福建省泉州市南安华侨中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

南安华侨中学2026年秋季第一次月考高三年段数学科试卷 （总分150分，考试时间120分钟） 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确）． 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，则（ ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立，则（ ） A．在上单调递增 B．的图象与轴有3个交点 C． D．不等式的解集为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的有（ ） A．若函数为奇函数，则 B．函数在上是单调减函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．将的图象向右平移个单位，可得的图象 10．已知函数，则（ ） A．的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B．在上有3个零点，则实数的取值范围是 C．的单调递减区间为 D．的图象与的图象关于轴对称 11．设正实数，，满足，则下列结论正确的是（ ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12．已知函数，若，则________． 13．函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则________． 14．定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图像所有交点的横坐标之和为________． 四、解答题：（本题共5大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15．（13分）已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，且，求的值． 16．（15分）如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，．求到平面的距离． 17．（15分）已知函数对任意，，总有，且当时，，． （1）先求的值，然后判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明； （3）求函数在上的最小值． 18．（17分）已知函数． （1）若为锐角，，求的值； （2）在中，若，，是的中点，且，求的面积； （3）若对于任意，恒成立，求的取值范围． 19．（17分）如图，在半径为6、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． （1）若为的中点，证明：不是弧的中点； （2）求周长的最大值； （3）作，垂足为，求四边形面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季第一次月考高三年段数学科试卷参考答案 一、单选题每题5分，共40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D B B D B C 二、多选题每题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9 10 11 ABC ACD ABD 12．或 13． 14．4 15．【解析】（1）由， 根据正弦定理得，，则， 在中，，则，又，则 （2）由，为的中点，则， 在中，由余弦定理得，则，解得， 在中，由余弦定理得，则． 16．【详解】（1）证明：连接，因为四边形为矩形， 所以点为的中点，又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）法一：由题意，可以点为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 又，则在法向量上的投影长度为，故到平面的距离为． 法二：由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 在中，，， 由平面，平面，故， 由底面为矩形，则，又，、平面， 故平面，又平面，故， 则， ，则， 故， 由，， 设到平面的距离为，，解得， 故到平面的距离为． 17．【详解】（1）由已知， 令，得，所以． 函数是奇函数． 证：令，得， 所以，即，故是奇函数． （2）是上的减函数，证明如下： 设，是任意的两个实数，且，则， 因为时，，所以， 所以， 所以．所以是上的减函数． （3）由（2）可知是上的减函数，所以在上也是减函数， 所以在上的最小值为，而 所以函数在上的最小值为． 18．【详解】（1） 由，得． 因为为锐角，，则，所以． 所以．故． （2）由（1）知，，所以， 又，所以，所以，解得． 又，则 ， 设，，则，即． 由余弦定理得，，即． 两式联立可得． 所以． （3），， 原不等式可化为对任意恒成立． 因为，所以， 则不等式可化为对任意恒成立，即即可． 令，则． 又，则，，所以．所以． 所以的取值范围为． 19．【详解】（1）证明：已知扇形半径，，，故． 设，则，在中由正弦定理， 代入得． 若为中点，则，得． 若是弧中点，则，此时，矛盾． 因此不是弧的中点． （2）由正弦定理得，周长， 代入得， 化简，， 故，的最大值为1（当时取到）． 因此周长最大值为． （3）设，，，故，，．四边形为直角梯形， 由梯形面积公式得， 化简得， 利用三角恒等变换， 由辅助角公式得的最大值为， 因此面积最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $