精品解析：上海市浦东中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试卷

浦东中学2026学年高三10月阶段检测数学试卷 一、填空题（本大题共12题，其中1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，集合，则______． 【答案】 【解析】 【详解】即取的公共部分，所以. 2. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】等价于且， 解得为或 故不等式的解集为 3. 已知复数z满足，则复数z虚部为______． 【答案】 【解析】 【详解】由已知，得，得， 因此，故的虚部为. 4. 已知向量，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件和平面向量的数量积的坐标运算列方程求解. 【详解】因为，所以 故答案为： 5. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由二倍角的余弦公式可得. 6. 已知正实数、满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】正实数、满足，则，即， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 7. 若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据偶函数满足对定义域内任意恒成立的性质，列等式求解正实数的值. 【详解】由偶函数定义可知，对任意，均有成立， 因为正实数，整理得： 该式对任意恒成立，故 ，解得. 8. 在的展开式中，项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理的通项求解即可. 【详解】由二项式定理，项的系数为. 9. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定定义域，可得：整理不等式，构造函数，结合导数求解不等式；：分析不等式大于零恒成立. 【详解】由，可知， 整理，两边同时三次方可得：， 当时，，即， 设函数，则， 因为，，， 所以在上单调递增. 因为， 所以时，. 当时，， 所以时，可得， 综上所述原不等式的解集为. 10. 把1，2，3，4，5这五个数随机地排成一列组成一个数列，则该数列先严格减后严格增的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算5个数全排列的总情况数，再求出满足先严格减后严格增的数列个数，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】将1,2,3,4,5五个数随机排成一列，所有可能的排列总数为： ， 若数列恰好先严格减后严格增，则最小值1必为递减段和递增段的分界点，且递减段的数仅能按严格递减顺序排列，递增段的数仅能按严格递增顺序排列，仅需从剩余4个数中选取若干个放在1的左侧： 当1左侧有1个数时，有种情况； 当1左侧有2个数时，有种情况； 当1左侧有3个数时，有种情况； 1左侧有0个数时数列为严格递增数列，左侧有4个数时为严格递减数列，均不满足先减后增要求，故舍去； 因此满足条件的数列共有个， 根据古典概型概率计算公式，所求概率为： . 11. 已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________. 【答案】##. 【解析】 【分析】如图，连接，则可得，所以△ABC的周长为，再求出，即可求得结果. 【详解】如图，连接， 因为l垂直平分线段， 所以， 所以△ABC的周长为， 由题意得，则 的中点为，， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为直线过， 所以，解得， 所以， 所以△ABC的周长为， 故答案为：. 12. 如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 【答案】 【解析】 【详解】 作垂直于无人机航线与平面的平面，与无人机航线交于点A,与平面交于直线BC， 线段BC的长为农药条带的宽度，BH为水平线 作于D，于H,由坡角为易得， 由题意得, 则，， 所以， ， 因为，所以，， . 二、选择题（本大题共4题，共4+4+5+5-18分） 13. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】对A，根据极差的定义判断；对B，举反例说明；对C，根据平均数的定义，利用反证法证明；对D，举反例说明. 【详解】对于A，去掉最大值后，新极差为原次大值与最小值之差， 若原次大值等于最大值，则极差不变，若原次大值不等于最大值，则极差改变，故A错误； 对于B，去掉最大值后，中位数可能改变，可能不变，如原数据为，中位数为2， 去掉3后，数据为，中位数还是2，故B错误； 对于C，设原平均数为，且按照从小到大的顺序， 假设去掉最大值后平均数不变，则， 所以，解得，由于原数据不全相等，则， 故矛盾，所以平均数一定改变，故C正确； 对于D，众数不一定改变，如数据为，众数为2，去掉4后，众数仍为2，故D错误. 故选：C. 14. 已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以 当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 D.：此时，式子，与题目矛盾，排除 15. 如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线始终异面 B. 直线与直线始终垂直 C. 存在点使得直线与平面垂直 D. 直线与平面始终平行 【答案】D 【解析】 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 16. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在，使得是偶函数 B. 存在，使得在上单调递减 C. 存在，使得在处取极大值 D. 存在，使得的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义对选项进行分析，利用排除法、举例法来确定正确答案. 【详解】依题意，. A选项，若是偶函数，则， 则当，时，不满足，A选项错误. B选项，若在上单调递减，则，与题意矛盾，B选项错误. C选项，若在处取极大值，则存在，使得在区间上，单调递增， 与“”矛盾，所以C选项错误. D选项，设，画出图象如下图所示， 由图可知，满足，且是的最小值，所以D选项正确. 故选：D 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，. （1）设是的中点，求证：平面； （2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 【答案】（1）连接，直四棱柱中， ，， 是的中点，，则，所以为平行四边形， 则有，又平面 ， 平面 ， 所以平面 ； （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，得证平面 ； （2）过作，则即为所求，利用直角三角形的性质计算出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 梯形的面积， ，则， 过作，交 于，连接 ， 直四棱柱中， 平面，则为 在平面内的射影， 由，有，所以即为所求， 中，，有，又，则， ，所以锐角. 18. 已知 （1）若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； （2）若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）2 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数在区间上是严格增函数，由求解； （2）转化为方程在有两个不同的实数解求解. 【小问1详解】 因为函数在区间上是严格增函数， 所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到， 即， 化简得，即， 解得． 因此，实数的值为2． 【小问2详解】 由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解， 即关于的方程在有两个不同的实数解， 因为， 因此． 由题意得，即 综上，实数的取值范围为． 19. 某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. （1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； （2）求面积S关于x的函数解析式； （3）试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【答案】（1） （2） （3）当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【解析】 【分析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积； （3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定点D的位置. 【小问1详解】 以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： 【小问2详解】 由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 【小问3详解】 当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 20. 已知双曲线，O为坐标原点． （1）求的右焦点到渐近线的距离； （2）若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； （3）若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）计算右焦点的坐标，使用点到直线的距离求解； （2）分析等腰三角形的边长，使用坐标法求解； （3）联立直线与双曲线的方程，消元，使用韦达定理求解. 【小问1详解】 由题知，，右焦点为，渐近线方程为， 根据双曲线对称性不妨取，则右焦点到渐近线的距离. 【小问2详解】 设，则，， 若，，解得， 若，则，代入双曲线方程解得，矛盾； 若，，解得， 综上，点P的横坐标为或. 【小问3详解】 易知直线的斜率存在，故设直线的方程为， 得， 令且，得且， 设，则，， ， 当时，，当时，， 所以的取值范围为：. 21. 已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． （1）若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； （2）若．证明：； （3）若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 【答案】（1）不是函数的“切线支撑点”，理由见解析 （2）证明见解析 （3），1. 【解析】 【分析】（1）举反例，结合“切线支撑点”的定义判断； （2）令，利用导数证明，结合新定义判断； （3）由新定义可得对任意恒成立，所以，，从而求得，由题可得，利用点到直线的距离公式求解. 【小问1详解】 若，则，故， 当时，，取，则， 显然， 因此不是函数的“切线支撑点”. 【小问2详解】 由题，令 ， 又， 故时，，函数严格增； 时，，函数严格减； 因此，， 即对任意，对任意恒成立， 由此可得. 【小问3详解】 由题，， 则存在，使得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 显然，①，②， 由②可得，，即，其中， 故， 显然，也满足①， 因此. 此时，， ，故直线方程为， 代入，得， 因此，坐标原点到直线的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东中学2026学年高三10月阶段检测数学试卷 一、填空题（本大题共12题，其中1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，集合，则______． 2. 不等式的解集为______． 3. 已知复数z满足，则复数z虚部为______． 4. 已知向量，且，则_________. 5. 已知，则__________. 6. 已知正实数、满足，则的最大值为______. 7. 若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 8. 在的展开式中，项的系数为______． 9. 不等式的解集为______． 10. 把1，2，3，4，5这五个数随机地排成一列组成一个数列，则该数列先严格减后严格增的概率为______． 11. 已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________. 12. 如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 二、选择题（本大题共4题，共4+4+5+5-18分） 13. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 14. 已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 15. 如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线始终异面 B. 直线与直线始终垂直 C. 存在点使得直线与平面垂直 D. 直线与平面始终平行 16. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在，使得是偶函数 B. 存在，使得在上单调递减 C. 存在，使得在处取极大值 D. 存在，使得的最小值是 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，. （1）设是的中点，求证：平面； （2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 18. 已知 （1）若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； （2）若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 19. 某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. （1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； （2）求面积S关于x的函数解析式； （3）试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 20. 已知双曲线，O为坐标原点． （1）求的右焦点到渐近线的距离； （2）若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； （3）若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 21. 已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． （1）若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； （2）若．证明：； （3）若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $