精品解析：山西忻州市原平市部分学校2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

2026－2027学年第一学期学科练习（阶段一）八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（ ） A. 2米 B. 4米 C. 13米 D. 15米 【答案】B 【解析】 【分析】根据定理求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：设第三根木料的长度为米， ∵两根木料长分别为5米和8米， ∴， 即， 观察选项，只有4米符合该范围． 2. 下列各图中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角，  垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 3. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，用ASA判定，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用（）证明三角形全等（或者），解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先说明，再根据求解即可． 【详解】解：∵与相交于点O， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：B． 4. 如图是跨越太原汾河的现代交通动脉——祥云桥，在设计上大胆创新，融入了国际桥梁设计的最新理念．由两根撑杆和一根拉索精心构成的稳定三角结构体系，将三根塔柱紧密相连，确保它们协同受力，共同支撑起桥梁的稳固与美观．其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解， 【详解】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性， 故选：A． 5. 如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 6. 如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 7. 在学习摩擦力时，物理老师使用如图1所示的教具演示，图2为其示意图，老师对大家说：“已知，你们知道比小多少吗？”小冰很快给出了答案，他的答案是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的含义，三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质可得，结合平角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， 即得， ∴比小． 故选：B． 8. 如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明即可． 【详解】解：，， ， 都与地面平行， 三点共线， ， 在和中， ， ， ． 9. 如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 【详解】解：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10. 如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（ ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①三角形的高是顶点向对边所作垂线段，是的高；②点为的中点，底边在同一直线上，等高且等底，故面积相等；③平分角且，可证三角形全等，得到，代入线段差即可推出；④利用外角性质将得，结合直角三角形两锐角互余，等量代换可证三个角相加等于。 【详解】解：①于点， 线段为△的高， 故结论①不正确，不符合题意； ②点为的中点， ， △的边上的高与△的边上的高相同， 与△面积相等， 故结论②正确，符合题意； ③平分， ， 于点， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故结论③正确，符合题意； ④， 于点， ， ， 故结论④正确，符合题意； 结论正确的有3个． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到的距离h可能是________．（写一个符合条件的值即可） 【答案】6（答案不唯一，均可） 【解析】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点P到的距离h是6． 12. 如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【答案】8 【解析】 【分析】由是的中线可得，由是的中线可得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：是的中线 ， ， 是的中线 ， ， ． 13. 如图，在中，点D、E分别在、边上，，连接、，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用证明得到，再根据邻补角互补求出的度数即可得到答案． 【详解】解；∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图所示，，，，，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，是边上的一点，过点将折叠，使点A落在下方的点处，折痕与交于点．当与的一边平行时，的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考了折叠的性质、平行线的性质、四边形的内角和、三角形的内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、两种情况，分别根据折叠的性质、平行线的性质、四边形内角和、三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：①如图1，当时． 由折叠可知，． ， ， ， ， ， ， ． ②如图2，当时． 由折叠可知，． ， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 故答案为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知三角形的三边长分别为，和． （1）求的取值范围． （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【小问1详解】 解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 17. 如图，，；，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，； ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明，即可证明． 【详解】略 18. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为的角平分线时，若，，求的度数． （2）当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先中线的性质确定，将的周长比的周长少5的数量转化成边的数量关系得到，可求解． 【小问1详解】 解：， ． 又为的角平分线， ． 为边上的高， ， ． 【小问2详解】 解：为边上的中线， ． 又的周长比的周长少5，， ， ， ． 19. 如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 问题情景：如图1，中，有一块直角三角板放置在上（点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点. 试问与是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊研究：若，则 度， 度， 度； （2）类比探索：请探究与的关系. （3）类比延伸：如图2，改变直角三角包的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立请直接写出你的结论. 【答案】（1）140，90，50；（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A，理由详见解析；（3）不成立，存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A． 【解析】 【分析】（1）已知，根据三角形的内角和定理求出的度数，已知∠P=90°，根据三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与∠A的关系； （3）在△ABC中，=180°-∠A，同理在△PBC中，=90°，相减可得到∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A． 【详解】解：（1）∵ ∴=180°-∠A=140°， ∵∠P=90°， ∴=90°， ∴=140°-90°=50°， （2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． 证明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°， ∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°， ∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． （3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A． 理由：在△ABC中，=180°-∠A， 在△PBC中，∠P=90°，∴=90°， ∴（）-（）=180°-∠A-90°， 即=90°﹣∠A． ∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A． 【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是根据题意找到角度之间的关系. 21. 项目式学习 某校有一处斜坡，数学老师带领兴趣小组的学生测量了该斜坡上一点距水平地面的高度，测量方案如下： 主题 测量斜坡上一点距水平地面的高度 测量方案及示意图 测量方案 示意图 ①用皮尺测量斜坡上点，之间的距离米； ②准备一根长为3米的竹竿，并在竹竿顶部系一根足够长的绳子； ③将竹竿竖立在点处（米），拉直绳子，使得绳子； ④用皮尺测得米． 说明 ，，点，，在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案，求该斜坡上一点距水平地面的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】分析题目条件，证明即可． 【详解】解：，， ． ，， ，． ． 在和中， ， （）． ． 米， 米． 即点距水平地面的高度为1米． 22. 综合与实践 数学课上，老师带领同学们对三角形的内外角的平分线展开了思考探究． （1）【问题引入】 如图1，在中，平分，平分，若，求的度数． 对于这个问题，补全以下解答过程，在空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 解：∵平分（已知）， ∴，同理可得． ∵（________）， ∴（等式的性质）． ∴． ∵， ∴________； （2）【类比探究】 如图2，在中，的三等分线与的三等分线分别交于点，，若，试求的度数（用含的式子表示）； （3）【拓展应用】 如图3，在锐角三角形中，的外角的三等分线与的外角的三等分线分别交于点，，若，请求出与的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）三角形内角和定理，125 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，进行作答即可； （2）根据三角形的内角和定理，以及角三等分线的性质，进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理，三角形的外角以及角三等分线的性质，进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵的三等分线与的三等分线分别交于点，， ∴，． ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵的外角的三等分线与的外角的三等分线分别交于点，， ∴，． ∴； . 23. 综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点，，在直线上，若，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明：∵直线，直线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴（） （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴（）． ∴，． ∴ （3）60 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，，由此可得，再根据分割法求出面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， 同理可证明：， ∴． ∴． ∵ ， ∴的面积为60． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期学科练习（阶段一）八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（ ） A. 2米 B. 4米 C. 13米 D. 15米 2. 下列各图中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，用ASA判定，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是跨越太原汾河的现代交通动脉——祥云桥，在设计上大胆创新，融入了国际桥梁设计的最新理念．由两根撑杆和一根拉索精心构成的稳定三角结构体系，将三根塔柱紧密相连，确保它们协同受力，共同支撑起桥梁的稳固与美观．其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 5. 如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7. 在学习摩擦力时，物理老师使用如图1所示的教具演示，图2为其示意图，老师对大家说：“已知，你们知道比小多少吗？”小冰很快给出了答案，他的答案是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（ ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到的距离h可能是________．（写一个符合条件的值即可） 12. 如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 13. 如图，在中，点D、E分别在、边上，，连接、，，若，则________． 14. 如图所示，，，，，，则________． 15. 如图，在中，，是边上的一点，过点将折叠，使点A落在下方的点处，折痕与交于点．当与的一边平行时，的度数为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知三角形的三边长分别为，和． （1）求的取值范围． （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 17. 如图，，；，求证：． 18. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为的角平分线时，若，，求的度数． （2）当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 19. 如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 20. 问题情景：如图1，中，有一块直角三角板放置在上（点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点. 试问与是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊研究：若，则 度， 度， 度； （2）类比探索：请探究与的关系. （3）类比延伸：如图2，改变直角三角包的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立请直接写出你的结论. 21. 项目式学习 某校有一处斜坡，数学老师带领兴趣小组的学生测量了该斜坡上一点距水平地面的高度，测量方案如下： 主题 测量斜坡上一点距水平地面的高度 测量方案及示意图 测量方案 示意图 ①用皮尺测量斜坡上点，之间的距离米； ②准备一根长为3米的竹竿，并在竹竿顶部系一根足够长的绳子； ③将竹竿竖立在点处（米），拉直绳子，使得绳子； ④用皮尺测得米． 说明 ，，点，，在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案，求该斜坡上一点距水平地面的高度． 22. 综合与实践 数学课上，老师带领同学们对三角形的内外角的平分线展开了思考探究． （1）【问题引入】 如图1，在中，平分，平分，若，求的度数． 对于这个问题，补全以下解答过程，在空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 解：∵平分（已知）， ∴，同理可得． ∵（________）， ∴（等式的性质）． ∴． ∵， ∴________； （2）【类比探究】 如图2，在中，的三等分线与的三等分线分别交于点，，若，试求的度数（用含的式子表示）； （3）【拓展应用】 如图3，在锐角三角形中，的外角的三等分线与的外角的三等分线分别交于点，，若，请求出与的度数（用含的式子表示）． 23. 综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点，，在直线上，若，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $