精品解析：江苏省宿迁中学、湖滨高级中学2026-2027学年高一上学期第一次学情调研数学试题

2026-2027学年度第一学期高一年级第一次学情调研 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 4. 已知集合，则满足条件⫋的集合M的个数为 A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 5. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ①②⑤⑥ D. ③④ 6. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 若，，则下列不等式中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 不等式的解集是 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点为_______________. 13. 某校有17名学生，每人至少参加全国数学､物理､化学三科竞赛中的一科，已知其中参加数学竞赛的有11人，参加物理竞赛的有7人，参加化学竞赛的有9人，同时参加数学和物理竞赛的有4人，同时参加数学和化学竞赛的有5人，同时参加物理和化学竞赛的有3人，则三科竞赛都参加的有___________人. 14. 已知集合，，若，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，. （1）求， ； （2）若，求a的取值范围； （3）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 16. 已知集合. （1）若集合，且，求的值； （2）若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围. 17. 已知正数满足. （1）求证：； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 19. 若实数，，满足，则称比接近． （1）判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； （2）若比接近，证明：“”的充要条件是“”； （3）已知，且．设，若对于任意的，，命题“比接近”恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高一年级第一次学情调研 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用含量词的否定命题写法选择正确选项． 【详解】的否定为． 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的并、补运算求结果即可. 【详解】由，则，故. 故选：A 3. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 【答案】B 【解析】 【分析】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案. 【详解】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题； 对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确； 对选项C：，故C为假命题； 对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题. 故选：B 4. 已知集合，则满足条件⫋的集合M的个数为 A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知集合M是集合B的非空子集；集合B中有3个元素，因此非空子集有个 5. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ①②⑤⑥ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可. 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④， 故选：D 6. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过待定系数法将目标式表示为已知两个代数式的组合，再利用不等式性质求解即可.  【详解】设，，则 ， 所以 ，解得，， 因此. 又，，则， 所以 ，即， 故的取值范围是. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 反之，由，得，，则， 因此“”是“”的必要不充分条件. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【详解】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 若，，则下列不等式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出的正负以及的关系，由此可判断各选项的对错. 【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以， 又因为，所以； A．，故正确； B．因为，所以，故正确； C．因为解集为，所以，故错误； D．因为即为，即，解得，故正确； 故选：ABD. 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项分析判断. 【详解】由，得， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，取，则，，B错误； 对于C，， 则，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，得，则， 当且仅当时取等号，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据零点的定义求解一元二次方程即可． 【详解】令，即，解得． 13. 某校有17名学生，每人至少参加全国数学､物理､化学三科竞赛中的一科，已知其中参加数学竞赛的有11人，参加物理竞赛的有7人，参加化学竞赛的有9人，同时参加数学和物理竞赛的有4人，同时参加数学和化学竞赛的有5人，同时参加物理和化学竞赛的有3人，则三科竞赛都参加的有___________人. 【答案】 【解析】 【分析】设参加数学、物理、化学竞赛的学生组成集合、、，根据已知条件结合集合间的运算即可求解. 【详解】 设参加数学竞赛的学生组成集合，参加物理竞赛的学生组成集合，参加化学竞赛的学生组成集合， 根据题意可得：，，，， ，，， 因为 所以 解得：， 所以三科竞赛都参加的有人， 故答案为： 14. 已知集合，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解集合，再结合交集、并集的运算性质确定集合，利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，通过韦达定理求出的值，最终计算. 【详解】解不等式，因式分解得，解得，所以. 因为，，结合可得， 即一元二次不等式的解集为. 由一元二次不等式解集的性质可知，方程的两个实根为，. 根据韦达定理： ，代入根得，解得，. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，. （1）求， ； （2）若，求a的取值范围； （3）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【小问1详解】 已知，， 则有，. 【小问2详解】 若，则有，即a的取值范围为. 【小问3详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 有，即a的取值范围为. 16. 已知集合. （1）若集合，且，求的值； （2）若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围. 【答案】（1）5 （2）﹛或﹜ 【解析】 【分析】（1）利用集合相等的条件求a的值，但要注意验证； （2）由A∩C＝C得C⊆A，再利用集合子集的元素关系求解. 【小问1详解】 由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}， 因为A＝B，所以， 解得， 故a＝5. 【小问2详解】 因为A∩C＝C，所以C⊆A. 当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a； 当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解； 当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0. 综上，a的取值范围为. 17. 已知正数满足. （1）求证：； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以； （2）24 （3）50 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式 “1”的巧用求解最值即可； （2）由可得，利用分式的性质变形结合基本不等式求解最值即可； （3）由，可得，又，从而将所求最值转化为即可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为24； 【小问3详解】 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 又，所以， 则的最小值为50. 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元 （2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米， 设甲工程队报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 19. 若实数，，满足，则称比接近． （1）判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； （2）若比接近，证明：“”的充要条件是“”； （3）已知，且．设，若对于任意的，，命题“比接近”恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）命题：“比接近”是真命题， 理由：，， 而，故，即， 故“比接近”是真命题； （2）因为比接近，故，则，即， 即，即得， 则由可得，故，即，充分性成立； 当时，，结合，得， 即，必要性成立， 故“”的充要条件是“”； （3） 【解析】 【分析】（1）比较与的大小关系即可； （2）由比接近可得，继而证明充分性以及必要性即可； （3）先确定，继而将对于任意的，，命题“比接近”恒成立，转化为对恒成立，即可求解. 【小问1详解】 真命题，理由略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，且．则， 由于对于任意的，，命题“比接近”恒成立， 故对恒成立， 即得，即， 得，即， 由于，故 故对恒成立，即对恒成立， 由于，此时在上单调递增， 故， 故，即实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $