精品解析：山西省实验中学2026-2027学年第一学期10月学情自测八年级数学试卷

山西省实验中学 2026—2027学年第一学期第一次质量监测（卷） 八年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点所在的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是雷达探测到的6个目标，若目标用表示，目标用表示，则用表示的目标是（ ） A. 目标 B. 目标 C. 目标 D. 目标 7. 如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 根据以下表格中的数据： 可求出（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长是，平行于轴，顶点的坐标是，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，点离点的距离是，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 2的算术平方根是_________． 12. 比较大小：___．（填“”、“”或“”） 13. 七巧板是一种中国传统益智玩具，可变换成千百种图案．如图是由七巧板拼成的“小船”，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___． 14. 明代数学著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为___． 15. 如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 三．解答题（本题共7个小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 17. 根据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若小令在训练中要使起跳后身体重心提高米，则其起跳时的速度为多少米/秒？（结果精确到米/秒） 18. 某校校园规划了一片劳动基地用来种植两种不同品种的花卉．现将中间用小路隔开，且点在边上．经测量，，，，．则空地的面积是多少？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形；并写出点，，的坐标； （2）若轴存在一点，使得的面积为，请直接写出点的坐标． 20. 认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成其中的任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（、、可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，到滑块的水平距离为．（即，） 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 21. 材料阅读： 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数，叫做虚数单位，规定：．在这种情况下，可以与实数相乘再与实数相加从而得到形如“”（、为实数）的数，人们把这种数叫作复数，叫这个复数的实部，叫作这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 比如： （1） （2） （3） 利用可以这样求解方程，解答过程如下： 解： 根据以上材料解决下列问题： （1）计算：________； （2）计算的值； （3）解方程：． 22. 按要求解答 （1）【初步探究】已知和都是等腰直角三角形，． ①发现问题：如图，若为内部一点，与的数量关系是________； ②探索证明：如图，若为边上一点，若，，求的长； （2）【学以致用】如图，已知中，，．中，，．运用（1）中所积累的解题经验，小德尝试按照如下方式添加辅助线：在的上方作，，…请按照小德的思路继续思考，，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学 2026—2027学年第一学期第一次质量监测（卷） 八年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解答本题的关键． 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先排除非正整数的选项，再验证剩余选项中两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A选项：，符合条件； B、C选项：，，均不符合条件； D选项：、不是正整数，不符合勾股数的要求； 故答案为A． 3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点所在的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征， 根据平面直角坐标系中点的坐标特征即可求解， 【详解】∵点的横坐标，纵坐标， ∴根据平面直角坐标系特点，点P在第四象限， 故选：D． 4. 如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 在中，， ∴，即正方形的面积为7． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：表示4的算术平方根，结果为2，A错误， ，B错误； ，，C正确； 与不是同类二次根式，不能合并，D错误 6. 如图是雷达探测到的6个目标，若目标用表示，目标用表示，则用表示的目标是（ ） A. 目标 B. 目标 C. 目标 D. 目标 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意弄清坐标的含义即可求解 【详解】解：根据题意可知，括号内左边的数代表点距中心点的距离，一个环代表10，括号内右边的度数则代表它们的方位， 因此代表的是目标A 7. 如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵直线，， ∴ ∴点C表示的数是． 8. 根据以下表格中的数据： 可求出（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． ， ． 故选：A． 9. 如图，正方形的边长是，平行于轴，顶点的坐标是，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，平行于轴，即点与点的纵坐标相同，横坐标相差4；平行于轴，即点与点的横坐标相同，纵坐标相差4，即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长是，平行于轴，顶点的坐标是， ∴点的坐标是，即， ∵平行于轴， ∴点的坐标是，即． 故选C． 10. 一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，点离点的距离是，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：①只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成个长方形，如图： 长方体的宽为，高为点离点的距离是， ，， 在直角三角形中,根据勾股定理得： ； ②只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图： 长方体的宽为，高为点离点的距离是， ，， 在直角三角形中,根据勾股定理得： ； ③只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图： 长方体的宽为，高为点离点的距离是， ， 在直角三角形中,根据勾股定理得: ， ． 蚂蚁爬行的最短距离是． 故选：． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． 二．填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 2的算术平方根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根是一个数的正的平方根解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴的算术平方根是． 12. 比较大小：___．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】将两个正数平方后比较平方的大小，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：两个数均为正数，分别计算两数的平方得， ，， ， ． 13. 七巧板是一种中国传统益智玩具，可变换成千百种图案．如图是由七巧板拼成的“小船”，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___． 【答案】 【解析】 【分析】由点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系，在图上标注出原点位置及轴和轴位置，观察坐标系中点的位置即可求解． 【详解】 根据题意，由点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系，找出原点位置，并在图上标注出轴和轴，观察坐标系可得点的坐标为． 14. 明代数学著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为___． 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理可得，即． 【详解】解：由题意得，，，，，， ， ． 在中，， ，即． 15. 如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质得出，，，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，由全等三角形的性质得出，， 由线段的和差关系得出，，设，则， 由勾股定理得出，代入求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 三．解答题（本题共7个小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ． 17. 根据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若小令在训练中要使起跳后身体重心提高米，则其起跳时的速度为多少米/秒？（结果精确到米/秒） 【答案】米/秒 【解析】 【分析】先将米/秒2，米代入解得，再根据，判断出，最终得到起跳时精确到米/秒的速度值． 【详解】解：根据题意：米/秒2，米， 代入可得， 化简得， ， ． ，， ， ， 答：起跳时的速度为米/秒． 18. 某校校园规划了一片劳动基地用来种植两种不同品种的花卉．现将中间用小路隔开，且点在边上．经测量，，，，．则空地的面积是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，再由勾股定理求出，最后再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，，， 是直角三角形，且， ， 在中，由勾股定理得， ， 故空地的面积是． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形；并写出点，，的坐标； （2）若轴存在一点，使得的面积为，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），，， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征写出对应坐标即可． （2）根据题意以为底，高是点到轴的距离，根据三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，，底， ∴，， ∴或， ∴或． 20. 认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成其中的任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（、、可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，到滑块的水平距离为．（即，） 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子的总长度为 （2）滑块向左滑动的距离为 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）利用题意求出的值，再根据勾股定理求出的长度，再算出即可． 【小问1详解】 解：由题意知：是直角三角形，其中，， ， 绳子总长度为． 【小问2详解】 解：若物体升高，此时， 在中，由勾股定理得，， ． 滑块向左滑动的距离为． 21. 材料阅读： 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数，叫做虚数单位，规定：．在这种情况下，可以与实数相乘再与实数相加从而得到形如“”（、为实数）的数，人们把这种数叫作复数，叫这个复数的实部，叫作这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 比如： （1） （2） （3） 利用可以这样求解方程，解答过程如下： 解： 根据以上材料解决下列问题： （1）计算：________； （2）计算的值； （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，并结合计算即可得出结果； （2）仿照题干所给的运算法则计算即可得出结果； （3）仿照题干所给的解方程的过程计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 按要求解答 （1）【初步探究】已知和都是等腰直角三角形，． ①发现问题：如图，若为内部一点，与的数量关系是________； ②探索证明：如图，若为边上一点，若，，求的长； （2）【学以致用】如图，已知中，，．中，，．运用（1）中所积累的解题经验，小德尝试按照如下方式添加辅助线：在的上方作，，…请按照小德的思路继续思考，，直接写出线段的长度． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①证明，即可证明；②同理可证明，得到，，再证明，利用勾股定理求出的长即可； （2）在的上方作，，连接，证明，得到；求出；证明，则，即． 【小问1详解】 解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； ②同理可证明， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，在的上方作，，连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $