4.6线段的垂直平分线（题型专练）数学湘教版2024八年级上册

4.6线段的垂直平分线 （9大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由垂直平分线的性质求线段长度 题型二 由垂直平分线的性质求周长 题型三 由垂直平分线的性质求角度 题型四 由垂直平分线的性质求最值 题型四 由垂直平分线的性质进行证明 题型五 证明是线段的垂直平分线 题型六 尺规作线段的垂直平分线 题型七 尺规作垂线或等腰三角形 题型八 求作一个角的平分线 题型九 线段的垂直平分线的实际应用 能力提升题 题型一 与垂直平分线有关的多结论问题 题型二 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系 题型三 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用 题型一 由垂直平分线的性质求线段长度 1．如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D．8 3．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连结．若，则的长为（   ） A．24 B．25 C．7 D．9 6．如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，的垂直平分线分别交于点F，G，连接． (1)若的周长为10，求线段的长； (2)若，求的度数． 题型二 由垂直平分线的性质求周长 7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长 为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．24 8．如图，中，分别以A、B为圆心画弧交于两点，过这两点的直线交于点D，连接，则的周长是（    ） A．12 B．10.5 C．11.5 D．9 9．如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，过腰的中点D作的垂线，交另一腰于E，连结． (1)若，求的度数； (2)若，．求的周长． 11．如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 12．在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． (1)如图，当 时，求 的度数． (2)当 满足什么条件时，？说明理由． (3)在（2）的条件下，，求 的周长． 13．如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 题型三 由垂直平分线的性质求角度 14．如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（  ） A． B． C． D． 15．如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 16．如图，已知在中，，敏敏通过尺规作图得到交于点O，连接，根据其作图痕迹，可得的度数为（   ） A． B． C． D． 17．如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 18．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，点是延长线上一点，是线段的垂直平分线，点是上一点，且，连接，求的度数． 20．如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 题型四 由垂直平分线的性质求最值 21．如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 22．如图，在等腰三角形中，，分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线，点 E 为直线上任意一点，点 D 为的中点，连接，．若的面积为12，，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 23．如图，等腰三角形底边的长为6，面积是24，腰的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为（   ） A．5 B．8 C．11 D．14 24．如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．78 25．如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 26．如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 题型四 由垂直平分线的性质进行证明 27．如图，已知点、为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点作，垂足为． 在中，(已知)(所作) ______________________(       ) 又(已知) ______________________ 即：___________ 又，垂足为(所作) 为线段___________的垂直平分线 (___________) (___________) 28．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，求的长． 29．如图，在中，，，分别是，上的点，且，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为，求线段的长． 30．如图，在中，，以为边在外作等边，作的平分线交于点，交于点求证：． 题型五 证明是线段的垂直平分线 31．如图，，．直线是线段的垂直平分线吗？ 32．如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 33．如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 34．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 35．如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 题型六 尺规作线段的垂直平分线 36．为了迎接九十校庆，学校要修建一处公共设施，使它到校史馆、办公楼、体育馆的距离相等，若、、的位置如图①所示，请你在图中确定这处公共设施（用点表示）的位置．（不写作法，仅保留作图痕迹） 37．如图，若，，的周长为，不能作出的中点的尺规作图是（   ） A．B． C． D． 题型七 尺规作垂线或等腰三角形 38．在学习《线段的垂直平分线》时，张老师出示了如下问题： 已知：点是直线外一点． 求作：过点作直线的垂线．如图，作法如下： ①以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点和点； ②作直线； ③分别以点和点为圆心， 的长为半径作弧，两弧相交于点； ④任意取一点，使点和点在直线的两旁． (1)已知以上作法步骤是混乱的，正确的排序是 ； (2)以上作法步骤中的____长满足的条件是 ； (3)求证： 39．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线的长为b，求作这个等腰三角形． 题型八 求作一个角的平分线 40．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（    ） A．射线是的平分线 B．是等腰三角形 C．C、两点关于所在直线对称 D．、两点关于所在直线对称 41．已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线：作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A． B． C． D． 42．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．给出以下结论：①是的平分线；②；③点在线段的垂直平分线上．其中正确的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 43．如图，在长方形中，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 题型九 线段的垂直平分线的实际应用 44．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 45．在学习了全等三角形和角平分线的知识后，王老师组织全班同学开展了测量学校餐厅楼顶和教学楼顶之间距离的实践活动．如下图所示，已知餐厅高度，教学楼高度为的中点，分别为和的角平分线，请根据两位学生的对话任意选择一种方法，并求出的长度． ． 题型一 与垂直平分线有关的多结论问题 46．已知，在中，，如图，（1）分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）作射线，连接，．根据以上过程及所作图形，下列结论中正确的个数为（   ） ①垂直平分 ② ③ ④是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 48．如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 49．如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系 50．如图，在中，是的垂直平分线，点在上，连接，，，已知． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)若，求的度数． 51．如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F． (1)若，求的度数． (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 52．在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N． (1)如图1，若，，则的度数； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数． 题型三 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用 53．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（   ） A． B． C． D． 54．如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，且． (1)求的度数； (2)若，求证：． 55．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：平分； (3)若，求的长． 56．数学课上，李老师提出了如下问题：尺规作图：作中边上的高线．下面是小婷设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 作法： ①以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在交于点； ②连接交于点，则线段是中边上的高线， 李老师肯定了小婷的作法，请你根据她设计的尺规作图过程，完成下列问题， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． (2)小齐和小郭两位同学对小婷的作法给出了证明，请将证明过程补充完整．小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② ）． 线段是中边上的高． (3)若，，求的度数． 57．如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 58．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)求证： 59．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 60．在数学实验课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠为主题”开展数学活动操作发现：对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，发现四边形满足：，，查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 初步应用： (1)如图1，在中，若，，那么________ 性质探究：借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、猜测、证明等方法，同学们对筝形的性质进行了研究，如图2，求证： (2)； (3)，． 61．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 62．综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？ 【观察猜想】 （1）在中，，猜想与的大小关系； 【操作证明】 （2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点C落在边上的点，折线交于点D，连接 ，发现，⋯，请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角；大角对大边”．发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【拓展应用】 （3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点E、C紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点D，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由； （4）如图4，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为　　　（直接写出答案）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.6线段的垂直平分线 （9大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由垂直平分线的性质求线段长度 题型二 由垂直平分线的性质求周长 题型三 由垂直平分线的性质求角度 题型四 由垂直平分线的性质求最值 题型四 由垂直平分线的性质进行证明 题型五 证明是线段的垂直平分线 题型六 尺规作线段的垂直平分线 题型七 尺规作垂线或等腰三角形 题型八 求作一个角的平分线 题型九 线段的垂直平分线的实际应用 能力提升题 题型一 与垂直平分线有关的多结论问题 题型二 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系 题型三 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用 题型一 由垂直平分线的性质求线段长度 1．如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得，即可求解. 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴， 故选：B. 2．如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据，得到垂直平分，继而得到，得到，结合，，得到，于是，进而求得． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，又， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，线段的和差等，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质． 3．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明平分，再证明是等边三角形，接着利用平行线的性质，求得，，从而可证明，根据等腰三角形的判定，可得，再利用，求出． 【详解】解：连接交于点，   ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，． ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连结．若，则的长为（   ） A．24 B．25 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，的垂直平分线分别交于点F，G，连接． (1)若的周长为10，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质定理． （1）利用线段垂直平分线的性质定理进行求解即可； （2）利用三角形内角和定理求出，再利用线段垂直平分线的性质和等边对等角得出相等角，最后利用角的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二 由垂直平分线的性质求周长 7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长 为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查基本尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ，， 的周长为， 故选：C． 8．如图，中，分别以A、B为圆心画弧交于两点，过这两点的直线交于点D，连接，则的周长是（    ） A．12 B．10.5 C．11.5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，根据作图可知垂直平分，进而得到，进而推出的周长，计算即可． 【详解】解：根据作图可知垂直平分， ∴， ∴的周长； 故选：B． 9．如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由性质定理得到线段相等是解题的关键．由垂直平分线性质得线段相等，根据周长公式求解． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上, ， ∴． ∴四边形的周长是 故选：B． 10．如图，在中，，过腰的中点D作的垂线，交另一腰于E，连结． (1)若，求的度数； (2)若，．求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质定理，可证明，根据等腰三角形的两底角相等，可得，，，进一步可推得它们与的关系，即可列方程求解； （2）先求出，及的长，再根据，即可求得答案． 【详解】（1）解：，点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：点D是的中点， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 由（1）知，， 的周长． 11．如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，再根据三角形内角和定理求出的度数，则由三角形外角的性质可求出答案； （2）根据三角形周长计算公式可推出，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：，， 垂直平分， 垂直平分， ， ，， ∵， ， ∵， ∴． （2）解：的周长为，， ， ∵， 的周长为． 12．在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． (1)如图，当 时，求 的度数． (2)当 满足什么条件时，？说明理由． (3)在（2）的条件下，，求 的周长． 【答案】(1) (2)当时，．理由见解析 (3)10 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得．得．由三角形内角和定理得．由 计算即得； （2）同（1）得 ，由，得，得； （3）由，可得周长为，即得． 【详解】（1）解：∵分别是的垂直平分线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ． （2）解：当时，． 理由如下： 如图，由(1)，得． ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴时，． （3）解：周长． ∵， ∴的 周长． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，角与线段的和差计算，是解题的关键． 13．如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【答案】(1)55° (2)16 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 题型三 由垂直平分线的性质求角度 14．如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 利用等边对等角求得，然后利用线段的垂直平分线的性质与三角形外角的性质求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵由作图可得：的垂直平分线交于， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 15．如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据平角的概念求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：， ． ，N分别在，的垂直平分线上， ，． ，． ，， ． ． 故选：B． 16．如图，已知在中，，敏敏通过尺规作图得到交于点O，连接，根据其作图痕迹，可得的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查看尺规作图、垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握基本的尺规作图是解题的关键． 由作图痕迹可知， 平分，是的垂直平分线，根据角平分线的定义可得 ，由垂直平分线的性质可得，运用等边对等角可得，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：由作图痕迹可知， 平分，是的垂直平分线， ∴，， ∴． ∴． 故选C． 17．如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再通过三角形内角和与外角的关系求解． 【详解】解：连接 ∵ 边，的垂直平分线交于点 ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 18．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：由条件可知， 在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ． 故选：C． 19．如图，在中，，点是延长线上一点，是线段的垂直平分线，点是上一点，且，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到边相等进而转化为角相等，结合外角性质快速求角． 根据角平分线定义，由的度数直接求出的度数；利用是垂直平分线的性质得出进而得到最后根据三角形外角的性质，即等于与的和，求出 的度数． 【详解】解：，， ． 是线段的垂直平分线， ， ． ． 20．如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 题型四 由垂直平分线的性质求最值 21．如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 22．如图，在等腰三角形中，，分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线，点 E 为直线上任意一点，点 D 为的中点，连接，．若的面积为12，，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一，三角形三边关系，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，垂直平分，连接，先通过三角形的面积，求得，然后根据，那么当且仅当三点共线时，最小，且最小值为，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，连接，如图所示： ，是的中点， ， 的面积为12，， ， 垂直平分， ， ， 当且仅当三点共线时，最小，且最小值为， 则的最小值为8， 故选：C． 23．如图，等腰三角形底边的长为6，面积是24，腰的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为（   ） A．5 B．8 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称−−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键， 连接，由等腰三角形三线合一的性质及面积得，再利用线段垂直平分线的性质得出，即可得出，进而可得出当点A，M，D三点共线时，有最小值，最小值8．最后根据三角形的周长计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线，是线段上一动点， ∴． ∴． ∴当点A，M，D三点共线时，有最小值，最小值为8． ∴的周长的最小值为． 故选：C． 24．如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．78 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故选：A． 25．如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 26．如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，垂线段最短，正确进行转化是解题的关键．延长到点，使，连接，过点作于点，连接，，由得到当点重合，且点共线时，最小，即为的长，再由即可求解． 【详解】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，， ，， 是的垂直平分线，， ∴， ∴， 当点重合，且点共线时，最小，即为的长， ， ， 解得：． 故选：A ． 题型四 由垂直平分线的性质进行证明 27．如图，已知点、为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点作，垂足为． 在中，(已知)(所作) ______________________(       ) 又(已知) ______________________ 即：___________ 又，垂足为(所作) 为线段___________的垂直平分线 (___________) (___________) 【答案】；等腰三角形三线合一性质；；；；线段垂直平分线的性质；等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．过点作，根据等腰三角形“三线合一”的性质得，进而根据等式性质得，由此得为线段的垂直平分线，则，再根据等边对等角即可得出． 【详解】解：过点作，垂足为． 在中，(已知)，(所作)， (等腰三角形三线合一性质)． 又(已知)， (等式的性质)． 即：． 又，垂足为(所作)， 为线段的垂直平分线． (线段垂直平分线的性质)． (等边对等角)． 故答案为：；等腰三角形三线合一性质；；；；线段垂直平分线的性质；等边对等角． 28．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求证； （2）连接，由（1）可知垂直平分，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：连接，如图所示： ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．如图，在中，，，分别是，上的点，且，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可得，即可求证； （2）根据线段垂直平分线的性质可得四边形的周长为，即，因为长度已知，则可求解题目． 【详解】（1）证明：， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ， ； （2）四边形的周长为， ． 由（1）知，， ， ． ， ， ． 30．如图，在中，，以为边在外作等边，作的平分线交于点，交于点求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得到，再利用等角的余角相等证得，然后利用等角对等边证得， 从而可得． 【详解】证明：是等边三角形，平分， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，等腰三角形的判定与性质等知识，证明垂直平分是解题的关键． 题型五 证明是线段的垂直平分线 31．如图，，．直线是线段的垂直平分线吗？ 【答案】直线是线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，判断即可． 【详解】解：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点M在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线． 32．如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 33．如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 35．如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等角对等边可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 题型六 尺规作线段的垂直平分线 36．为了迎接九十校庆，学校要修建一处公共设施，使它到校史馆、办公楼、体育馆的距离相等，若、、的位置如图①所示，请你在图中确定这处公共设施（用点表示）的位置．（不写作法，仅保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法及其性质，作出垂直平分线是解题关键．连接，，分别作出，的垂直平分线，交点即为点． 【详解】解：如图所示：所以点即为所求． 37．如图，若，，的周长为，不能作出的中点的尺规作图是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可． 【详解】解：若，，的周长为， ∴， ， A、由作图可知为的垂直平分线，能作出的中点，故本选项不符合题意； B、由作图可知为的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出的中点，故本选项不符合题意； C、记两弧交点为，由作图可得是等边三角形，则，再由可得垂直平分，故能作出的中点，故本选项不符合题意； D、由作图可知为的平分线，不能作出的中点，故本选项符合题意， 故选：D． 题型七 尺规作垂线或等腰三角形 38．在学习《线段的垂直平分线》时，张老师出示了如下问题： 已知：点是直线外一点． 求作：过点作直线的垂线．如图，作法如下： ①以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点和点； ②作直线； ③分别以点和点为圆心， 的长为半径作弧，两弧相交于点； ④任意取一点，使点和点在直线的两旁． (1)已知以上作法步骤是混乱的，正确的排序是 ； (2)以上作法步骤中的____长满足的条件是 ； (3)求证： 【答案】(1)④①③② (2)大于 (3)见解析 【分析】（1）按照过点作已知直线垂线的作图逻辑，先确定点，再画弧交直线于、，接着以、为圆心画弧找，最后作直线，从而确定步骤顺序． （2）依据尺规作图中两弧相交的要求，分析以、为圆心画弧时半径的条件． （3）通过证明是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得出． 本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：正确的排序是④①③②； （2）解：③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点， 故答案为：大于； （3）证明：如图，连接 由作图可知：, ∴点在线段的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 同理，点在线段的垂直平分线上 ∴直线是线段的垂直平分线（两点确定一条直线） ∴ 39．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线的长为b，求作这个等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图—复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，解题的关键是熟练基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图；根据等腰三角形的性质和垂直平分线的判定，先作出垂直平分线，再作出线段相等即可； 【详解】解：如图．①作线段； ②作线段的垂直平分线，与交于点D； ③在上取一点C，使； ④连接，，则就是所求作的三角形． 题型八 求作一个角的平分线 40．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（    ） A．射线是的平分线 B．是等腰三角形 C．C、两点关于所在直线对称 D．、两点关于所在直线对称 【答案】D 【分析】连接、，根据作图可得，进而可得射线是的平分线，可判断A选项，根据等腰三角形的性质可得垂直平分，则可判断B，C选项，根据作图不能得出平分进而判断D选项．本题考查了角平分线的画法及相关几何证明，熟练运用全等三角形的证明方法是解题的关键． 【详解】A：连接、，根据作图得到、． 在与中， ， ， ，即射线是的平分线，A正确，不符合题意； B：根据作图得到， 是等腰三角形，B正确，不符合题意； C：根据作图得到， 又射线平分， 是的垂直平分线， 、两点关于所在直线对称，C正确，不符合题意； D：根据作图不能得出平分， 不一定是的平分线， 、两点不一定关于所在直线对称，D错误，符合题意． 故选：D． 41．已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线：作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图，解题的关键是熟练掌握基本作图原理． 根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，作图正确的有， 故选：． 42．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．给出以下结论：①是的平分线；②；③点在线段的垂直平分线上．其中正确的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的判定等知识，由作图过程可知，是的平分线，即可判断结论①，由题意得结合角平分线的定义可得则，即可判断结论②，由题意得即可得点在线段的垂直平分线上，即可判断结论③，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图过程可知，是的平分线，故①正确； ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上，故③正确； 综上所述，正确的有个． 故选：D． 43．如图，在长方形中，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【答案】B 【分析】本题主要考查长方形，尺规作图——作角平分线和线段垂直平分线，熟练掌握长方形的性质，角平分线和线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，是解题的关键 根据长方形性质得，，得，根据角平分线定义，线段垂直平分线段性质，，，得，即可求得． 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， 根据尺规作图的痕迹知，射线为的角平分线， ∴， ∵点E在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型九 线段的垂直平分线的实际应用 44．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C 45．在学习了全等三角形和角平分线的知识后，王老师组织全班同学开展了测量学校餐厅楼顶和教学楼顶之间距离的实践活动．如下图所示，已知餐厅高度，教学楼高度为的中点，分别为和的角平分线，请根据两位学生的对话任意选择一种方法，并求出的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．延长交于点，证明，得出，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． 【详解】解：延长交于点， 的中点为， ， 由题意可得：， ， 在和中， ， ， 由题意分析得，， ， 分别为和的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型一 与垂直平分线有关的多结论问题 46．已知，在中，，如图，（1）分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）作射线，连接，．根据以上过程及所作图形，下列结论中正确的个数为（   ） ①垂直平分 ② ③ ④是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的判定，等腰三角形性质，等边三角形判定，掌握尺规作图，线段垂直平分线，等腰三角形性质，等边三角形判定是解题关键． 由中，，由作法知，可得是的垂直平分线，为等边三角形，平分，得出，，即可求解． 【详解】解：∵中，，由作法知， ∴是的垂直平分线，为等边三角形， ∴平分， ∴， ∴，故①②③④正确． 故选：D． 47．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④． 【详解】解：①在和中， ， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵，， ∴垂直平分， 即， 故②③正确，符合题意； ④ ， 故④错误，不符合题意； 综上：正确的有①②③． 故选：B． 48．如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识成为解题的关键． ①先证明，进而依据“”判定和全等得可判断①；②根据得，进而得是线段的垂直平分线，则，由此得，继而得周长为可判断②；③设的延长线交于点H，证明和是等腰直角三角形得，由此得是等腰直角三角形，则可判断③；④假设，根据得，再根据得，进而得是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾，由此得假设是错误的，据此可判断④． 【详解】解：①∵在中，分别为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即结论①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长为：， 故结论②正确； ③如图所示：设的延长线交于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾， ∴假设是错误的，故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：B． 49．如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键． 由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵垂直平分，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误． 综上可知正确的结论为①②③，共3个． 故选∶C． 题型二 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系 50．如图，在中，是的垂直平分线，点在上，连接，，，已知． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质，即可解决问题； （）延长，利用三角形的外角性质求得，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵是的垂直平分线，点为上一点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 51．如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F． (1)若，求的度数． (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，得到，即可求解； （2）由平行线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 52．在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N． (1)如图1，若，，则的度数； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)44 (2)36° (3)24° 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）、三角形内角和定理，等边对等角． （1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质分别求出、，计算即可； （2）仿照（2）的方法计算； （3）仿照（1）的方法计算． 【详解】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， 同理可得：， ； （2）解：， ， ，， ； （3）解：， ， ． 题型三 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用 53．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线、垂直平分线的定义，由是的中线，是边的中垂线，则，，，由四边形与四边形的面积分别为和，可得，从而求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，是边的中垂线， ∴，，， ∵四边形与四边形的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴，即的面积为， 故选：． 54．如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，且． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据旋转得到，推出是等边三角形，进而得到，垂直得到，再根据角的和差关系求出的度数即可； （2）旋转得到，结合，得到，结合，得到垂直平分即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （2）根据题意得：， ， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ． 55．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：平分； (3)若，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． （1）证明是等边三角形，可得，再由平行线的性质可得，则结论得证； （2）由题意可证是的垂直平分线，由是等边三角形，可得，可得平分； （3）由，是等边三角形，可得，可得的长． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即． ∵， ∴． ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 56．数学课上，李老师提出了如下问题：尺规作图：作中边上的高线．下面是小婷设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 作法： ①以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在交于点； ②连接交于点，则线段是中边上的高线， 李老师肯定了小婷的作法，请你根据她设计的尺规作图过程，完成下列问题， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． (2)小齐和小郭两位同学对小婷的作法给出了证明，请将证明过程补充完整．小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② ）． 线段是中边上的高． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)图见解析； (2)①到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②三线合一； (3)． 【分析】（1）根据题目中的步骤画图即可； （2）根据两位同学的证明过程判断所用的依据； （3）结合等边对等角、三角形内角和定理、三角形高线的定义即可得解． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② 三线合一 ）． 线段是中边上的高． 故答案为：①到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②三线合一． （3）解：，， ， 线段是中边上的高线， ， 中，． 【点睛】本题考查的知识点是尺规作图—做垂线、垂直平分线的判定、三线合一、等边对等角、三角形内角和定理、三角形高线的定义，解题关键是理解题意． 57．如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明D在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 58．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （3）先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． （3）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴． 59．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 60．在数学实验课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠为主题”开展数学活动操作发现：对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，发现四边形满足：，，查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 初步应用： (1)如图1，在中，若，，那么________ 性质探究：借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、猜测、证明等方法，同学们对筝形的性质进行了研究，如图2，求证： (2)； (3)，． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）可证，可得，即可求解； （2）可证； （3）由线段垂直平分线的性质可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，可证垂直平分线段，即可求解． 本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）， ． 在和中， ， ， ， ， （2）证明： 在和中， ， ∴． （3）（方法不唯一） 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分线段， 即，． 61．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边，，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，中垂线的性质，两点之间线段最短，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边； ；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 62．综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？ 【观察猜想】 （1）在中，，猜想与的大小关系； 【操作证明】 （2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点C落在边上的点，折线交于点D，连接 ，发现，⋯，请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角；大角对大边”．发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【拓展应用】 （3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点E、C紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点D，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由； （4）如图4，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为　　　（直接写出答案）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或或 【分析】（1）由图形可猜想； （2）利用三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）由等腰三角形的性质可求解； （4）分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时，当时，同理可得答案． 【详解】解：（1）猜想：； （2）证明：由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； ∵为铅锤线， ∴是水平的，即门框是水平的； （4）当时，连接,如图2， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，同理可得； 当时，同理可得， 综上：的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌以上知识． 1 学科网（北京）股份有限公司 $