3.2 专题特训七 勾股定理中的数学思想-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

.∴.BC=BD+CD=25..AB2+AC2=202+152=625. BC2=252=625,∴.AB2+AC=BC2.∴.△ABC是直角 三角形，且∠BAC=90°. 11.(1)当m=2,n=1时，a=5,b=4,c=3,32+42 52,∴.a,b,c的值能为直角三角形三边的长.(2)m2+ n2;2;m2一n2.(3)以a,b,c为边长的三角形一定为 直角三角形.理由：：a2=(m2十n2)2=m1十2m2n2十n, b2+c2=4n2n2+m-2mn2+n=m+2m2n2+n, ∴.a2=b十c2.∴.以a,b,c为边长的三角形一定为直角三 角形. 专题特训七勾股定理中的数学思想 1.C由题意，知S1+S2=S3.10S1-3S2=S3, 10s,-35:=5+s盏租，得9S=4S子- 2.S,十S,=S2如图，由题意可知，以AC为直径的半圆 的面积=之×x×(9)-誓AC,以BC为直径的半园 的画积=之×x×()=吾C,以AB为直径的半园 的面积=×xX()°=AB.:∠ACB=90C, :由勾股定理，得AC+BC=AB.苓AC+8BC= FAB易得S+S,+S,-S,+SS+S,=S (第2题) 3.C设另一条直角边长为x,则斜边长为x+2.由勾股 定理，得x2十6=(x十2)2，解得x=8..该直角三角形的 面积=号×6×8=24. 45 :AB=BD=4,.∠BAE=∠BDE.:CBL BD,∴.∠DBE=90°=∠CAB.∴.∠DEB=90°-∠BDE, ∠CAE=90°-∠BAE.∴.∠CAE=∠DEB..∠AEC= ∠DEB,∴.∠CAE=∠CEA.∴.AC=EC.BE=1, .BC=AC+1.AC +AB2=BC2,.'AC2+4= CAC+i.AC=号. 5.12设BD=x,则CD=14-x.:AD⊥BC,.∠ADB= ∠ADC=90..AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,即152 x2=132-(14-x)2,解得x=9.∴.BD=9.∴.AD2 AB2-BD2=152-92=144,即AD=12. 6.(1):'AD∥BC,∴.∠ADB=∠DBC.由折叠的性质， 可知∠DBE=∠DBC,.∠DBE=∠ADB.∴.DE=BE. (2)设BE=DE=x,则AE=4一x.在Rt△ABE中， ∠A=90°，.AB2+AE2=BE2..32+(4-x)2=x2, 第得=空BE=DE=答AE=AD-DE=A 容= 7.14或4当点D在线段BC上时，如图①.在Rt△ABD 和Rt△ACD中，由勾股定理，得BD=√AB2-AD= √152-122=9，CD=√AC-AD=√132-122=5， ∴.BC=BD+DC=9+5=14.当点D在线段BC的延长 线上时，如图②.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定 理，得BD=√AB2-AD=√15-12=9，CD= √AC-AD=√13-122=5，∴.BC=BD-CD=9- 5=4.综上所述，边BC的长为14或4. D ① ② (第7题) 8.如图①，当AB=AD时，易得BD=12m,∴.S△Am= X8X12=48(m).如图②，当AB=BD时，：BC= 1 6m,AC=8m,∴.易得AB=10m.BD=10m..S△Am= ×8X10=40(m).如图③，当AD=BD时，设CD= 1 xm,则AD=BD=(x+6)m在Rt△ACD中，AC2+ CD=AD,.8+z2=(+6),解得x=3·Sam= 2×8×(6+子)-1g(m).综上所述，扩建后的等腰三 角形ABD的面积为48m或40m或gm ② ③ (第8题) 9.(1):'∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,∴.易得AC= 4cm.:动点P从，点C开始以1cm/s的速度运动，∴.运 动6.5s后，点P在线段AB上，此时AP=2.5cm,即P是 38 AB的中点BP=CP-AB=25cm(2①当点 P在AC上运动时，△BCP为直角三角形，∴.0<t≤4. ②如图，当点P在AB上时，若CP⊥AB,则△BCP为直 角三角形：克AB·CP=方AC·BCCP AC·BC_12 AB cm.AP:=AC:CP:=256 5cm2. mAC+AP=4+9- AP=16。 2(cm).∴.t= 曾1-曾等上所述，当0≤1或1一曾时，△P为 直角三角形. (第9题) 10.(1)如图①，连接AD.:'MD LAB,且M为边AB的 中点，∴.MD是线段AB的垂直平分线.∴.AD=BD.设 AD=x,则BD=x,CD=BC-一BD=4一x.在Rt△ACD 中，AD=AC+CD,即=+-)，解得x=空 AD=空在△ACB中，AB=AC+BC=g+ 4=25,.AB=5AM=号AB=号.5MD2=AD2- AMMD-5 (2)AE2+DB2=DE2.如图 ②，延长EM到点F,使得ME=MF,连接DF,BF.:'M 为AB的中点，∴.MA=MB.在△MAE和△MBF中， ME=MF, ∠AME=∠BMF,.△MAE≌△MBF..AE=BF, MA=MB, ∠A=∠MBF..'ME=MF,ME⊥MD,'.DF=DE.在 Rt△ACB中，∠A+∠ABC=90°，∴.∠FBD= ∠MBF+∠ABC=∠A+∠ABC=90°.在Rt△DFB中， .BF2+DB2=DF2,.'.AE2+DB2=DE2. D (第10题) 3.3勾股定理的简单应用 1.B如图，过点A作AC⊥BC于点C,则∠ACB=90°. D AC=40+40=80(米)，BC=70-10=60(米)，∴.AB= √AC+BC2=√80+602=100（米）. 出发点 10 北 A、 千东 40 (单位：米) 20 40 70 C 终点 (第1题) 2.D如图，记港口在点P处.乙客轮可能在点B处或点 B'处.依题意，得甲客轮航行的路程PA=40×15=600(m), 乙客轮航行的路程PB=20×40=800(m),AB=1000m :600+800=10002,.PA2+PB2=AB..△APB为直 角三角形，且∠APB=90°.同理，∠APB=90°∠NPA= 60°，.∠SPB=∠NPB'=30°..乙客轮的航行方向为南 偏东30或北偏西30°.∴.乙客轮的航行方向可能是南偏 东30°. (第2题) 3.7.5设旗杆的高度为xm,则绳子的长为(x十1)m.由 勾股定理，得（x十1)2=x2+4,解得x=7.5..旗杆的高 度为7.5m. 连接BD.由题意，得AB=3dm,BC=4dm,AC= 5dm.:AB2+BC2=AC2,∴.∠ABC=90°.D是第10个 结与第11个结之间的中点，∴.易得D是AC的中点 “BD=号4C-号血即点D与点B之间的距高是号n 5.如图，点A即为所求 13 A/ 5-4-3-2-1012345 (第5题) 6.B易得点B'在线段AB上.在Rt△ABC中，：AB2+ BC2 AC2,AC=10 m,BC 6 m,.AB=8 m. Rt△AB'C中，.AB2+B'C2=AC2,AC'=10m,B'C'= 8m,∴.AB'=6m..BB'=AB-AB'=8-6=2(m). 7.1十√2根据勾股定理，得该等腰直角三角形的斜边长 为√十1下=√2.以实数1对应的点为圆心，斜边长为 半径画弧，∴.点A所表示的实数是1十√2. 39第3章勾股定理 专题特训七 勾股定理中的数学思想 类型一整体思想 1,如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的面积分别记为 SSS.已知10S,-3S,=S则2的值为 A B.2 D.3 4 s. (第1题) (第2题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则图形中三 块涂色部分的面积S1,S2,S3之间的关系是 类型二方程思想 3.一个直角三角形的一条直角边长为6，斜边长比另一条直角边长大2，则该直角三角形的面积为 () A.8 B.10 C.24 D.48 4.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，△ABD是等腰三角形，AB=BD=4,CB⊥BD,交AD于 点E,BE=1,则AC的长为 (第4题) (第5题) 5.如图，在锐角三角形ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,AD⊥BC于点D,则AD的长为 6.如图，在长方形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AD=4,AB=3,现将该长方形沿对角线BD折 叠，使点C落在点C处，BC'交AD于点E. (1)求证：DE=BE, (2)求AE的长. (第6题) 65 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 类型三分类讨论思想 7.在△ABC中，AB=15,AC=13,边BC上的高AD=12,则边BC的长为 8.如图，某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长BC=6m,AC=8m.现 要将其扩建成等腰三角形ABD,且扩建部分是以AC为直角边的直角三角形ACD.求扩建后的 等腰三角形ABD的面积， (第8题) 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,动点P从点C开始，按C→A→B的路径 运动，且速度为1cm/s.设点P运动的时间为ts(t>0) (1)当点P运动6.5s时，求CP和BP的长， (2)当t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？ (第9题) 类型四转化思想 10.在Rt△ABC中，∠C=90°，M为边AB的中点，点D在边BC上，连接MD. (1)如图①，若AC=3,BC=4,MD⊥AB,求MD的长 (2)如图②，过点M作ME⊥MD,与边AC交于点E,连接DE,试猜想线段AE,DE,DB三者 满足的等量关系，并证明你的结论 ① ② (第10题) 66 >“答案与解析”见D38