29.2.2 圆心角 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

29.2.2 圆心角 教学设计 课题 圆心角 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时（29.2共4课时：29.2.1垂直于弦的直径、29.2.2圆心角、29.2.3圆周角第1、2课时；本章共10课时） 课型 新授课 教学目标 1. 理解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等就可以推出其他两个量对应相等的性质，及其在解题中的应用；2. 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题、探究和解决问题的能力；3. 体会圆的旋转对称性，渗透“化归”“由特殊到一般”的数学思想. 教学重点 弧、弦、圆心角之间的关系定理（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等）及其应用. 教学难点 探索定理的旋转重合证明过程，以及“知一推二”关系的灵活运用. 教学方法 类比探究、动手操作、启发引导、讲练结合 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺、量角器 课后练习 教材本节课后练习第 1～3 题。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习引入 类比新知 一、复习引入，类比新知 【复习】（学生活动）请同学们完成下题：已知 △OAB，如图所示，作出 △OAB 绕点 O 旋转 30° 后的图形． 老师点评：绕点 O 旋转，点 O 就是固定点，旋转 30° 就是旋转角 ∠BOB′＝30°． 【引入新课】如图，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫作圆心角． 实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心．不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形．利用这个性质，可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间的关系． 学生完成旋转作图，回顾旋转角的概念；观察顶点在圆心的角，认识圆心角；理解圆的旋转对称性. 从学生已有的旋转知识出发，以“顶点在圆心的角”自然引出圆心角的概念；通过圆的旋转对称性为新知的探究做好理论铺垫. 二、操作探究 建构定理 二、操作探究，建构定理 【学生活动】请同学们按下列要求作图并回答问题：如图，⊙O 中，当圆心角 ∠AOB＝∠A′OB′ 时，它们所对的弧 AB 和弧 A′B′ 有什么关系？弦 AB 和 A′B′ 呢？为什么？ 证明：我们把 ∠AOB 连同弧 AB 绕圆心 O 旋转，使射线 OA 与 OA′ 重合． ∵∠AOB＝∠A′OB′，∴射线 OB 与 OB′ 重合．又 OA＝OA′，OB＝OB′，∴点 A 与点 A′ 重合，点 B 与点 B′ 重合．因此，弧AB 与弧A′B′ 重合，弦 AB 与弦 A′B′ 重合，即弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等、所对的弦相等呢？请同学们动手作一作． 图1（同圆）与图2（等圆） 【师生活动】学生独立完成，教师点评：在⊙O 和⊙O′ 中，分别作相等的圆心角 ∠AOB 和 ∠A′O′B′，平移其中一个圆，使 O 与 O′ 重合，再旋转使 OA 与 O′A′ 重合，可发现：弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′．这就是又回到了化归思想──化未知为已知． 【归纳】圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 【师生活动】请三位同学到黑板板书说明，老师点评．由此得到“知一推二”：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦这三个量中，只要有一组量相等，就可以推出其余两组对应的量相等． 学生作图并尝试用旋转重合的思想说明“等圆心角对等弧、等弦”；在等圆中动手验证；归纳定理并完成“知一推二”的说理，三名学生板书. 通过作图、旋转验证，让学生经历“操作—观察—猜想—验证—归纳”的过程；旋转重合的证明渗透化归思想；由同圆到等圆体现由特殊到一般；通过板书说理培养学生的推理能力以及逻辑思维能力. 三、学以致用 典例精讲 三、学以致用，典例精讲 【例题】如图，在⊙O 中，弧AB＝弧AC，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC． 证明：∵弧AB＝弧AC，∴AB＝AC（等弧对等弦），∴△ABC 是等腰三角形． 又 ∠ACB＝60°，∴△ABC 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形），即 AB＝BC＝CA． ∴弧AB＝弧BC＝弧CA（等弦对等弧），∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC． 【方法点拨】本题以“等弧、等弦、等圆心角之间的相互转化”为推理主线：先由等弧得等弦，再借助等边三角形实现弦的传递，最后由等弦回到等弧、等圆心角，形成闭环． 学生在教师引导下分析推理主线（等弧—等弦—等边三角形—等弧—等圆心角），尝试独立书写证明，一名学生板演. 例题综合运用“等弧对等弦”“等弦对等弧”及等边三角形的判定，训练学生在圆中灵活转换弧、弦、角三种量的能力，巩固“知一推二”. 四、随堂训练 反馈巩固 四、随堂训练，反馈巩固 （1）下列图形中的角，是圆心角的为（　　） A　　　　B　　　　C　　　　D 解析：判断一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角才是圆心角． 答案：C （2）如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C、D 是弧AE 的三等分点，∠AOE＝120°，则 ∠COE 的大小是（　　） A．40°　　　B．60°　　　C．80°　　　D．120° 解析：由 ∠AOE＝120°，得弧AE 的度数为 120°．C、D 是弧AE 的三等分点，则每份弧的度数为 40°，弧CE 的度数为 80°，∴∠COE＝80°．故选 C． 答案：C （3）如图，在⊙O 中，弦 AB//CD，A、C 之间的距离为 4，则线段 BD 的长为　　　　　　． 解析：∵AB//CD，∴弧AC＝弧BD（圆的两条平行弦所夹的弧相等），∴AC＝BD（等弧对等弦）＝4． 答案：4 （4）如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦，弧AB＝弧CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E、F．求证：OE＝OF． 证明：如图，连接 OA、OC．∵弧AB＝弧CD，∴AB＝CD． ∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴，（垂径定理），∴AE＝CF．又 ∠AEO＝∠CFO＝90°，OA＝OC（同圆的半径相等）， ∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），∴OE＝OF． 学生独立完成（1）～（3）并集中订正；（4）由学生板演证明，其余学生补充纠错，教师强调“垂径定理与等弧对等弦”的组合使用. （1）题巩固圆心角的概念辨析；（2）题训练弧的度数与圆心角的对应关系；（3）题运用“平行弦所夹的弧相等”进行等量转化，渗透化归思想；（4）题综合垂径定理与等弧对等弦，训练学生的推理能力以及逻辑思维能力. 五、课堂小结 自我完善 五、课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？（2）圆心角的概念是什么？（3）在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系？ 【归纳】①圆心角：顶点在圆心的角；②定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；③“知一推二”：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三个量中有一组量相等，就可以推出其余两组对应的量相等；④理论依据：圆的旋转对称性与化归思想． 学生复述圆心角概念与定理内容，梳理“知一推二”的对应关系，同桌互查易错点（如必须在同圆或等圆中研究）。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 六、布置作业 课后拓展 六、布置作业，课后拓展 教材本节课后练习第 1～3 题． 提示：运用“知一推二”时先确认是否在同圆或等圆中；证明题理清“等弧、等弦、等圆心角”之间的转化方向． 课后独立完成，先默写定理再动笔，证明题写明每一步转化的依据. 巩固圆心角定理及“知一推二”的运用，检验学习目标达成情况. 板书设计 圆心角 一、圆心角 顶点在圆心的角 二、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 三、知一推二 圆心角、弧、弦：一组量相等 → 其余两组对应相等 四、理论依据 圆的旋转对称性；化归思想；等弧、等弦、等圆心角互推 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $