29.2.3 第1课时 圆周角 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.2.3 圆周角（第1课时） 课题名称 29.2.3 圆周角（第1课时） 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 圆周角的概念；圆周角定理及其推论 内容解析 《圆周角》是在学生学习了圆心角、圆心角与弧弦关系的基础上，进一步研究圆的角。教材首先给出圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；然后通过探究，得出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；进而推出推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 圆周角定理是圆的重要性质之一，它建立了圆周角与圆心角之间的数量关系，是后续研究圆的其他性质、圆的计算和证明的重要基础。定理证明分三种情况（圆心在角的一边上、内部、外部），体现了分类讨论和化归思想。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了直线形（三角形、四边形）的基础上，进一步研究一种特殊的曲线图形——圆。本章主要内容包括：圆的有关概念、圆的性质、点和圆、直线和圆的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形面积等。 对应课标（《义务教育数学课程标准（2022年版）》）： ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； ②探索并证明垂径定理； ③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系； ④了解点和圆、直线和圆的位置关系。 课时目标 1.（数学抽象·直观想象）理解圆周角的概念；掌握圆周角定理及其推论，能说出同弧所对圆周角与圆心角的关系。 2.（逻辑推理·几何直观）经历探究圆周角定理的过程；能运用分类讨论和化归思想证明圆周角定理；能运用定理进行简单的计算和证明。 3.（数学建模·应用意识）通过圆周角定理的探究，体会分类讨论和化归思想；能运用直径所对圆周角是直角解决简单问题。 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能说出圆周角的定义（顶点在圆上，两边与圆相交）；能表述圆周角定理。 达成目标2的标志是：学生能分三种情况证明圆周角定理；能运用定理计算角度。 达成目标3的标志是：学生能说出直径所对圆周角是直角；能解决简单的计算问题。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生已经学习了圆心角的概念和性质，掌握了等腰三角形性质、三角形外角定理；学生具备一定的观察和推理能力。但九年级学生容易混淆圆周角和圆心角的概念；在证明圆周角定理时，不会分三种情况讨论；对“同弧或等弧”这一前提理解不深。 困惑点或探索点 学生容易混淆：圆周角和圆心角的概念；圆周角定理中“同弧所对”这一前提；证明时不会分三种情况讨论（圆心在一边上、内部、外部）。 教学 重难点 教学重点 圆周角的概念；圆周角定理及其推论。 教学难点 圆周角定理的证明（分三种情况）；运用定理进行计算和证明。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：圆周角定理建立了圆周角与圆心角的数量关系，是圆的核心性质之一，是解决圆中角度计算和证明的重要工具。 学什么：圆周角定义；圆周角定理（同弧所对圆周角等于圆心角的一半）；推论（直径所对圆周角是直角）。 怎么学：采用“观察对比—猜想验证—分类证明—应用巩固”的探究式教学。让学生对比圆心角和圆周角，发现圆周角的特点；通过度量发现圆周角是圆心角的一半；分三种情况证明定理；通过例题巩固应用。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 1. 什么叫圆心角？ 2. 圆心角、弧、弦三者有什么关系？ 复习引入 师：同学们，我们上节课学习了圆心角。谁来说说，什么叫圆心角？它有什么性质？ 生：顶点在圆心的角叫圆心角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 师：如果角的顶点不在圆心，而在圆上呢？这样的角叫什么？它和圆心角有什么关系？今天我们就来学习圆周角。（板书课题） 学生能说出圆心角的概念和性质；能联想到顶点在圆上的角与圆心角可能有关系。 从圆心角出发，通过“顶点在圆上的角叫什么”设疑，自然引入新课。 概念探究 一、圆周角的定义 观察图中的角∠BAC，它的顶点在哪里？两边与圆有什么关系？它和圆心角有什么不同？ 二、圆周角定理 量一量：同弧BC所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，它们的度数有什么关系？ 三、推论 如果圆周角所对的弦是直径，这个圆周角是多少度？ 活动一：认识圆周角 师：观察图中的∠BAC，它的顶点在哪里？ 生：顶点A在圆上。 师：两边呢？ 生：两边AB、AC都与圆相交。 师：像这样顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 活动二：探究圆周角定理 师：量一量同弧BC所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，它们的度数有什么关系？ 生：∠BAC是∠BOC的一半。 师：这就是圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 师：证明时要分三种情况：圆心在角的一边上、圆心在角内部、圆心在角外部。第一种最特殊，后两种可以转化为第一种。 活动三：探究推论 师：如果圆周角所对的弦是直径，那么这条弧是多少度？圆周角是多少度？ 生：直径所对的弧是半圆，180°，所以圆周角是90°。 师：推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 学生能说出圆周角的定义；能表述圆周角定理；能说出直径所对圆周角是直角。 让学生经历“观察—度量—猜想—证明—归纳”的探究过程，在对比圆心角和圆周角中发现定理，落实几何直观与逻辑推理素养。 课堂练习 例1：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD是两条弦。图中有几个圆周角？它们各对哪条弧？ 例2：如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D。求BC、AD、BD的长。 例1讲评： 分析：根据圆周角定义，顶点在圆上、两边与圆相交的角是圆周角。 解答：图中有4个圆周角：∠A（对弧BDC）、∠B（对弧ADC）、∠C（对弧BAD）、∠D（对弧ABC）。 例2讲评： 分析：AB是直径，所以∠ACB=90°（直径所对圆周角是直角）。在Rt△ABC中，由勾股定理求BC。 解： ∵AB是直径，∴∠ACB=90°。 在Rt△ABC中，BC=√(AB²-AC²)=√(10²-6²)=8cm。 ∵CD平分∠ACB，∴弧AD=弧BD，∴AD=BD。 在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，2AD²=100，∴AD=BD=5√2 cm。 教师强调：直径所对圆周角是直角，是圆中常用的直角三角形来源。 例1识别圆周角；例2综合运用直径所对圆周角是直角和勾股定理，巩固定理。 反思总结 学生为主体发言总结 这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 师：请同学们回顾一下，什么叫圆周角？圆周角定理的内容是什么？ 生1：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。 生2：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角。 师：课后请完成教材习题 29.2 第5、6题。 学生能说出圆周角定义；能表述圆周角定理和推论；能完成基本计算。 通过师生共同回顾，梳理圆周角概念和定理，强化“同弧所对”和“直径所对是直角”两个要点。 板书设计 29.2.3 圆周角（第1课时） 一、圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 二、圆周角定理 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。 三、推论 半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 提纲挈领,重点突出. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $