC=AB×CH=BC×AE,即×5×CH=×4×4,解得，CH=.    23.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D，E,且AD² - DC² =BC². (1)求证:∠C=90°; (2)若AC=8，BC=4，求AD的长. 解：(1) 证明:如图所示，连接BD，:DE垂直平分AB，:AD=BD,∵ AD² - DC² =BC²，:. BD² - DC² =BC²，∴△BCD是直角三角形，∴∠C=90°; (2)设AD=BD =x，则CD=AC-AD=8-x，由(1)得BD² - DC²=BC²,∴.x²- (8-x)² =4²，解得x=5，∴.AD =5. 24．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：； (2)求DF的长． 解：(1)证明：∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=∠CED=90°，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，同理：CD2=20，∴AD2+CD2=80+20=100，∵AC=AE+CE=8+2=10，∴AC2=100，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC=90°； (2)∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC=10，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵点F是边AB的中点，∴DF=AB=5．∴DF的长为5． 25.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格： 请回答下列问题： （1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明． 解：（1）由图表可以得出：∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1，n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1，n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1，n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1，∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50；故答案为：14，48，50； （2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；故答案为：2n，n2-1，n2+1； （3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 26.【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同。在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动:如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形(两条直角边长分别为a，b(b>a)，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理. [任务](1)如图2，这是小敏同学拼成的图形.请你利用图2验证勾股定理， (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中∠ABD和∠C都是直角，才是合格零件.如图4所示,工人师傅测得零件∠ABD=90°,AD=39cm,AB=36cm,BC=9cm,CD=12cm，这个零件符合要求吗?请判断并说明理由。 解: （1）∵根据图2:大正方形面积可表示为:c²或ab×4+(b-a)2,:ab×4+(b-a)² = c2，即 2ab+b²- 2ab +a²=2，∴a²+b² =c2. (2)这个零件符合要求，理由如下:在Rt△ABD中，根据勾股定理，可得: BD²=AD? -AB²=392-36²=225，在△BCD中，BC² + CD² =9 2+122=225.BC² +CD²= BD².∴.△BCD是直角三角形，∠C是直角.且∠ABD=90°∴这个零件符合要求. 27．台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线上的两点A，B的距离分别为，且，以风眼为圆心周围以内为受影响区域． (1)求的度数． (2)风眼离海港C最近的距离是多少？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 解：（1）因为，所以， 所以是直角三角形，． （2）如图，过点作于点．因为是直角三角形，所以，所以，所以． 故风眼离海港最近的距离是． （3）如图，为上两点，且．在中，由勾股定理，得，所以．同理可得， 所以，故台风影响该海港持续的时间为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第三章勾股定理第二节勾股定理的逆定理》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解勾股定理与逆定理的互逆关系，掌握 “ 由边长数量关系判定直角三角形 ” 的数形转化思想，建立代数判形的几何模型。 2.掌握勾股定理逆定理的判定逻辑，能严谨推理三角形是否为直角三角形，区分定理与逆定理的条件、结论差异。 3.熟练通过平方运算、大小比较，验证三边关系，精准判定直角三角形，规范解题步骤，提升计算准确率。 4.能运用逆定理解决生活测量、图形判定、网格几何等实际问题，熟练识别常见勾股数，提升几何综合解题能力。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.勾股定理逆定理的文字表述、公式形式、判定方法与适用条件。 2.利用三边平方关系，判定任意三角形是否为直角三角形。 3.熟记常见勾股数，掌握勾股数的基本性质与简单拓展规律。 4.区分勾股定理与勾股定理逆定理的用途：定理知形求边，逆定理知边判形。 （二）难点 1.判定前先找最长边的解题规范，避免公式代入顺序错误。 2.理解 “ 数 → 形 ” 的转化逻辑：通过代数计算证明几何图形为直角三角形。 3.复杂含根式、含参数、网格不规则三角形的直角判定。 4.逆定理综合应用：结合面积、折叠、实际测量问题的综合解题。 ) 三．知识梳理 回顾勾股定理：直角三角形的三边满足a2 + b2 = c2。反过来，若一个三角形的三边满足a2 + b2 = c2，它是否一定是直角三角形？ 比如古埃及人曾用“3、4、5”的绳子围三角形来确定直角，这背后蕴含着什么数学原理？ （一）勾股定理的逆定理（本节核心） 1.定理内容： 如果三角形的三边长 a、b、c（c 为最长边），满足：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且最长边 c 所对的角为直角。 2.符号语言： 如图，在△ABC中 ∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形且∠C=90°． 3.核心本质 勾股定理：已知直角三角形 → 得三边平方关系（由形得数）；逆定理：已知三边平方关系 → 判定直角三角形（由数定形）。二者互为互逆定理，是几何数形结合的经典模型。 3.标准判定步骤（考试必考规范） （1）排序：找出三边中最长边，定为 c； （2）计算：分别算出两条短边平方和、最长边平方； （3）比较：若短边平方和 = 最长边平方 → 直角三角形；不相等 → 非直角三角形。 （二）三角形形状的三边判定拓展（提优拓展） 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。 设三角形最长边为 c： （1）a2+b2=c2 → 直角三角形 （2）a2+b2>c2 → 锐角三角形 （3）a2+b2<c2 → 钝角三角形 该拓展是期中、期末提优高频考点，可快速判定任意三角形形状。 （三）勾股数（高频基础考点） 1.定义： 满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为一组勾股数。 2.必备条件（缺一不可） （1）必须是正整数（小数、分数、根式都不是勾股数） （2）必须满足短边平方和 = 长边平方 3.常用基础勾股数（必须熟记） （1）（为正整数）； 例如：（3，4，5）；（8，6，10）；（15，8，17）；（24，10，26）等。 （2）（为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7.24，25）；（9，40，41）等。 （3）（，为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（11，60，61）等。 4.勾股数性质 一组勾股数的正整数倍，仍然是勾股数。 例：3、4、5 同乘2得 6、8、10，依旧为勾股数。 5.判断一组数是不是勾股数的一般步骤 （四）定理与逆定理对比辨析 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在△ABC 中,∠C=90° 在△ABC 中，a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 ∠C=90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为题设，进而得到这个三角形三边的关系，即“a2＋b2＝c2（c 为斜边）”，由形到数 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足 a2+b2=c2 （c 为最长边）”为题设，进而得到这个三角形是直角三角形，由数到形 （五）常见应用场景 1.网格格点三角形，判定是否为直角三角形； 2.生活测量：判断墙角、支架、建筑结构是否垂直； 3.几何综合：先判直角，再用勾股定理求边长、求高、求面积； 4.压轴铺垫：折叠、动点、四边形证明直角、垂直关系。 （六）易错分析（本节高频陷阱，考试重灾区） 1.不找最长边，随意代入公式 【错误】：随便取三边代入 a2+b2=c2 【正解】：必须以最长边作为 c，只有短边平方和等于最长边平方，才是直角三角形；顺序颠倒直接判错。 2.混淆定理与逆定理因果关系 【错误】：知道三边关系，乱用勾股定理说理 【正解】：知形求边用勾股定理，知边判形用逆定理，几何证明、填空题说理必须严格区分，因果不能倒置。 3.对勾股数概念理解片面 【错误】：0.6、0.8、1 或 、、认为是勾股数 【正解】：勾股数仅限正整数，小数、分数、无理数即使满足等式，也不属于勾股数。 4.直接默认三边最大角在固定位置 【错误】：不排序，默认某条边对直角 【正解】：最长边一定对最大角，若为直角三角形，直角一定是最长边所对的角。 5.计算马虎，平方运算出错 【错误】：122=24、152=200 低级平方计算错误 【正解】：熟记常用平方数，判定时分步计算、逐项验算，避免计算失误导致判形错误。 6.忽略非整数边长三角形的判定 【错误】：只有整数边长才能用逆定理 【正解】：逆定理适用于所有三角形，无论边长是整数、小数、根式，只要满足平方关系，即可判定为直角三角形。 7.不会区分锐角、钝角三角形 【错误】：不相等就一律判定为锐角三角形 【正解】：短边平方和大于长边平方为锐角三角形，小于长边平方为钝角三角形，提优题常考分类判定。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·盐城盐都月考）下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.5,1.2,1.3 B. 3,4,5 C. 4,5,6 D. 1,2,3 2.（2025·连云港海州期末）三角形三边长为6，8，10，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 3.（2026·泰州姜堰期中）工人检测门框是否为直角，测量三边长度，判断依据是（ ） A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和 D.全等判定 4.（2026·南通通州期中）一组勾股数同乘以正整数k，得到的新数组（ ） A.一定还是勾股数 B.一定不是勾股数 C.只有k=2才是勾股数 D.无法确定 5.如图，在一个6×6的正方形网格中，有三个格点三角形(顶点在网格的交点上)，其中直角三角形的个数是 （  ）    A．0 B．1 C．2 D．3 6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6 7．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 9．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c= C．（b+a）（b﹣a）=c2 D．∠A：∠B：∠C=5：3：2 10.如图,在ΔABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3, 则∠BPC的度数为( ) A.120° B.135° C.140° D.150° 二．填空题（共30分） 11.（2026·淮安清江浦月考）三角形三边9,12,15，这个三角形是______三角形。 12.（2026·徐州泉山期中）判断三角形是否为直角三角形，首先要找到______边。 13.（2025·盐城大丰期末）勾股数必须是满足a2+b2=c2的三个______整数。 14.（2026·南京建邺月考）若三角形三边平方满足a2+b2<c2，则该三角形是_____三角形。 15．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为　　． 16．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是　　． 17．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为　　． 18．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和　　组成一组勾股数． 19．如图，等腰△ABC中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 20.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数 a,b,c,其中a,b均小于c,a=m2-, c=m2+ ；m是大于1的奇数，则b=_____________(用含m的式子表示). 三．解答题（共60分） 21．判断由下列各组线段a、b、c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由. (1)，，； (2)，，． 22. 如图，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，图中已给出△ABC的一边AB的位置． （1）请在所给的网格中画出边长分别为2，2，4的一个格点△ABC； （2）根据所给数据说明△ABC是直角三角形． 23．如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 24.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 25. 阅读理解并解答问题 如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数 （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数； （2）写出一组不同于3、4、5的勾股数； （3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2－1，c=m2+1，请你根据勾股数的意思，说明 a、b、c为勾股数． 26.定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b，AB= c，且a，b，c满足ac+a² = b²，则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题: (1)如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC，AC>AB，求∠C的度数. (2)如图 2,在△ ABC中,∠B=2∠A,且∠ACB>∠A,D是AB上的点,连接CD,满足AD=CD,过点C作CEIAB，垂足为E.求证:△ABC为“类勾股三角形”. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·南京玄武一模）三角形三边n2-1,2n,n2+1(n>1)，这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2.（2025·无锡惠山期末）△ABC三边长为9,12,15，若将三边都扩大3倍，得到新三角形（ ） A.不再是直角三角形 B.仍然是直角三角形 C.是锐角三角形 D.钝角三角形 3.（2026·常州武进二模）△ABC三边a=5,b=7,c=8，则△ABC是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.（2026·扬州广陵期中）下列说法正确的是（ ） A.若a2+b2≠c2，则△ABC不是三角形 B.勾股定理逆定理用于已知直角求边长 C.已知三角形三边，判定直角用勾股定理逆定理 D.小数不可能满足a2+b2=c2 5.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距,4个结间距,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一角便是直角,这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 6．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　） A．②④ B．①②④ C．①② D．①④ 7．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 8．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．250 B．288 C．300 D．574 9．如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A. B． C． D． 二．填空题（共30分） 11.（2026·苏州相城一模）三角形三边11,60,61，这个三角形是______三角形。 12.（2025·南通海门期末）一个三角形三边连续偶数，是直角三角形，则三边长为6，8，______。 13． 若一个三角形的周长为，一边长为，其它两边之差为，则这个三角形是 　 　三角形． 14.若 8，15，x是一组勾股数，则x的值为____-_. 15．观察下列勾股数 第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1 …观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是　 　（只填数，不填等式） 16．有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为　 　． 17．在中，，，分别是，，所对的边．若，，，则最长边上的高是　 　． 18.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为__________ 19.下列说法:①因为 0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形；②若 a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b²=c2；③因以 0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；④若三个整数 a，b，c是直角三角形的三条边，则3a，3b，3c必是勾股数其中正确的是(填序号). 20．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 三．解答题（共60分） 21．根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形． (1)，，． (2)，，． 22.线段AB的端点A，B在6x6的正方形网格的格点(网格线的交点)上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图. (1)在图①中找出格点C，并连接AC，BC，使AC2=AB²+BC2; (2)在图②中作出△ ABC的高CH，并直接写出CH的长为_______. 23.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D，E,且AD² - DC² =BC². (1)求证:∠C=90°; (2)若AC=8，BC=4，求AD的长. 24．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：； (2)求DF的长． 25.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格： 请回答下列问题： （1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明． 26.【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同。在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动:如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形(两条直角边长分别为a，b(b>a)，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理. [任务](1)如图2，这是小敏同学拼成的图形.请你利用图2验证勾股定理， (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中∠ABD和∠C都是直角，才是合格零件.如图4所示,工人师傅测得零件∠ABD=90°,AD=39cm,AB=36cm,BC=9cm,CD=12cm，这个零件符合要求吗?请判断并说明理由。 27．台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线上的两点A，B的距离分别为，且，以风眼为圆心周围以内为受影响区域． (1)求的度数． (2)风眼离海港C最近的距离是多少？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $