湖北省九年级数学上学期课时作业（人教版九年级上册29.2.3 第1课时圆周角定理及其推论）

人教版九年级上册第29章圆 课时作业 29.2.3第1课时圆周角定理及其推论 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 【课时作业】 学段学科 【初中】【数学】 适用年级 【九年级】 教材版本 【新人教版】 对应内容 【29.2.3第1课时圆周角定理及其推论第1课时】 作业类型 【课后作业】 完成时长 总时长40分钟 设计者 【吕敏】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是几何直观、推理能力、运算能力、应用意识；需达成《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域关于“探索并证明圆周角定理及其推论，能运用其解决简单几何问题”的学业质量标准。 · 教材地位：本课时位于新人教版九年级上册第二十九章“圆”，是圆的重要性质之一。圆周角定理及其推论是圆的定理中应用最广、综合性最强的定理，是后续学习圆内接四边形、切线以及圆中角与线段关系证明的核心基础，也是培育几何直观与推理能力的重要载体。 · 教学重难点： 教学重点：圆周角定理及其推论的理解与运用，掌握同弧（等弧）所对圆周角与圆心角之间的数量关系； 教学难点：在复杂图形中识别同弧所对的圆周角，并灵活添加辅助线（构造直径所对直角、连接半径）解决圆中的综合证明与计算。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已掌握圆的基本概念（圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角），具备三角形全等、等腰与等边三角形性质、勾股定理等知识基础，能进行初步的几何推理。 现有困惑 对圆周角与圆心角、圆周角与圆周角之间的对应关系易混淆；对“同弧或等弧所对的圆周角相等”的使用条件把握不牢；遇到直径时易忽略“直径所对圆周角是直角”这一关键突破口。 差异分析 班级内学生水平存在差异：基础较好的学生可独立完成综合练并尝试素养练；中等学生能完成基础练与大部分综合练；基础薄弱学生以基础练为主，部分题目需提供问题分析与辅助线提示。 3. 设计意图 本作业以“圆周角定理及其推论”为核心内容，依据“双减”政策与素养导向要求，采用“知识储备—基础练—综合练—素养练”四层递进结构设计：知识储备夯实概念与定理基础，基础练巩固必备知识，综合练实现知识迁移与关键能力提升，素养练依托教材例题变式培育几何直观、推理能力、运算能力和应用意识，使不同层次学生都能在原有基础上获得发展。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能准确识别圆周角，复述并解释 圆周角定理及其推论. 几何直观 概念辨析正确率、 定理复述 能力运用 B 能运用圆周角定理及其推论求角的大小、证明角相等，结合勾股 等知识求线段长. 运算能力、推理能力 解题过程、 结果正确率 思维发展 C 能综合运用圆周角定理、垂径定理、全等及勾股等知识进行多步 推理证明，合理添加辅助线. 推理能力 论证思路、 辅助线构造 情感态度 D 体会圆的对称美与推理的严谨性，养成规范书写、严密推理的 学习习惯. 应用意识 学习投入、 自我反思 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题1 判断给定图形中的角是否为圆周角 A 深化对圆周角概念“顶点在圆上、两边与圆相交”的理解 答案：C 2 选择题2 OA⊥OB，求圆周角∠ACB B 理解同弧所对圆周角等于圆心角的一半 答案：D（45°） 3 填空题变式：（1） 变式：OA⊥BC，∠OBC＝20°，求∠ADC B 圆周角定理的灵活运用 答案：35° 4 填空题变式：（2） 变式：BC＝2，∠BAC＝30°，求⊙O半径 B 定理逆用与等边三角形判定 答案：2 5 选择题3 弦AB、CD相交于P，∠A＝48°、∠APD＝80°，求∠B B 推论结合三角形外角性质 答案：A（32°） 6 选择题4 CD为直径，∠ACD＝40°，求∠B B 直径所对圆周角为直角 答案：C（50°） 7 填空题变式：（1） 变式：AC为直径，∠ACB＝50°，求∠D B 直径→直角，同弧圆周角相等 答案：A（40°） 8 填空题变式：（1） 变式：圆形镜面测量，求半径 C 圆周角定理应用与勾股定理 答案：cm 9 解答题5 半圆直径，BD＝DE，证点D为BC中点、判断△ABC形状 C 综合推理与知识迁移 证明：D为BC中点；△ABC为等边三角形 10 解答题6 AB为直径，CD⊥AB，证AC∥DF，求AC与GD C 综合运用垂径定理、等弧、等边三角形与勾股 AC＝6，GD＝4 11 解答题7 教材P87例题4变式：证BD＝CD、判断△BDE形状、求BD C/D 素养培育：辅助线构造与综合推理 BD＝CD；△BDE等腰直角；BD＝2 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础练全对，能准确识别圆周角、熟练应用圆周角定理及其推论 少量细节错误 基础题错误较多，概念混淆 20% 能力运用 综合练方法恰当、推理过程完整清晰，善用圆周角定理＋垂径定理＋勾股 方法基本正确，偶有步骤跳跃 方法不当或过程缺失 30% 思维发展 素养练观点明确、能添加辅助线、论证充分有独创性 能完成但深度不足，缺多步推理 思路混乱、缺乏依据 30% 情感态度 主动投入、乐于探究交流 态度端正、按要求完成 消极被动、敷衍完成 20% 六、作业内容 作业内容 题号与题型 第一部分 知识储备 设计意图 ◆（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． ◆（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 强化记忆与理解圆周角的概念及其相关的定理和推论. 第二部分 基础练---必备知识梳理 题 1 ★知识点一：圆周角的概念 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A．B． C．D． 【分析】根据圆周角的定义判断即可. 【解答】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故A选项错误； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故B选项错误； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故C选项正确； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查圆周角定理,解题的关键是掌握圆周角的定义,即:角的顶点在圆上,并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角。 学生深入理解圆周角的概念. 题 2＋变式①② 题 3、题 4＋变式①② ★知识点二：圆周角定理 2．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB等于（　　） A．20° B．25° C．35° D．45° 【分析】根据圆周角定理解答． 【解答】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， 由圆周角定理得，∠ACB∠AOB＝45°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆周角定理,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. ●变式：（1）如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠OBC＝20°，则∠ADC等于 　度． 【分析】求出∠OEB=90°,求出∠A0B=90°﹣∠OBC=70°,得出的度数是70°,根据垂径定理求出,求出的度数是70°，再根据圆周角定理求出答案即可. 【解答】解：∵OA⊥BC， ∴∠OEB＝90°， ∵∠OBC＝20°， ∴∠AOB＝90°﹣∠OBC＝70°， ∴的度数是70°， ∵OA⊥BC，OA过圆心O， ∴， ∴的度数是70°， ∴圆周角∠ADC35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了圆周角定理,垂径定理,直角三角形的性质等知识点,能根据垂径定理得出是解此题的关键. （2）如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 　． 【分析】连接OB、OC,根据圆周角定理得∠BOC= 2∠BAC=60°，而OB=OC,于是可判断△OBC为等边 三角形,所以OB=BC= 1． 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°， 而OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∴OB＝BC＝2， 即⊙O的半径为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等边三角形的判定与性质． ★知识点三：圆周角定理的推论 3、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（　　） A．32° B．42° C．52° D．62° 【分析】根据圆周角定理,可以得到∠D的度数,再根据三角形外角的性质,可以求出∠B的度数. 【解答】解：∵∠A＝∠D，∠A＝48°， ∴∠D＝48°， ∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D， ∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°， 故选：A． 【点评】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质,解答本题的关键是求出∠D的度数. 4、如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【分析】根据CD是⊙O的直径,得到∠CAD＝90°,进而得到∠ACD+∠D＝90°,从而求得∠ACD,再根据圆周角定理即可求解. 【解答】解：∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∵∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B＝50°． 故选：C． 【点评】本题考査了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角,直角三角形的两锐角豆余等知识,熟练掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键. ●变式：（1）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是弧BAC上一点，则∠D的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．20° 【分析】需求∠D的度数,需先求出同弧所对的∠A的度数;Rt△ABC中,已知∠ACB的度数,即可求得∠A,由此得解. 【解答】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°； ∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°； ∴∠D＝∠A＝40°． 故选：A． 【点评】此题考査了圆周角定理与直角三角形的性质，此题比较简单,注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键. （2）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 　 　． 【分析】连接AC,根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径,再根据勾股定理求出AC即可. 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角， ∴AC是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：AC13（cm）， 所以圆形镜面的半径为cm. 【点评】本题考査了圆周角定理和勾股定理等知识点,能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键. 在练习中加深对：“同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”的理解. 考查学生对灵活运用圆周角定理的推论来解决问题，通常遇到直径可得直角，结合勾股定理来解决问题. 题 5、题 6 第三部分 综合练---关键能力提升 5．如图，已知△ABC中，AB为半圆O的直径，AC、BC分别交半圆O于点E、D，且BD＝DE． （1）求证：点D是BC的中点． （2）若点E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】(1)连接AD,根据圆周角定理得到∠ADB=∠ADC=90°,证明△BAD≌△CAD,根据全等三角形的性质证明. (2)根据直角三角形的性质得到DE=AE=EC,得到CA=CB,根据等边三角形的判定定理证明. 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵BD＝DE， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD和△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（ASA）， ∴BD＝DC，即点D是BC的中点； （2）解：∵△BAD≌△CAD， ∴AB＝AC， ∵∠ADC＝90°，点E是AC的中点， ∴DE＝AE＝EC， 由（1）得，DE＝BD＝DC， ∴CA＝CB， ∴CA＝CB＝AB， ∴△ABC是等边三角形． 【点评】本题考査的是圆周角定理,直角三角形的性质,等边三角形的判定,掌握圆周角定理是解题的关键. 6、如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC． （1）求证：AC∥DF； （2）若AB＝12，求AC和GD的长． 【分析】(1)根据等边对等角可得∠GAC=∠GCA,根据同弧所对圆周角相等可得∠C=∠F,结合内错角相等,两直线平行即可求证; (2)根据等边对等角可得∠OAF=∠F,结合(1)中的∠GAC=∠C=∠F,可得∠OAF=∠GAC=∠C,根据直角三角形两锐角互余可得∠OAF+∠GAC+∠C=3∠C=90°,在Rt△AEG中,根据含30°角的直角三角形的性质,设EG=x,则AE=x,AG=CG=2x,OE=OA﹣AE=6﹣x,由垂径定理可得CE=DE=3x,在Rt△ODE中,运用勾股定理可得x﹣，由DG=DE+EG即可求解， 【解答】（1）证明：∵AG＝CG， ∴∠DCA＝∠CAF， ∵， ∴∠CAF＝∠CDF， ∴∠ACD＝∠CDF， ∴AC∥DF； （2）解：如图，连接CO， ∵AB⊥CD， ∴，CE＝DE， ∵∠DCA＝∠CAF， ∴， ∴， ∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF， ∵DF是直径， ∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°， ∵CE⊥AO， ∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°， ∴CE＝3DE， ∵AG2＝GE2+AE2， ∴AG2＝（3AG）2+9， ∴AG＝2，∴GE， ∴DG＝4． 【点评】本题主要考査圆与三角形的综合,同弧所对圆周角相等,等边对等角(等角对等边),平行线的判定和性质,含30°角的直角三角形的性质,勾股定理等知识的综合运用,掌握同弧所对圆周角相等,等边对等角(等角对等边),含30°角的直角三角形的性质是解题的关键. 将本节所学内容与以前的知识紧密结合，使学生很好地进行知识点迁移，在练习中加深对圆周角定理及其推论的应用，同时考查学生综合分析问题的能力． 题7 P129例题3的 变式题 第四部分 素养练---学科素养培育 7、如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD、CD． （1）求证：BD＝CD （2）判断△BDE的形状，并说明理由； （3）若AB＝10，BC＝8，求BD的长． 【分析】（1）由角平分线的定义可知,∠BAD=∠CAD= ∠CBD，根据圆心角、弧之间的关系即可求解； （2）由角平分线的定义可知,∠BAE=∠CAD=∠CBD， ∠ABE=∠EBC,所以∠BED=∠DBE,所以BD=ED,因为 AB为直径，所以∠ADB=90°，所以△BDE是等腰直 角三角形. （3）连接OC、OD,OD交BC于点F,因为BD=DC,OB=OC.所以OD垂直平分BC.在Rt△BOF中,OB2﹣OF2＝BF2，解出OF的值,在Rt△BDF中,利用勾股定理即可求解, 【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∴BD＝CD； （2）解：△BDE为等腰直角三角形． 理由：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC． ∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE． ∴BD＝ED． ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形； （3）解：连接OC、OD，OD交BC于点F， ∵BD＝DC，OB＝OC． ∴OD垂直平分BC． ∵AB＝10，BC＝8， ∴BF＝4，OB＝OD＝5， 在Rt△BOF中，OB2﹣OF2＝BF2， ∴52﹣OF2＝42，解得OF＝3， ∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2， 在Rt△BDF中，BD2＝DF2+BF2， ∴BD2 ∴BD的长为2． 【点评】此题是圆的综合题,主要考査了垂径定理,圆周角定理,等腰直角三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理等知识，证明△BDE是等腰直角三角形是解题关键. 本题是教材P129例题3的变式题，针对学有余力的同学的设计，培养学生几何直观、运算能力、推理能力和应用意识方面的核心素养。 ★作业实施效果评价与改进★ 1、作业的第一、二部分基础练基本上每位同学都能力自主完成，即夯实基础又提升学习的自信心，第三部分的第二小题学生可能有些困难，要求学生灵活运用圆周角定理、垂径定理，等边三角形的判定和性质和勾股定理等知识。对于第四部分的素养练来自教材题的加深巩固，要求学生会添加辅助线解决问题，对学生的能力提出了更高的要求。 2、在后面作业的设计中，针对重难点问题，可以设置问题分析和添加辅助线的提示，增强学生探 究知识和解决问题的能力。 七、错题反思与改进记录 题号 错因 正确思路/辅助线 订正 教师或同伴签字 - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册第29章圆 课时作业 29.2.3第1课时圆周角定理及其推论 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 【课时作业】 学段学科 【初中】【数学】 适用年级 【九年级】 教材版本 【新人教版】 对应内容 【29.2.3第1课时圆周角定理及其推论第1课时】 作业类型 【课后作业】 完成时长 总时长40分钟 设计者 【吕敏】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是几何直观、推理能力、运算能力、应用意识；需达成《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域关于“探索并证明圆周角定理及其推论，能运用其解决简单几何问题”的学业质量标准。 · 教材地位：本课时位于新人教版九年级上册第二十九章“圆”，是圆的重要性质之一。圆周角定理及其推论是圆的定理中应用最广、综合性最强的定理，是后续学习圆内接四边形、切线以及圆中角与线段关系证明的核心基础，也是培育几何直观与推理能力的重要载体。 · 教学重难点： 教学重点：圆周角定理及其推论的理解与运用，掌握同弧（等弧）所对圆周角与圆心角之间的数量关系； 教学难点：在复杂图形中识别同弧所对的圆周角，并灵活添加辅助线（构造直径所对直角、连接半径）解决圆中的综合证明与计算。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已掌握圆的基本概念（圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角），具备三角形全等、等腰与等边三角形性质、勾股定理等知识基础，能进行初步的几何推理。 现有困惑 对圆周角与圆心角、圆周角与圆周角之间的对应关系易混淆；对“同弧或等弧所对的圆周角相等”的使用条件把握不牢；遇到直径时易忽略“直径所对圆周角是直角”这一关键突破口。 差异分析 班级内学生水平存在差异：基础较好的学生可独立完成综合练并尝试素养练；中等学生能完成基础练与大部分综合练；基础薄弱学生以基础练为主，部分题目需提供问题分析与辅助线提示。 3. 设计意图 本作业以“圆周角定理及其推论”为核心内容，依据“双减”政策与素养导向要求，采用“知识储备—基础练—综合练—素养练”四层递进结构设计：知识储备夯实概念与定理基础，基础练巩固必备知识，综合练实现知识迁移与关键能力提升，素养练依托教材例题变式培育几何直观、推理能力、运算能力和应用意识，使不同层次学生都能在原有基础上获得发展。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能准确识别圆周角，复述并解释 圆周角定理及其推论. 几何直观 概念辨析正确率、 定理复述 能力运用 B 能运用圆周角定理及其推论求角的大小、证明角相等，结合勾股 等知识求线段长. 运算能力、推理能力 解题过程、 结果正确率 思维发展 C 能综合运用圆周角定理、垂径定理、全等及勾股等知识进行多步 推理证明，合理添加辅助线. 推理能力 论证思路、 辅助线构造 情感态度 D 体会圆的对称美与推理的严谨性，养成规范书写、严密推理的 学习习惯. 应用意识 学习投入、 自我反思 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题1 判断给定图形中的角是否为圆周角 A 深化对圆周角概念“顶点在圆上、两边与圆相交”的理解 答案：C 2 选择题2 OA⊥OB，求圆周角∠ACB B 理解同弧所对圆周角等于圆心角的一半 答案：D（45°） 3 填空题变式：（1） 变式：OA⊥BC，∠OBC＝20°，求∠ADC B 圆周角定理的灵活运用 答案：35° 4 填空题变式：（2） 变式：BC＝2，∠BAC＝30°，求⊙O半径 B 定理逆用与等边三角形判定 答案：2 5 选择题3 弦AB、CD相交于P，∠A＝48°、∠APD＝80°，求∠B B 推论结合三角形外角性质 答案：A（32°） 6 选择题4 CD为直径，∠ACD＝40°，求∠B B 直径所对圆周角为直角 答案：C（50°） 7 填空题变式：（1） 变式：AC为直径，∠ACB＝50°，求∠D B 直径→直角，同弧圆周角相等 答案：A（40°） 8 填空题变式：（1） 变式：圆形镜面测量，求半径 C 圆周角定理应用与勾股定理 答案：cm 9 解答题5 半圆直径，BD＝DE，证点D为BC中点、判断△ABC形状 C 综合推理与知识迁移 证明：D为BC中点；△ABC为等边三角形 10 解答题6 AB为直径，CD⊥AB，证AC∥DF，求AC与GD C 综合运用垂径定理、等弧、等边三角形与勾股 AC＝6，GD＝4 11 解答题7 教材P87例题4变式：证BD＝CD、判断△BDE形状、求BD C/D 素养培育：辅助线构造与综合推理 BD＝CD；△BDE等腰直角；BD＝2 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础练全对，能准确识别圆周角、熟练应用圆周角定理及其推论 少量细节错误 基础题错误较多，概念混淆 20% 能力运用 综合练方法恰当、推理过程完整清晰，善用圆周角定理＋垂径定理＋勾股 方法基本正确，偶有步骤跳跃 方法不当或过程缺失 30% 思维发展 素养练观点明确、能添加辅助线、论证充分有独创性 能完成但深度不足，缺多步推理 思路混乱、缺乏依据 30% 情感态度 主动投入、乐于探究交流 态度端正、按要求完成 消极被动、敷衍完成 20% 六、作业内容 作业内容 题号与题型 第一部分 知识储备 设计意图 ◆（1）圆周角的定义：顶点在 ，并且 都与圆相交的角叫做圆周角． ◆（2）圆周角定理：在同圆或 中，同弧或 所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 ． 推论：半圆（或 ）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ． 强化记忆与理解圆周角的概念及其相关的定理和推论. 第二部分 基础练---必备知识梳理 题 1 ★知识点一：圆周角的概念 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A．B． C．D． 学生深入理解圆周角的概念. 题 2＋变式①② 题 3、题 4＋变式①② ★知识点二：圆周角定理 2．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB等于（　　） A．20° B．25° C．35° D．45° ●变式：（1）如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠OBC＝20°，则∠ADC等于 　度． （2）如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 　． ★知识点三：圆周角定理的推论 3、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（　　） A．32° B．42° C．52° D．62° 4、如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° ●变式：（1）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是弧BAC上一点，则 ∠D的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．20° （2）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 　 　． 在练习中加深对：“同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”的理解. 考查学生对灵活运用圆周角定理的推论来解决问题，通常遇到直径可得直角，结合勾股定理来解决问题. 题 5、题 6 第三部分 综合练---关键能力提升 5．如图，已知△ABC中，AB为半圆O的直径，AC、BC分别交半圆O于点E、D，且BD＝DE． （1）求证：点D是BC的中点． （2）若点E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由． 6、如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC． （1）求证：AC∥DF； （2）若AB＝12，求AC和GD的长． 将本节所学内容与以前的知识紧密结合，使学生很好地进行知识点迁移，在练习中加深对圆周角定理及其推论的应用，同时考查学生综合分析问题的能力． 题7 P129例题3的 变式题 第四部分 素养练---学科素养培育 7、如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD、CD． （1）求证：BD＝CD （2）判断△BDE的形状，并说明理由； （3）若AB＝10，BC＝8，求BD的长． 本题是教材P129例题3的变式题，针对学有余力的同学的设计，培养学生几何直观、运算能力、推理能力和应用意识方面的核心素养。 ★作业实施效果评价与改进★ 1、作业的第一、二部分基础练基本上每位同学都能力自主完成，即夯实基础又提升学习的自信心，第三部分的第二小题学生可能有些困难，要求学生灵活运用圆周角定理、垂径定理，等边三角形的判定和性质和勾股定理等知识。对于第四部分的素养练来自教材题的加深巩固，要求学生会添加辅助线解决问题，对学生的能力提出了更高的要求。 2、在后面作业的设计中，针对重难点问题，可以设置问题分析和添加辅助线的提示，增强学生探 究知识和解决问题的能力。 七、错题反思与改进记录 题号 错因 正确思路/辅助线 订正 教师或同伴签字 - 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