精品解析：福建厦门海沧实验中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

厦门海沧实验中学2026-2027学年高三10月阶段检测数学卷 学校：______________姓名：______________姓名：______________考号：______________ 一、单选题 1. 设全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的三边长分别为，且面积，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 设三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA＝90°，BC＝CA＝2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 8. 如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若命题，则的否定为： B. 若，则 C. D. “”是“”的必要不充分条件 10. 已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（    ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 该图象对应的函数解析式为 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 存在点P，使得 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 三、填空题 12. 若函数，则________． 13. 已知，，则______________． 14. 在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 四、解答题 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）当 时，求的值域． 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最值． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点. （1）求证：平面BDE； （2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值； （3）在棱PB上是否存在点F，使得平面DEF？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门海沧实验中学2026-2027学年高三10月阶段检测数学卷 学校：______________姓名：______________姓名：______________考号：______________ 一、单选题 1. 设全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集与补集的定义求解即可. 【详解】由补集的定义可知， 由交集的定义可知 2. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】设圆锥的高为，则，解得． 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，，则. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ， ， 所以函数  为奇函数， 其图象关于原点对称，故排除选项C； 当时，，， 所以， 即轴右侧的图象应在轴上方，故排除选项B； 当时，， 当 时，， 排除选项A，选项D符合题意. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 6. 已知的三边长分别为，且面积，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用余弦定理和三角形面积公式，结合已知等量关系列方程得，即可得. 【详解】由，且，又， 所以，得，即， 因为，则. 7. 设三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA＝90°，BC＝CA＝2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把三棱柱补成长方体，利用长方体与三棱柱有同一个外接球，即可得到结果. 【详解】解：由已知，若三棱柱的所有顶点都在球面上，则由两个全等的三棱柱构成的长方体的8个顶点也在球面上 ∵∠BCA＝90°，BC＝CA＝2， ∴AB＝2，且为截面圆的直径； 又三棱柱外接球的体积为， ∴π•R3， 解得外接球的半径为R＝2； ∴CC12； 由余弦定理可知，直线B1C与直线AC1所成的余弦值为. 故选B 【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算问题，考查补体思想，考查空间想象能力，属于中档题. 8. 如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点为，求出切线方程，再将点代入，转化为和的图象有三个交点，利用导函数可求. 【详解】设切点为，因为，所以， 则切线方程为，即， 将代入得， 因为切线恰有三条，所以方程有三个根， 则和的图象有三个交点， 因为，所以当或时，单调递减； 当时，单调递增； 则，即， 则实数的取值范围为 二、多选题 9. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若命题，则的否定为： B. 若，则 C. D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定可判断A；根据不等式的性质可判断B；利用二次函数的值域即可判断C；由命题所含范围的包含关系即可推断D. 【详解】对于A，若命题，则的否定为：，故A正确； 对于B，若，则，即，故B错误； 对于C，因为， 所以为真命题，故C正确； 对于D，因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 10. 已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（    ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 该图象对应的函数解析式为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由函数的图象依次求出，即得函数的解析式，再根据正弦函数的图象对称性与单调性逐一代入计算判断即得. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，则， 图象经过点，则得，因，则， 故函数的解析式为，故D正确； 对于A，当时，，因函数在上先减后增，故A错误； 对于B，因为函数的最小值，故B正确； 对于C，因，故C正确； 故选：BCD. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 存在点P，使得 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出正方体外接球半径计算判断A；利用空间位置的向量证明判断B；求出轨迹并求出其长度判断C；利用线线角的向量法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图： 则，设， 对于A，正方体的外接球半径，表面积，A正确； 对于B，，当P与B重合时，，，则，B正确； 对于C，，，由，得， 即，点P运动的轨迹为线段，其长度为，C错误； 对于D，，由，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号，D正确. 三、填空题 12. 若函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数与指数运算结合分段函数的性质计算即可. 【详解】易知，所以. 13. 已知，，则______________． 【答案】 【解析】 【详解】，，则. . 14. 在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，设，由角平分线的性质可得，在中，由余弦定理可求得. 【详解】因为的角平分线交于D，所以， 设，又因为，所以， 又因为，设，则，解得， 在中，由余弦定理可得. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）当 时，求的值域． 【答案】（1）最小正周期 ，单调递增区间为 ； （2）值域为 ． 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果； （2）根据可得，结合正弦函数性质，即可求得结果. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期 ． 由 解得 ， 即单调递增区间为 ． 【小问2详解】 当 时，． 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为， 所以 的值域为 ． 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最值． 【答案】（1）单调增区间为，，单调减区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由导数与单调性的关系求解， （2）比较极值与端点处函数值后求解 【小问1详解】 由题意得， 令，得或，令，得， 故的单调增区间为，，单调减区间为， 【小问2详解】 由（1）得在上单调递增，在上单调递减， 有极大值，极小值， 而，， 故最大值为，最小值为 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 可得，即， 在中，可得，得到， 又因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 解得，由余弦定理得， 化简得，而，， 故的周长为 18. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点. （1）求证：平面BDE； （2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值； （3）在棱PB上是否存在点F，使得平面DEF？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 以为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则， 所以， 设平面BDE的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面BDE的一个法向量为， 所以，所以。 又平面，所以平面BDE； （2） （3）在棱上存在点，使得平面，此时 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据直线所在的向量与平面的法向量相互垂直，并且直线不在平面内可得直线与平面平行. （2）分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算计算出两个向量的夹角，进而得到平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值. （3）假设存在点F，则直线PB所在的向量与平面DEF的法向量平行，根据这个条件可得到一个方程，再根据有关知识判断方程的解的情况. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为侧棱底面ABCD，底面ABCD，所以， 又因为底面ABCD是正方形，所以， 又，平面，所以平面， 所以是平面的一个法向量. 由（1）知是平面的一个法向量. 设平面BDE与平面DEC的夹角为， 所以， 所以平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为， 所以，所以， 假设棱上存在点，使平面， 设， 则，， 由， 所以，解得， 即在棱上存在点，使得平面，此时. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）分及进行讨论即可得； （3）法一：由可得，再构造函数，利用导数结合隐零点求出其最小值即可得；法二：由可得，令，则，构造函数，利用导数求出其最小值即可得. 【小问1详解】 当时，，则， ，则切线斜率为， 又，则切点为， 所以，切线方程为； 【小问2详解】 定义域为，， 当时，恒成立，故在上单调递减， 当时，令得，当得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 法一：由得， 即，令， ，令， 则在上单调递增，即在上单调递增， 又，， 存在，使，得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故，所以. 法二：由得， 即，令，， 原不等式可变成，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的最小值为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $