29.2.2 圆心角 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

29.2.2 圆心角 课题名称 29.2.2 圆心角 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 圆心角的概念；圆心角、弧、弦之间的关系 内容解析 《圆心角》是在学生学习了垂径定理的基础上，进一步研究圆的性质。教材首先给出圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角；然后通过探究，得出在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；进而推广：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 本节课是圆的重要性质之一，它建立了圆心角、弧、弦三者之间的等量关系，是后续学习圆周角、圆的计算和证明的重要基础。教学中渗透旋转不变性、转化思想。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了直线形（三角形、四边形）的基础上，进一步研究一种特殊的曲线图形——圆。本章主要内容包括：圆的有关概念、圆的性质、点和圆、直线和圆的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形面积等。 对应课标（《义务教育数学课程标准（2022年版）》）： ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； ②探索并证明垂径定理； ③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系； ④了解点和圆、直线和圆的位置关系。 课时目标 1.（数学抽象·直观想象）理解圆心角的概念；掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系。 2.（逻辑推理·几何直观）经历探究圆心角、弧、弦关系的过程；能运用这些关系进行简单的计算和证明。 3.（数学建模·应用意识）通过圆的旋转不变性，体会圆的对称性；能运用圆心角、弧、弦关系解决简单问题。 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能说出圆心角的定义；能表述“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等”。 达成目标2的标志是：学生能根据圆心角相等推出弧相等、弦相等；能在图中找出对应的等量关系。 达成目标3的标志是：学生能运用三者关系解决简单的计算和证明问题。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生已经学习了圆的概念、垂径定理，掌握了全等三角形的判定和性质；学生具备一定的观察和推理能力。但九年级学生容易忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件；在应用三者关系时，搞不清谁对应谁；容易混淆圆心角和圆周角（下节课内容）。 困惑点或探索点 学生容易混淆：圆心角、弧、弦三者之间的对应关系；忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件；在证明中找不到对应的等量关系。 教学 重难点 教学重点 圆心角的概念；在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系。 教学难点 探索圆心角、弧、弦之间关系的过程；运用这些关系进行计算和证明。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：圆心角、弧、弦三者关系是圆的核心性质之一，它把角、弧、弦的等量关系联系起来，是解决圆中计算和证明的重要工具。 学什么：圆心角定义；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；推论：三者中有一组量相等，其余各组量也相等。 怎么学：采用“操作探究—观察猜想—证明归纳—应用巩固”的探究式教学。让学生通过旋转圆，观察圆心角变化时弧和弦的变化；通过全等三角形证明三者关系；通过例题巩固应用。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 1. 什么叫圆心？什么叫半径？ 2. 什么叫弦？什么叫弧？ 复习引入 师：同学们，我们已经学习了圆的很多概念。谁来说说，什么叫弦？什么叫弧？ 生：弦是连接圆上两点的线段；弧是圆上两点间的部分。 师：如果在圆心处画一个角，这个角叫什么？它和它所对的弧、弦之间有什么关系？今天我们就来学习圆心角。（板书课题） 学生能说出弦和弧的概念；能联想到圆心处的角与弧、弦可能有关系。 从弦和弧的概念出发，通过“圆心处的角与弧、弦有什么关系”设疑，自然引入新课。 概念探究 一、圆心角的定义 观察图中的角∠AOB，它的顶点在哪里？两边与圆有什么关系？ 二、圆心角、弧、弦的关系 在同圆中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？ 三、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？反过来呢？ 活动一：认识圆心角 师：观察图中的∠AOB，它的顶点在哪里？ 生：顶点在圆心O。 师：像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。 活动二：探究三者关系 师：在⊙O中，画两个相等的圆心角∠AOB和∠COD。将∠AOB绕圆心O旋转，使OA与OC重合，你发现了什么？ 生：OB也与OD重合，所以弧AB与弧CD重合，弦AB与弦CD重合。 师：这说明在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 活动三：归纳推论 师：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？ 生：也都相等。 师：推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 师：注意：这个结论的前提是“在同圆或等圆中”。 学生能说出圆心角的定义；能表述圆心角、弧、弦三者关系；能注意“同圆或等圆”的前提。 让学生经历“观察—操作—猜想—证明—归纳”的探究过程，在旋转操作中发现圆心角、弧、弦三者关系，落实几何直观与逻辑推理素养。 课堂练习 例1：如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°。求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。 例2：如图，AB是⊙O的直径，∠COD=35°。求∠AOE的度数。 例1讲评： 分析：要证三个圆心角相等，先证它们所对的弦相等或弧相等。 证明： ∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。 又∵∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形。 ∴AB=BC=CA。 ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC（在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等）。 例2讲评： 分析：AB是直径，所以∠AOB=180°。已知∠COD=35°，求∠AOE。 解： ∵AB是直径，∴∠AOB=180°。 又∵∠BOC=∠COD=∠DOE=35°（等弧对等圆心角）， ∴∠AOE=180°-3×35°=75°。 教师强调：在同圆或等圆中，等弦对等圆心角，等弧对等圆心角。 例1通过等边三角形证明三圆心角相等；例2通过等弧求角度，巩固三者关系。 反思总结 学生为主体发言总结 这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 师：请同学们回顾一下，什么叫圆心角？圆心角、弧、弦三者有什么关系？ 生1：顶点在圆心的角叫圆心角。 生2：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 师：课后请完成教材习题 29.2 第3、4题。 学生能说出圆心角定义；能表述三者关系；能完成基本计算和证明。 通过师生共同回顾，梳理圆心角概念和三者关系，强化“同圆或等圆”这一前提条件。 板书设计 29.2.2 圆心角 一、圆心角定义 顶点在圆心的角叫做圆心角。 二、圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 三、推论 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 提纲挈领,重点突出. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $