第2章 有理数的运算 单元测试 2026-2027学年人教版七年级上册数学

第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 考试时间：60 分钟；满分：100 分 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1 ．（3 分）在有理数 中，负数有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 2 ．（3 分）下列各组的两个量，不具有相反意义的量的是 ( ) A ．买进 20 棵树苗与买进 10 棵树苗 B ．盈利 50 元与亏损40 元 C ．一辆出租车向北行驶 24 米与向南行驶 15 米 D ．气温升高 3℃与气温降低 5℃ 3 ．（3 分）在数轴上，位于 -2 和 2 之间的点表示的有理数有 ( ) A ．5 个 B ．4 个 C ．3 个 D ．无数个 4 ．（3 分）如图，一条数轴上有点A 、B 、C，其中点A 、B 表示的数分别是—14 ，10 ，现以点 C 为折点，将数轴向右对折，若点 A 落在射线CB上且到点 B 的距离为 6，则 C 点表示的数是 ( ) A ．1 B ．—3 C ．1 或—5 D ．1 或—4 5 ．（3 分）如图，四个数 m，n，p ，q 在数轴上对应的点分别为 M，N，P ，Q ，若n + q = 0 ，则下 列说法正确的是 ( ) A ．p + m > 0 B ．mn < 0 C ．m — p < 0 D ． p < q 6 ．（3 分）已知数轴上A ，B两点对应的数分别为—3 ，—6，若在数轴上找一点C ，使得点A ，C之间 的距离为 5；再在数轴找一点D，使得点B，D之间的距离为 1，则C，D两点间的距离可能为 ( ( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 已知abc<0 ，a + b + c > 0 且 则x 的值为 ( ) A ．0 B ．0 或 1 C ．0 或—2 或 1 D ．0 或 1 或—6 8 ．（3 分）一根 1 米长的绳子，第一次剪去它的三分之一，如此剪下去，第五次后剩下的绳子的 长度为 ( ) A ．()4 米 B ．米 C ．(6米 D ．(10米 9 ．（3 分）如图，在探究“幻方 ”、“幻圆 ”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅 力．一个小组尝试将数字一5, 一 4, 一 3, 一 2, 一 1,0,1,2,3,4,5,6 这 12 个数填入“六角幻星 ”图中，使 6 条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a 的值为 ( ) A ．一4 B ．一3 C ．3 D ．4 10 ．（3 分）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以 3 加上 1 ，若它是偶数，则除以 2 ．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入 的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到 1 ．例如：如图所示，输入自然数 5 ，最少经 过 5 次运算后可得到 1 ．如果一个自然数 a 恰好经过 7 次运算后得到 1 ，则所有符合条件的 a 的值 有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11 ．（3 分）把 47078 精确到十位可表示为__________ 12 ．（3 分）一般情况下，海拔每上升 1 千米，气温下降约 6℃一座山海拔高度为 2 千米，如果小 明在山脚下测得的气温是 5℃ , 那么小明乘缆车到山项后测得的气温约是__________℃ . 13 ．（3 分）若a > 0 ，b < 0 ，且a + b < 0 ，把a、一a、b、一b、0 按从大到小的顺序进行排列可以 排列为_______________． 14 ．（3 分）将 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，… , 37 这 37 个连续整数不重不漏地填入 37 个空格中．要求：从 左至右，第 1 个数是第 2 个数的倍数，第 1 个数与第 2 个数之和是第 3 个数的倍数，第 1 ，2 ，3 个数之和是第 4 个数的倍数， … , 前 36 个数的和是第 37 个数的倍数．若第 1 个空格填入 37 ，则 第 2 个空格所填入的数为__________ ，第 37 个空格所填入的数为__________． 37 15．（3 分）用n!表示 1 × 2 × 3 × … × n，例 1995！=1 × 2 × 3 × … × 1995，那么 1! + 2! + 3! + … + 2020! 的个位数字是__________． 16 ．（3 分）如图，已知 O 为数轴原点，A，B ，C 是数轴上三点，它们表示的数分别是 4 ，10 ，-20，动点 P 从点 C 出发，以每秒 6 个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位的速度沿数轴的正方向运动，M 为 AP 的中点，点 N 在 BQ 上，且QN BQ ，R 为 PQ 的中点，设运动时间为 t 秒（t>0），当满足 2MO＋2RO=NO 时，t=__________秒. 三．解答题（共 7 小题，满分 52 分） 17 ．（6 分）计算： (1)-12023 × 2 - -24 ÷ 4 + -3 ． (2)13 - 6 ÷ -2 + 4 × -3 ． 18 ．（6 分）把下列各数分别填入相应的集合里． -4 ， - - ，0， ， -3.14 ，2006 ， -（+5）， +1.88． （1）正有理数集合：{___________________ … }； （2）负有理数集合：{__________________ … }； （3）非负整数集合：{___________________ … }； （4）正分数集合：{____________________ … }． 19 ．（8 分）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车 100 辆，但由于种种原因，实际每天 的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） +4 -3 +14 -5 -8 +21 -6 (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得 40 元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖 15 元；若未完成计划，则少销售一辆扣20 元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 20 ．（8 分）阅读材料：求 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22013的值． 解：设S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22012 + 22013 ，将等式两边同时乘 2 得： 2S = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + … + 22013 + 22014 将下式减去上式得 2S 一 S = 22014 一 1 即S = 22014 一 1 即 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22013 = 22014 一 1 请你仿照此法计算： (1)1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22024 (2)1 + 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3n（其中n为正整数）． 21 ．（8 分）【阅读与实践】 材料 1：点A，B 在数轴上对应的数分别为 a，b，我们把数轴上 A，B 两点之间的距离AB表示为 a 一 b ． 材料 2：数轴上的两点A，B 对应的数分别为 a，b，我们把点A 与表示数b 的相反数的点之间的距 离称为 A ，B 两点之间的“反距离 ”，记作 a 一 一b ． 阅读材料 1 ，2 ，回答下列问题： (1)数轴上表示一10 和5 的两点之间的距离是______；数轴上表示 15 和6 的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示 a 和一3 的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数 9 和一4 的两点之间的反距离是______ ，数轴上表示一2 和 6 的两点之间的反距离 是______； (4)数轴上表示数 a 和一7 两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为 m ，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为 2024 ，则 m 的值为______ 22 ．（8 分）定义：对于任意的有理数 a，b(a ≠ b) ，a ⊕ b (1)探究性质： ①例：3 ⊕ 2 =_________ ；2 ⊕ 3 =_________ ；-3 ⊕ 2 =_________ ；-3 ⊕ -2 =________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含 a，b 的式子表示出a ⊕ b的一般规律； (2)性质应用： ①运用发现的规律求【(-92.5) ⊕ 16.33】 ⊕ 【(-33.8 ⊕ -4) 】的值； ②将-11 ，-10 ，-9 ，-8… … ，7 ，8 这 20 个连续的整数，任意分为 10 组，每组两个数，现将每 组的两个数中任一数值记作 a，另一个记作b，求出a ⊕ b ，10 组数代入后可求得 10 个a ⊕ b的值， 则这 10 个值的和的最小值是__________． 23 ．（8 分）如图，在数轴上点A表示数a ，点B表示数b ，且a, b满足 a - 7 + b - 28)2 = 0． (1)a =______ ，b =______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数 轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合：若将木棒沿数轴向左水平移 动，则当它的右端移动到C点时，则它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示 1cm ．则 ①由此可得到木棒长为______cm； ②图中C点表示的数是______ ，D点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴 ”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去 问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要 39 年才 出生，你若是我现在这么大，我已经 117 岁，是老寿星了，哈哈！ ”请求出爷爷现在多少岁． 第 2 章 有理数的运算 提升卷（学生版） 第 5 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 考试时间：60 分钟；满分：100 分 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1 ．（3 分）在有理数 中，负数有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】C 【分析】根据小于零的数是负数，可得答案． 【详解】解：在有理数-2,0,1, - , - 0.7,2.5 中，是负数的是-2 ，- ，-0.7 ，故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握小于零的数是负数． 2 ．（3 分）下列各组的两个量，不具有相反意义的量的是 ( ) A ．买进 20 棵树苗与买进 10 棵树苗 B ．盈利 50 元与亏损40 元 C ．一辆出租车向北行驶 24 米与向南行驶 15 米 D ．气温升高 3℃与气温降低 5℃ 【答案】A 【详解】A 选项中，“买进 20 棵树苗 ”和“买进 10 棵树苗 ”的意义是相同的，因此可以选 A； B 选项中，“盈利50 元 ”和“亏损40 元 ”的意义是相反的，因此不能选B； C 选项中，“ 向北行驶 24 米 ”和“ 向南行驶 15 米 ”的意义是相反的，因此不能选C； D 选项中，“气温升高 3℃ ”和“气温降低 5℃ ”的意义是相反的，因此不能选D；故选 A. 3 ．（3 分）在数轴上，位于 -2 和 2 之间的点表示的有理数有 ( ) A ．5 个 B ．4 个 C ．3 个 D ．无数个 【答案】D 【分析】根据有理数的定义解答问题即可． 【详解】解： ∵有理数包括整数和分数， ∴在 -2 和 2 之间的有理数有无数个，如 -1 ，0 ，1，，等等．故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的定义，能够掌握有理数所指的数的范围是解答问题的关键． 4 ．（3 分）如图，一条数轴上有点A 、B 、C，其中点A 、B 表示的数分别是-14 ，10 ，现以点 C 为折点，将数轴向右对折，若点 A 落在射线CB上且到点 B 的距离为 6，则 C 点表示的数是 ( ) A ．1 B ．-3 C ．1 或-5 D ．1 或-4 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 6 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A 落在对 应点表示的数，在利用中点公式求出 C 点表示的数． 【详解】设A '是点A的对应点，由题意可知点C是A和A ' 的中点 当点A在B的右侧，BA ' = 6 ，A '表示的数为 10 + 6 = 16， 那么 C 表示的数为：( - 14 + 16) ÷ 2 = 1， 当点A在B的左侧，BA ' = 6 ，A '表示的数为 10 - 6 = 4， 那么 C 表示的数为：( - 14 + 4) ÷ 2 =- 5 ，故选：C． 5 ．（3 分）如图，四个数 m，n，p ，q 在数轴上对应的点分别为 M，N，P ，Q ，若n + q = 0 ，则下 列说法正确的是 ( ) A ．p + m > 0 B ．mn < 0 C ．m - p < 0 D ． p < q 【答案】B 【分析】根据n + q = 0 可以得到 n、q 的关系，从而可以判定原点的位置，然后观察数轴得出p < n < 0 < m < q ， p > m ， p > q ，即可解答． 【详解】解： ∵n + q = 0， ∴n 和 q 互为相反数，O 在线段NQ的中点处， 如图， ∴p < n < 0 < m < q ， p > m ， p > q ， ∴p + m < 0 ，mn < 0 ，m - p > 0 ， p > q ，故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 6 ．（3 分）已知数轴上A ，B两点对应的数分别为-3 ，-6，若在数轴上找一点C ，使得点A ，C之间 的距离为 5；再在数轴找一点D，使得点B，D之间的距离为 1，则C，D两点间的距离可能为 ( ( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等 知识点，重点掌握求数轴上两点之间的距离的方法，易错点就是求点对应的数时不重不漏．由数轴 上两点的距离等于两点对应数差的绝对值求出距离为 1 、3 、7 、9 ，符合题意的为 C 答案． 【详解】解：”点A ，C之间的距离为 5 ，A点对应的数为-3， :点C对应的数为 2 或-8， 又” B点对应的数-6，点B ，D之间的距离为 1， :点D对应的数为-5 或-7， 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 7 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 : CD = 7 或 9 或 3 或 1 ，故选：C 已知abc<0 ，a + b + c > 0 且 则x 的值为 ( ) A ．0 B ．0 或 1 C ．0 或-2 或 1 D ．0 或 1 或-6 【答案】A 【分析】由abc < 0 ，a + b + c > 0 ，可得a 、b 、c三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于 负因数的绝对值，由此可得a、b、c的符号有三种情况（a < 0，b > 0，c > 0 或a > 0，b < 0，c > 0 或a > 0 ，b > 0 ，c < 0），再根据绝对值的性质分三种情况求得x 的值即可解答． 【详解】 ∵abc < 0 ，a + b + c > 0， ∴a 、b 、c三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴a < 0 ，b > 0 ，c > 0 或a > 0 ，b < 0 ，c > 0 或a > 0 ，b > 0 ，c < 0， 当a < 0 ，b > 0 ，c > 0 时，ab < 0 ，ac < 0 ，bc > 0， ∴x + + + + + + + + + + =- 1 + 1 + 1 - 1 - 1 + 1 = 0； 当a > 0 ，b < 0 ，c > 0 时，ab < 0 ，ac > 0 ，bc < 0， ∴x + + + + + + + + + + =- 1 + 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 0； 当a > 0 ，b > 0 ，c < 0 时，ab > 0 ，ac < 0 ，bc < 0， ∴x + + + + + + + + + + = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 - 1 = 0 ． 综上，当abc < 0 ，a + b + c > 0 时， x + + + + + 0 ．故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到a、b、c的符号有三种情况（a < 0， b > 0 ，c > 0 或a > 0 ，b < 0 ，c > 0 或a > 0 ，b > 0 ，c < 0）是解决问题的关键． 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 8 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 8 ．（3 分）一根 1 米长的绳子，第一次剪去它的三分之一，如此剪下去，第五次后剩下的绳子的 长度为 ( ) A ．()4 米 B ．米 C ．米 D ．米 【答案】B 【分析】将每次剩下的长度依次表示出来得到规律，即可得到此题答案. 【详解】第一次剪后剩下的绳子的长度为（ ）m， 第二次剪后剩下的绳子的长度为（ ）2m， 第三次剪后剩下的绳子的长度为（ ）3m， 第四次剪后剩下的绳子的长度为（ ）4m， 第五次剪后剩下的绳子的长度为（ ）5m ．故选：B． 【点睛】此题考查有理数的乘方，正确理解题意将每次剩下的长度依次表示出来是解题的关键，由 此发现规律得到第五次后剩下的绳子的长度. 9 ．（3 分）如图，在探究“幻方 ”、“幻圆 ”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅 力．一个小组尝试将数字-5, - 4, - 3, - 2, - 1,0,1,2,3,4,5,6 这 12 个数填入“六角幻星 ”图中，使 6 条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a 的值为 ( ) A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．4 【答案】B 【分析】共有 12 个数，每一条边上 4 个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 12 个数共加了两遍后和为 12，所以每条边的和为 2，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可 得到结果． 【详解】解：因为共有 12 个数，每一条边上 4 个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两 遍，这 12 个数共加了两遍后和为 12 ，所以每条边的和为 2， 所以-5, - 1,5 这一行最后一个圆圈数字应填 3， 则a所在的横着的一行最后一个圈为 3， -2, - 1,1 这一行第二个圆圈数字应填 4， 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 9 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 目前数字就剩下-4, - 3,0,6， 1,5 这一行剩下的两个圆圈数字和应为-4 ，则取-4, - 3,0,6 中的-4,0 ， -2,2 这一行剩下的两个圆圈数字和应为 2 ，则取-4, - 3,0,6 中的-4,6， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填-4， 所以 1,5 这一行第三个圆圈数字应为 0， 则a所在的横行，剩余 3 个圆圈里分别为 2,0,3 ，要使和为 2 ，则a为-3；故选：B 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 10 ．（3 分）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以 3 加上 1 ，若它是偶数，则除以 2 ．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入 的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到 1 ．例如：如图所示，输入自然数 5 ，最少经 过 5 次运算后可得到 1 ．如果一个自然数 a 恰好经过 7 次运算后得到 1 ，则所有符合条件的 a 的值 有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】D 【分析】首先根据题意，应用逆推法，用 1 乘以 2 ，得到2；用 2 乘以 2 ，得到4；用 4 乘以 2 ，得 到 8 ；用 8 乘以 2 ，得到 16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的 a 的值为多少即可． 【详解】解：根据分析，可得 则所有符合条件的 a 的值为：128 、21 、20 、3 ．故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正 确的应用规律． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11 ．（3 分）把 47078 精确到十位可表示为__________ 【答案】4.708 × 104 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 10 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据精确到某一位，即对下一位的数字进行四舍五入直接进行判断． 【详解】解：47078 的个位数字是 8， ∴47078 精确到十位可表示为 4.708 × 104 ，故答案为：4.708 × 104． 【点睛】本题考查了近似数的求法，精确到某一位，即对下一位的数字进行四舍五． 12 ．（3 分）一般情况下，海拔每上升 1 千米，气温下降约 6℃一座山海拔高度为 2 千米，如果小 明在山脚下测得的气温是 5℃ , 那么小明乘缆车到山项后测得的气温约是__________℃ . 【答案】-7 【分析】根据有理数加减混合运算计算即可，本题考查了有理数加减乘法混合运算，，熟练掌握运 算法则是解题的关键． 【详解】根据题意，得 5 + -6 × 2 =- 7 ℃ , 故答案为：-7． 13 ．（3 分）若a > 0 ，b < 0 ，且a + b < 0 ，把a 、-a 、b 、-b 、0 按从大到小的顺序进行排列可以 排列为_______________． 【答案】-b > a > 0 >- a > b 【分析】由a > 0 ，b < 0 ，利用相反数得-b > 0 ，-a < 0 ，由a + b < 0 ，说明在数轴上b到零点的距 离大于a到零点的距离，可知数轴上a在零到-b之间，-a在b 到零之间，所以-b > a > 0，0 >- a > b， 整理从大到小的顺序即可． 【详解】解： ∵ a > 0 ，b < 0， ∴-b > 0 ，-a < 0， ∵a + b < 0， ∴数轴上b到零点的距离大于a到零点的距离， ∴数轴上a在零与-b之间，-a在 b 与零之间， -b > a > 0 ，0 >- a > b， 则：-b > a > 0 >- a > b ，故答案为：-b > a > 0 >- a > b． 【点睛】本题考查了实数的大小排序，相反数，正数、零、负数在数轴上的位置关系，判断出数轴 上b到零点的距离大于a到零点的距离是解决本题的关键． 14 ．（3 分）将 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，… , 37 这 37 个连续整数不重不漏地填入 37 个空格中．要求：从 左至右，第 1 个数是第 2 个数的倍数，第 1 个数与第 2 个数之和是第 3 个数的倍数，第 1 ，2 ，3 个数之和是第 4 个数的倍数， … , 前 36 个数的和是第 37 个数的倍数．若第 1 个空格填入 37 ，则 第 2 个空格所填入的数为__________ ，第 37 个空格所填入的数为__________． 37 【答案】 1 19 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 11 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第 1 个 数是第 2 个数的倍数可得第 2 个空格所填入的数；先得出这 37 个数的和也是第 37 个数的倍数，再 求出这 37 个数的和，由此即可得． 【详解】解： ∵第 1 个空格填入 37 ，第 1 个数是第 2 个数的倍数， ∴第 2 个空格所填入的数为 1， ∵前 36 个数的和是第 37 个数的倍数， ∴这 37 个数的和也是第 37 个数的倍数， 又∵1 + 2 + 3 + … + 37 = (1 + 37 + 2 + 36) + … + (18 + 20) + 19 = 38 × 18 + 19 = 703 = 37 × 19， ∴第 37 个空格所填入的数为 19 ，故答案为：1 ，19． 15．（3 分）用n!表示 1 × 2 × 3 × … × n，例 1995！=1 × 2 × 3 × … × 1995，那么 1! + 2! + 3! + … + 2020! 的个位数字是__________． 【答案】3 【分析】先分别求出 1! ，2! ，3! ，4! ，5! ，6!的值，再归纳类推出规律，由此即可得． 【详解】1! = 1， 2! = 1 × 2 = 2， 3! = 1 × 2 × 3 = 6， 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24， 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120， 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 5! × 6 = 720， 由此可知，5!, 6!, …, n!的个位数字都是 0（其中，n ≥ 5 且为整数）， 则 1! + 2! + 3! + … + 2020!的个位数字与 1! + 2! + 3! + 4!的个位数字相同， 因为 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 ，其个位数字是 3， 所以 1! + 2! + 3! + … + 2020!的个位数字是 3 ，故答案为：3． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键． 16 ．（3 分）如图，已知 O 为数轴原点，A，B ，C 是数轴上三点，它们表示的数分别是 4 ，10 ， - 20，动点 P 从点 C 出发，以每秒 6 个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点 Q 从点 B 出发，以 每秒 3 个单位的速度沿数轴的正方向运动，M 为 AP 的中点，点 N 在 BQ 上，且QN BQ ，R 为 PQ 的中点，设运动时间为 t 秒（t>0），当满足 2MO＋2RO=NO 时，t=__________秒. 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 12 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】t= 1s 或 2s． 【分析】根据题意可得点 P 在数轴上表示的数为-20+6t ，点 Q 在数轴上表示的数为 10+3t ，点 M 在 数轴上所表示的数为 一 8，点 N 在数轴上所表示的数为 根据 2MO +2RO=NO 把问题转化为绝对值方程解决即可. 【详解】由题意可得：点 P 在数轴上表示的数为-20+6t ，点 Q 在数轴上表示的数为 10+3t ，点 M 在 数轴上所表示的数为(一202 (+)6t)+4 = 3t 一 8 ，点 N 在数轴上所表示的数为 10+ 3t×（1-）= 10+t， ∴MO = 3t 一 8 ， ∵2MO＋2RO=NO ， ∴2 即 2 3t 一 8 + 9t 一 10 = 10 + t， ①当 0＜t≤时，2(8 一 3t) + (10 一 9t) = 10 + t ，解得 t= 1， ②当＜t≤时，2(8 一 3t) + (9t 一 10) = 10 + t ，解得 t=2， ③当 t＞时，2(3t 一 8) + (9t 一 10) = 10 + t，解得 t(舍)；综上所述，t= 1s 或 2s． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值、两点间距离等知识，解题的关键是理解题 意，学会构建绝对值方程解决问题． 三．解答题（共 7 小题，满分 52 分） 17 ．（6 分）计算：(1)一12023 × 2 一 一24 ÷ 4 + 一3 ． (2)13 一 6 ÷ 一2 + 4 × 一3 ． 【答案】(1)一3；(2)4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握各运算法则，按照运算顺序进行计算是关键； （1）先计算乘方与绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可； （2）先计算乘除，再计算加减即可． 【详解】（1）解：一12023 × 2 一 一24 ÷ 4 + 一3 =一 1 × 2 一 16 ÷ 4 + 3 =一 2 一 4 + 3 =一 3； （2）解：13 一 6 ÷ 一2 + 4 × 一3 = 13 + 3 一 12 = 4． 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 13 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 18 ．（6 分）把下列各数分别填入相应的集合里． -4 ， - - ，0， ， -3.14 ，2006 ， -（+5）， +1.88． （1）正有理数集合：{_____ … } ； （2）负有理数集合：{_____ … }； （3）非负整数集合：{_____ … } ； （4）正分数集合：{_____ … }． 【答案】见解析 【分析】根据正有理数的定义，负有理数的定义，非负整数的定义，正分数的定义即可求解． 【详解】解：（1）正有理数集合：{ ，2006 ，+1.88… }； （2）负有理数集合：{ -4 ， - - ， -3.14 ， -（+5） … }； （3）非负整数集合：{ 0 ，2006… }； （4）正分数集合：{ ，+1.88… }． 【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非 负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数． 19 ．（8 分）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车 100 辆，但由于种种原因，实际每天 的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） +4 -3 +14 -5 -8 +21 -6 (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得 40 元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖 15 元；若未完成计划，则少销售一辆扣20 元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)315；29；(2)本周实际销售总量达到了计划量 (3)该店铺的销售人员这一周的工资总额是 28825 元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． 【详解】（1）解：本周前三天销售儿童滑板车：(+4 - 3 + 14) + 100 × 3 = 315（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： 21 - (-8) = 29（辆）；故答案为：315；29． 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 14 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：100 × 7 + (+4 - 3 + 14 - 5 - 8 + 21 - 6) = 717， ∵ 717 > 700 ∴本周实际销售总量达到了计划量． （3）解：(4 - 3 + 14 - 5 - 8 + 21 - 6 + 100 × 7) × 40 + (4 + 14 + 21) × 15 + (-3 - 5 - 8 - 6) × 20 = 717 × 40 + 39 × 15 - 22 × 20 = 28680 + 585 - 440 = 28825（元），答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是 28825 元． 20 ．（8 分）阅读材料：求 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22013的值． 解：设S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22012 + 22013 ，将等式两边同时乘 2 得： 2S = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + … + 22013 + 22014 将下式减去上式得 2S - S = 22014 - 1 即S = 22014 - 1 即 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22013 = 22014 - 1 请你仿照此法计算： (1)1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22024 (2)1 + 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3n（其中n为正整数）． 【答案】(1)22025 - 1 ；(2) 3n+1 - 1) 【分析】本题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关 键． （1）设S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22024，两边乘以 2 后得到关系式，与已知等式相减，变形即可 求出所求式子的值； （2）设S = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3n，两边乘以 3 后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求 出所求式子的值． 【详解】（1）解：设S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22024， 将等式两边同时乘 2 得：2S = 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22024 + 22025， 将下式减去上式得：2S - S = 22025 - 1 ，即S = 22025 - 1， 则 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22024 = 22025 - 1； （2）解：设S = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3n ① , 两边同时乘 3 得：3S = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3n + 3n+1② , ②-①得：3S - S = 3n+1 - 1 ，即 2S = 3n+1 - 1 ，则S 3n+1 - 1) 则 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3n 3n+1 - 1)． 21 ．（8 分）【阅读与实践】 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 15 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 材料 1：点A，B 在数轴上对应的数分别为 a，b，我们把数轴上 A，B 两点之间的距离AB表示为 a - b ． 材料 2：数轴上的两点A，B 对应的数分别为 a，b，我们把点A 与表示数b 的相反数的点之间的距 离称为 A ，B 两点之间的“反距离 ”，记作 a - -b ． 阅读材料 1 ，2 ，回答下列问题： (1)数轴上表示-10 和5 的两点之间的距离是______；数轴上表示 15 和6 的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示 a 和-3 的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数 9 和-4 的两点之间的反距离是______ ，数轴上表示-2 和 6 的两点之间的反距离 是______； (4)数轴上表示数 a 和-7 两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为 m ，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为 2024 ，则 m 的值为______． 【答案】(1)15 ，9；(2) a + 3 ；(3)5 、4；(4) a - 7 ；(5)-2025 或 2023 【分析】本题考查的是数轴，相反数，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离； （1）用数轴上两点间的距离计算即可； （2）用数轴上两点间的距离计算即可； （3）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （4）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （5）求出最小的正整数 1 ，求出与 1 距离 2022 的点，然后求相反数即可． 【详解】（1）解：（1） -10 - 5 = 15 ， 15 - 6 = 9；故答案为：15 ，9； （2）解： a - ( - 3) = a + 3 ；故答案为： a + 3 ； （3）解：”- ( - 4) = 4， :数轴上表示数 9 和-4 的两点之间的反距离是9 - 4 = 5， ”6 的相反数是-6， :数轴上表示-2 和 6 的两点之问的反距离是-2 - ( - 6) = 4；故答案为：5 、4； （4）解：”- ( - 7) = 7， :数 a 和-7 两点之间的反距离是 a - 7 ，故答案为： a - 7 ； （5）解：”最小的正整数是 1， 则与 1 距离是 2024 的点表示的数为：1 + 2024 = 2025 或 1 - 2024 =- 2023， ”2025 的相反数是-2025 ，-2023 的相反数是 2023， : m =- 2025 或 2023 ．故答案为：-2025 或 2023． 22 ．（8 分）定义：对于任意的有理数 a，b(a ≠ b) ，a 田 b 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 16 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 (1)探究性质： ①例：3 ⊕ 2 =_________ ；2 ⊕ 3 =_________ ；—3 ⊕ 2 =_________ ；—3 ⊕ —2 =________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含 a，b 的式子表示出a ⊕ b的一般规律； (2)性质应用： ①运用发现的规律求【(—92.5) ⊕ 16.33】 ⊕ 【(—33.8 ⊕ —4) 】的值； ②将—11 ，—10 ，—9 ，—8… … ，7 ，8 这 20 个连续的整数，任意分为 10 组，每组两个数，现将每 组的两个数中任一数值记作 a，另一个记作b，求出a ⊕ b ，10 组数代入后可求得 10 个a ⊕ b的值， 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 17 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 则这 10 个值的和的最小值是 ． ( > b > a )【答案】(1)①3 ，3 ，2 ，—2；②见解析，一般规律为a ⊕ b = b (a),, b (a) ；(2)①16.33；②—10 【分析】（1）①根据定义a ⊕ b a — b| + a + b), a ≠ b即可求解；②举例 3 ⊕ —2 , —2 ⊕ —3)， 通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解；②不妨设a > b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a， 由此即可解决问题． 【详解】（1）解：①“ a ⊕ b a — b| + a + b), a ≠ b， : 3 ⊕ 2 (3 — 2 + 3 + 2) = 3， 2 ⊕ 3 2 — 3 + 2 + 3) = 3， (—3) ⊕ 2 —3 — 2 — 3 + 2) = 2， (—3) ⊕ —2 —3 + 2 — 3 — 2) = — 2 ，故答案为：3 ，3 ，2 ，—2； ②例如：3 ⊕ —2 (3 + 2 + 3 — 2) = 3， (—2) ⊕ —3 (—2 + 3 — 2 — 3) = — 2， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， ( > b > a )用 a ，b 的式子表示出一般规律为a ⊕ b = b (a),, b (a) ; （2）解：①【(—92.5) ⊕ 16.33】 ⊕ 【(—33.8 ⊕ —4) 】 =16.33 ⊕ —4 =16.33； ②不妨设a > b ，则代数式中绝对值符号可直接去掉， :代数式等于a， a为偶数，b = a — 1 最小值= 一10 + 一8 + 一6 + 一4 + 一2 + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 =一 10 ，故答案为：一10． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化 简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． 23 ．（8 分）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b ，且a, b满足 a 一 7 + b 一 28)2 = 0． (1)a =______ ，b =______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数 轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合：若将木棒沿数轴向左水平移 动，则当它的右端移动到C点时，则它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示 1cm ．则 ①由此可得到木棒长为______cm； ②图中C点表示的数是______ ，D点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴 ”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去 问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要 39 年才 出生，你若是我现在这么大，我已经 117 岁，是老寿星了，哈哈！ ”请求出爷爷现在多少岁． 【答案】(1)7 ，28；(2)①7；②14 ，21；(3)爷爷现在的年龄是 65 岁 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得AC = CD = DB，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看做木棒CD ，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解； 【详解】（1）解：因为 a 一 7 + b 一 28)2 = 0， 所以a 一 7 = 0, b 一 28 = 0， 解得a = 7, b = 28 ．故答案为：7 ，28． （2）解：①由题知，AC = CD = DB， 又因为A点表示的数是 7 ，B点表示的数为 28 ，且AB = 28 一 7 = 21， 所以 21 ÷ 3 = 7， 即木棒的长度为 7cm ．故答案为：7； ②因为 7 + 7 = 14， 所以点C表示的数是 14； 因为 28 一 7 = 21， 所以点D表示的数是 21；故答案为：14 ，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 第 2 章 有理数的运算 提升卷（解析版） 第 18 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 小红现在的年龄对应数轴上的点B ，爷爷现在的年龄对应数轴上的点C， 则当点C移动到点B时，点B移动到了点A；当点B移动到点C时，点C移动到了点D， 所以AB = BC = CD， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要 39 年才出生；你若是我现在这么大，我已经 117 岁，是老寿星了 ”， 所以AB = BC = CD = 117 - -39 ÷ 3 = 52， 且 117 - 52 = 65， 所以爷爷现在的年龄是 65 岁． 第 19 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $