上海市浦东中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试卷

浦东中学2026学年高三10月阶段检测数学试卷 一、填空题（本大题共12题，其中1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，集合，则______． 2. 不等式的解集为______． 3. 已知复数z满足，则复数z虚部为______． 4. 已知向量，且，则_________. 5. 已知，则__________. 6. 已知正实数、满足，则的最大值为______. 7. 若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 8. 在的展开式中，项的系数为______． 9. 不等式的解集为______． 10. 把1，2，3，4，5这五个数随机地排成一列组成一个数列，则该数列先严格减后严格增的概率为______． 11. 已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________. 12. 如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 二、选择题（本大题共4题，共4+4+5+5-18分） 13. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 14. 已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 15. 如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线始终异面 B. 直线与直线始终垂直 C. 存在点使得直线与平面垂直 D. 直线与平面始终平行 16. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在，使得是偶函数 B. 存在，使得在上单调递减 C. 存在，使得在处取极大值 D. 存在，使得的最小值是 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，. （1）设是的中点，求证：平面； （2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 18. 已知 （1）若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； （2）若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 19. 某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. （1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； （2）求面积S关于x的函数解析式； （3）试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 20. 已知双曲线，O为坐标原点． （1）求的右焦点到渐近线的距离； （2）若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； （3）若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 21. 已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． （1）若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； （2）若．证明：； （3）若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 浦东中学2026学年高三10月阶段检测数学试卷 一、填空题（本大题共12题，其中1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】4 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】##. 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4题，共4+4+5+5-18分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 【17题答案】 【答案】（1）连接，直四棱柱中， ，， 是的中点，，则，所以为平行四边形， 则有，又平面 ， 平面 ， 所以平面 ； （2） 【18题答案】 【答案】（1）2 （2）． 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【20题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【21题答案】 【答案】（1）不是函数的“切线支撑点”，理由见解析 （2）证明见解析 （3），1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $