精品解析：福建省泉州市第七中学2027届高三上学期9月巩固性训练数学试题

2027届高三毕业班9月巩固性训练 数 学 （试卷满分：150分 考试用时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】设幂函数，则，所以， 故. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 由于，所以， ，即， ，所以 则 3. 已知是定义在R上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由导数定义，令， 则，解得． 4. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5. 若函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段解不等式，并集即所求. 【详解】时，由得时，由得， 综上满足的实数的取值范围是. 故选：C. 6. “”是“函数在区间上的最大值为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数与单调性及最值的关系，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】若，函数，不符合题意； ， 若，当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 则函数在区间上的最大值为或， 又，所以， 所以函数在区间上的最大值为. 故，解得，符合题意； 若，当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在区间上的最大值为或，不符合题意. 综上所述，当函数在区间上的最大值为2时，. 当时，由以上分析知，函数在区间上的最大值为2. 所以“”是“函数在区间上的最大值为2”的充要条件. 7. 研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.14 B. 1.15 C. 1.16 D. 1.17 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，故，所以，， 两边取常用对数得，所以. 8. 已知在上满足，且方程只有一个根，则实数的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得在上是减函数，当时，由单调递减得的范围，当时，，利用导数得在时恒成立，即， 又得，进而得的范围，又由只有一个根，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由可知，在上是减函数， 当时，是一次函数， 因为在上单调递减， 所以，即， 当时，，所以， 因为在时单调递减，所以在时恒成立， 即，变形为， 由于时，所以，即， 还要保证在分段点处，左侧的函数值不小于右侧的函数值， 即，化简得，即， 所以， 分析方程的根的个数， 当时，方程为，化简得， 若，则方程对任意都成立，有无穷多个根，不合题意， 故，此时方程在上无解， 因此，方程的唯一根必在上取得，此时，， 当时，， 令， 要求只有一个根，， 令，，（舍）， ∵，∴，若，则， 此时，在上单调递减，由， 所以在上仅有一个零点，此时只有一个根， 若，则，此时，时，，在单调递增， 时，，在上单调递减， 又，，而时，， ∴，使， ∴在上存在两个零点，不符合题意， 综上所述. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象不经过第四象限 B. 若为偶函数，则为偶数 C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用幂函数的图象性质可判断A；当时，为偶函数，但是不为偶数，可判断B；利用基本不等式验证，判断C；当时，，可判断D. 【详解】对于A，利用幂函数的图象性质可知，的图象不经过第四象限，故A正确； 对于B，当时，为偶函数，但是不为偶数，故B错误； 对于C，，所以，， 由基本不等式可得，因为，所以等号不成立，故C正确； 对于D，当时，则，故D错误. 10. 已知，则下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式性质，指数函数，对数函数的单调性进行判断. 【详解】由得，又，所以，所以，所以选项正确； 当时，，所以选项错误； 由得，，又，所以，所以选项错误； 由知，所以，又，所以，所以选项正确. 故选： 11. 设集合，且满足：（且），则.下列说法正确的是（ ） A. 若，则集合中还有另外两个元素 B. 集合中元素个数为3的倍数 C. 集合中所有元素之积为1 D. 若集合中元素个数不超过8，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用集合与元素之间的关系计算，结合集合元素的互异性判断AB；求出所有元素积判断C；确定元素个数并求出所有元素判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，（且），得， 令，得无解，即，同理，， 则，即集合A中任意一个元素可生成另外两个元素， 对任意互不生成的两个元素，各自生成另外两个元素，因此集合中元素个数为3的倍数，B正确； 对于C，，集合中互不生成的元素有个，则所有元素的积为，C错误； 对于D，依题意，集合中的元素个数应为3或6，由及 中有一个元素的平方等于所有元素的积，得中应有6个元素，且其中一个元素为， 由，得，又，则另外三个元素和为， 即，解得，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 下列函数求导正确的有______. ① ② ③ ④ 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据导数的运算法则逐一验证即可求解. 【详解】，①不正确.，②正确. ，③正确.，④不正确. 故答案为：②③. 13. 已知函数，则函数的值域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设易得，，进而求解即可. 【详解】由，得， 而， 则， 由，得，则，即， 所以，所以， 则函数的值域是. 故答案为：. 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】对进行因式分解，根据函数的单调性得到与的零点相同，进而得到；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】 . 恒成立等价于，， 即，. 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 若，恒成立，则与的零点必须相同. 令，则；令，则， 所以，所以. 设，则. 令，设，则. 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增. 观察易得是的根，即，所以. 当时，，，所以单调递减； 当时，，，所以单调递增； 所以在时取最小值，，故. 因此的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若集合中的整数元素有且仅有1个，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入参数求出集合，先求两集合的并集，再求并集在实数集上的补集； （2）先保证集合非空，结合集合中的整数，分交集仅有整数1、仅有整数2两种情况分类讨论，列出不等式组求解参数，最后取范围的并集. 【小问1详解】 由题意得. 当时，，所以， 故. 【小问2详解】 中含有1，2两个整数元素，且由，得. 要使集合中的整数元素有且仅有1个，则有两种情况： 当集合中的整数元素有且仅有元素1时，解得； 当集合中的整数元素有且仅有元素2时，解得. 综上所述，实数的取值范围为 . 16. 已知函数，. （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）若，且函数，讨论函数的单调性. 【答案】（1）； （2） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数及其导数，再分类讨论求出其单调性. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 依题意，，其定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 17. （1）已知关于x的不等式的解集是，求的值； （2）已知实数a，b满足，，求的取值范围； （3）已知，，，且，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数结合韦达定理求解； （2）设，结合已知解得的值，利用不等式的性质求解； （3）利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：因为关于x的不等式的解集为， 所以1和5是方程的两个根，且，则， 解得，故． （2）设，所以，解得， 又，， 所以，， 故，即的取值范围是． （3）略 18. 汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度.设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则．下图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图. 例如：时，；时， （1）根据相关数据，试解释为什么交通部门要求在限速的路段，行车要至少与前车保持100米以上的距离； （2）根据相关数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型一：或模型二：（其中v为汽车速度，，为待定系数）进行拟合，请根据和两组数据分别求出两个函数模型的解析式； （3）通过计算时的停车距离，分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好. （参考数据：；；.） 【答案】（1）由数据知，当时，停车距离，当时，停车距离，所以保持100米以上的安全距离才能保证遇到突发情况时能避免与前车碰撞 （只要能言之有理即可，但一定要有利用数据进行说理） （2）， （3）模型二的拟合效果更好． 【解析】 【分析】（1）根据行车速度与停车距离的关系判断； （2）将，和，分别代入模型一和模型二求出的值，得出两函数模型的解析式； （3）将代入模型一和模型二解析式，求出对应停车距离，再与实际比较，即可判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 模型一：，由题意可得， 解得，， 则模型一的解析式为. 模型二：，由题意可得， 解得，， 则模型二的解析式为. 【小问3详解】 将代入模型一解析式得出， 将代入模型二解析式得出， 由于实际的停车距离为245.5m，则模型二的拟合效果更好． 19. 设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”． （1）判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由； （2）设，求证：存在无穷多条“切线”； （3）设，求证：对任意实数和正数都是“函数” 【答案】（1）是，理由如下： 记，则，设切点为， 由切线方程为知，则，解得． 所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点， 将与函数联立，得． 记，则， 当时，当时， 故在上单调递增，在上单调递减，， 故函数只有一个零点，故是一条“切线”； （2）因为，所以， 则点处的切线方程为， 将点处的切线的方程与联立得， 记， 则直线为“切线”函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线”），显然是的零点， 故只要没其它零点，此时， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而， 故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性， 故函数存在无穷多条“切线”， （3）因为，则， 设点在函数的图象上， 则点的切线为，与联立得： ， 由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解， 则或， 若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）． 若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为） 或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）， 综上，，即证． 【解析】 【分析】（1）记，设切点为，利用导数的几何意义求出，再证明直线与的图象只有唯一的公共点，将与函数联立，得，记，利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解． （2）将点处的切线的方程与联立得，记，利用导数说明函数存在唯一零点，即可得证； （3）类似第（2）问的思路得到在上有且仅有一解，则或，再分、两种情况说明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三毕业班9月巩固性训练 数 学 （试卷满分：150分 考试用时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在R上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“函数在区间上的最大值为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.14 B. 1.15 C. 1.16 D. 1.17 8. 已知在上满足，且方程只有一个根，则实数的取值范围为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象不经过第四象限 B. 若为偶函数，则为偶数 C. 若，则 D. 10. 已知，则下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设集合，且满足：（且），则.下列说法正确的是（ ） A. 若，则集合中还有另外两个元素 B. 集合中元素个数为3的倍数 C. 集合中所有元素之积为1 D. 若集合中元素个数不超过8，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 下列函数求导正确的有______. ① ② ③ ④ 13. 已知函数，则函数的值域是___________. 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若集合中的整数元素有且仅有1个，求实数的取值范围. 16. 已知函数，. （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）若，且函数，讨论函数的单调性. 17. （1）已知关于x的不等式的解集是，求的值； （2）已知实数a，b满足，，求的取值范围； （3）已知，，，且，证明：． 18. 汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度.设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则．下图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图. 例如：时，；时， （1）根据相关数据，试解释为什么交通部门要求在限速的路段，行车要至少与前车保持100米以上的距离； （2）根据相关数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型一：或模型二：（其中v为汽车速度，，为待定系数）进行拟合，请根据和两组数据分别求出两个函数模型的解析式； （3）通过计算时的停车距离，分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好. （参考数据：；；.） 19. 设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”． （1）判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由； （2）设，求证：存在无穷多条“切线”； （3）设，求证：对任意实数和正数都是“函数” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $