精品解析：湖南省部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段性素质评价数学试题

高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的概念计算即可. 【详解】由题意得. 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由复数的运算法则可得 . 3. 若方程表示圆，则实数的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的要求列出不等式，求出的范围，逐一判断即可. 【详解】因方程表示圆，故，解得或， 则D项正确. 4. 已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论、，结合指数函数的单调性求区间最值，再由已知列方程求参数值，进而求函数值. 【详解】当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，即，又，解得， 此时函数，所以， 当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，方程无解. 综上，. 故选：B 5. 已知直线，，，的倾斜角分别为，，，，则（ ） A. 最大 B. 最大 C. 最大 D. 最大 【答案】B 【解析】 【详解】直线的斜率为，即， 直线的斜率为，即， 直线的斜率为，即， 根据倾斜角的范围及正切函数的性质知， 直线的倾斜角， 综上，最大. 6. 若构成空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三个向量不能构成基底，则三向量共面，利用共面向量定理以及基底向量线性无关，系数对应相等建立方程求解参数. 【详解】空间中三个向量不能构成基底的充要条件是这三个向量共面. 因为是空间的一个基底，所以不共面（线性无关）. 由共面向量定理，若，，共面，则存在实数，使得：  将等式右侧整理，按基底向量拆分： 因为线性无关，等式两边对应向量的系数必须分别相等： 的系数： 的系数： 的系数： 由得，代入得，因此. 7. 已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中点坐标公式将点的坐标用点的坐标表示，结合两点分别在对应直线上列方程组求解点的坐标，再由两点坐标求解直线的斜率与方程. 【详解】设点的坐标为， ∵ 是的中点， ∴ 点的坐标为. ∵ 在直线上，在直线上， ∴ ， 解得，，即. ∴ 直线的斜率， 由点斜式得直线的方程为，整理得. 8. 在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段长度判断出和是直角三角形，分别在面和面内作出垂直于二面角的棱的线，以为基底表示出，从而利用向量模长公式求出的长． 【详解】已知，，，由勾股定理， 可得，同理， 在面内过作于点，面内过作于点， 在中，， 因为，所以， 在中，同理可得，， 所以， 二面角的大小为，即，所以， ，因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：（），则下列说法正确的是（ ） A. 可能与轴平行 B. 恒过第一象限 C. 原点到的距离的最大值为 D. 若不过第四象限，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的一般式确定所过的定点，进而判断A、B，利用点线距离公式及柯西不等式求距离最大值判断C，根据题设时直线上的点不能有，分类讨论研究的符号，即可判断D. 【详解】由题设，直线为，所以直线恒过定点， A：与轴平行的直线方程形如，但直线的系数为，不可能与轴平行，错误； B：直线恒过定点，该点位于第一象限，所以直线恒过第一象限，正确； C：原点到直线的距离为， 由，因此， 当时取等号，所以最大值为，正确； D：不过第四象限，即时，直线上的点不能有， 因为在上恒非负， 当时，最小值在处取得，所以， 当时，，符合， 当时，随着，有，必然进入第四象限，不符合， 综上，正确. 10. 如图，在正四面体中，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成的角为 D. 在上的投影向量的模为1 【答案】AD 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘计算可判断A项；利用向量数量积的运算律计算判断B项；根据向量夹角的向量公式计算判断C项；利用投影向量的定义计算判断D项. 【详解】因 ，分别为，的中点，连接， 则，故A正确； 在正四面体中，，则， 于是 ，则，故B错误； 因， 设异面直线与所成的角为，则，又，则，故C错误； 在上的投影向量为，则其模为，故D正确. 11. 对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，是非零向量，且为零向量，则一定有 C. 若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是 D. 若，是非零向量，且，则，的夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由空间向量新定义，结合空间向量共线、垂直的坐标表示，及特殊向量夹角计算逐个判断即可. 【详解】对于A，由定义可得：，正确， 对于B，由为零向量，可得， 因为，是非零向量，所以存在非零常数，使得， 即 ，B正确， 对于C，由， 则， ， 由于，是平面内的两个不共线的向量，所以平面的法向量可以是，正确； 对于D，取 ， 则，则， ， 满足， 而此时，夹角为，D错误， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面面积为，母线长为5，则它的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形,沿着圆锥的母线,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,而扇形的半径等于母线长,圆锥的侧面积等于展开后扇形的面积. 【详解】 由圆锥的底面面积为, 底面半径为,可得底面周长为 扇形的面积=扇形弧长扇形半径 侧面积为= 故答案为:. 【点睛】解题关键是通过圆的面积求得圆的半径,然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,通过扇形的面积公式得到的答案. 13. 在台球运动中，无旋转反弹球技法是一种比较简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边，然后按照光线反射的方向弹出．如图，现有一目标球从点无旋转射出，经过直线（桌边）上的点反弹后，恰好能从，两球的中间穿过去（与，球不能相撞），则直线的斜率的取值范围为__________．（球的大小忽略不计） 【答案】 【解析】 【分析】利用点线之间的对称关系，结合将军饮马问题求出满足条件的直线所在区域，再由斜率公式算出答案. 【详解】如图所示； 设点，使得点与点关于直线对称，点的坐标为，结合对称性可得，，点的坐标为， 设直线与直线分别相交于点与点，直线与直线关于对称，直线与直线关于对称， ， 由题知满足条件的直线在图中阴影部分区域， ，， 直线的斜率的取值范围为. 14. 若关于的不等式恒成立，则的所有可能取值共有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】利用正弦、余弦函数的值域均为的特征，分整数和两类情况讨论，结合诱导公式、三角函数恒等条件求解符合的取值总个数。 【详解】分以下情况讨论： 当时，若恒成立， ，要使不等式对任意恒成立，需的最小值， ∴ ，∴ . 当时，恒成立，由诱导公式可得恒成立， ∵ ，， 若上述不等式对任意恒成立，仅当对任意恒成立， ∴ . 当时，对任意恒成立， ∴ ，，解得，， ∵ ，∴ . 当时，对任意恒成立， 由诱导公式可得， ∴ ，，解得，， ∵ ，∴ . 综上，的所有可能取值为、、，共个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校举行了一次数学竞赛活动，有100名学生参加，将他们的成绩（单位：分，满分为100分）进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这100名学生的成绩的中位数； （3）从成绩在内的学生中随机抽取5名学生进行座谈，求这次考了89分的小明被抽中的概率． 【答案】（1） （2）78． （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1列方程，即可求解； （2）频率分布直方图中将所有小矩形面积二等分的点对应的值为中位数； （3）由直方图求成绩在内的学生在样本中的频率，再计算对应的人数，利用古典概型概率公式求结论. 【小问1详解】 由题可得， 即，解得． 【小问2详解】 因为，而， 所以中位数在内． 由中位数的定义可得，解得． 所以估计这100名学生的成绩的中位数为78． 【小问3详解】 由的频率为， 可得内的总人数为， 所以这次考了89分的小明被抽中的概率为． 16. 已知直线，与直线相互垂直． （1）求； （2），相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【小问1详解】 因为直线，与直线相互垂直， 所以得，即． 解得． 【小问2详解】 由题意知，四边形为矩形，，分别是点到直线，的距离， 所以， ． 四边形的面积为． 17. 已知函数是的反函数. （1）求的解析式; （2）求不等式的解集； （3）设，若存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由反函数的定义及指对运算求得答案； （2）由对数函数单调性得到函数单调区间，得到不等式组，求得不等式解集； （3）由（1）整理等式求得的表达式，通过换元，然后由二次函数的最值求得的取值范围. 【小问1详解】 ∵，∴，即的反函数为 ∴，即. 【小问2详解】 因为的定义域是，且是上的增函数， 所以由，得，解得， 故原不等式的解集为. 【小问3详解】 由，得，整理得， ∴， 即在上有解. ，设，则在时有解， 又∵函数的对称轴为，即函数在上单调递增， ∴， 即，则. 故的取值范围为 18. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 【答案】（1）如图所示，作出符合题意的图形， 取的中点，连接，． 因为为的中点，所以且． 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故． 又平面，平面， 所以平面． （2） （3）由（2）可知，，，， ，平面的一个法向量为． 因为， 所以直线不在平面内． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明，然后证明平面. （2）以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算两平面的夹角的余弦值. （3）若直线在平面内，则会与平面的法向量垂直，所以只需验证与平面的法向量是否垂直即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，． 易得，而平面，则平面． 因为，所以，且． 所以，，两两互相垂直．以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则令，得，， 所以平面的一个法向量为． 易知是平面的一个法向量． 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 略. 19. 若直线，在x轴上的截距互为相反数，且斜率之积为，则称，是一对“-共轭直线”，如直线与是一对“-共轭直线”． （1）若，是一对“共轭直线”，且的方程为，求的方程； （2）若，是一对“共轭直线”，记，的夹角为（），求的最小值； （3）若，是一对“共轭直线”，且过点，记与的交点为P，证明：点P到点的距离与点P到点的距离之和为定值． 【答案】（1） （2） （3）因为过点，所以过点． 由题意知，，：，：． 设．由题意知，，，， 所以，整理得． 由，可得． 设，， 则， ， 所以， 即点P到点的距离与点P到点的距离之和为定值． 【解析】 【分析】（1）根据定义即可求解直线的斜率以及截距，即可根据点斜式求解直线方程， （2）根据到角公式，结合基本不等式即可求解， （3）根据斜率公式，以及两点距离公式，化简即可求证. 【小问1详解】 由：，令，得，即在x轴上的截距为2． 因为，是“共轭直线”，所以在x轴上的截距为，且． 因为，所以，解得． 所以的方程为，即． 【小问2详解】 设，的斜率分别为，．，的倾斜角分别为，，易知，，则，． 由题意知，，或． 无论哪种情况，都有． 因为，所以，异号． 所以，当且仅当时取等号． 所以，即的最小值为 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示圆，则实数的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 已知直线，，，的倾斜角分别为，，，，则（ ） A. 最大 B. 最大 C. 最大 D. 最大 6. 若构成空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则 A. B. C. D. 7. 已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：（），则下列说法正确的是（ ） A. 可能与轴平行 B. 恒过第一象限 C. 原点到的距离的最大值为 D. 若不过第四象限，则的取值范围为 10. 如图，在正四面体中，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成的角为 D. 在上的投影向量的模为1 11. 对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，是非零向量，且为零向量，则一定有 C. 若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是 D. 若，是非零向量，且，则，的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面面积为，母线长为5，则它的侧面积为______． 13. 在台球运动中，无旋转反弹球技法是一种比较简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边，然后按照光线反射的方向弹出．如图，现有一目标球从点无旋转射出，经过直线（桌边）上的点反弹后，恰好能从，两球的中间穿过去（与，球不能相撞），则直线的斜率的取值范围为__________．（球的大小忽略不计） 14. 若关于的不等式恒成立，则的所有可能取值共有________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校举行了一次数学竞赛活动，有100名学生参加，将他们的成绩（单位：分，满分为100分）进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这100名学生的成绩的中位数； （3）从成绩在内的学生中随机抽取5名学生进行座谈，求这次考了89分的小明被抽中的概率． 16. 已知直线，与直线相互垂直． （1）求； （2），相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 17. 已知函数是的反函数. （1）求的解析式; （2）求不等式的解集； （3）设，若存在，使得，求的取值范围. 18. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 19. 若直线，在x轴上的截距互为相反数，且斜率之积为，则称，是一对“-共轭直线”，如直线与是一对“-共轭直线”． （1）若，是一对“共轭直线”，且的方程为，求的方程； （2）若，是一对“共轭直线”，记，的夹角为（），求的最小值； （3）若，是一对“共轭直线”，且过点，记与的交点为P，证明：点P到点的距离与点P到点的距离之和为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $