精品解析：湖南邵阳市邵东市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次监测数学试题

2026年下学期高二第一次监测数学试卷 时间：120分钟；总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（   ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. - B. - C. D. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点.若直线与线段相交，则的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 已知事件A，B相互独立， C. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是12 D. 数据的方差为32，则数据的方差为64 10. 已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ） A. 若的一个对称中心为，则 B. 若为偶函数，则 C. 若在区间内有三个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则的最大值为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，长度的最小值为 C. 当时，存在点，使得与平面所成的角为 D. 当，时，平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________． 13. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 14. 已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别是，，，的面积为，且． （1）求角； （2）若为的中点，，的面积为，求． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 17. 已知函数． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． （1）证明：平面ACE⊥平面PCD． （2）求二面角E－AC－D的余弦值． （3）求点D到平面PAC的距离． 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）设是上的“好函数”，且，求证：． （3）已知是上的“好函数”，设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期高二第一次监测数学试卷 时间：120分钟；总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率得倾斜角的正切，再利用同角间的三角函数关系求得正弦值． 【详解】由题意，又，所以， 从而，，而， 所以， 故选：A． 2. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【详解】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 3. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量，满足，，，则， 即，可得， 故，则向量与的夹角为. 4. 已知，则（ ） A. - B. - C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求得答案. 【详解】由，， 两边平方后相加得， 即,得， 所以, 故选:C. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查复合函数单调性，分别计算内外层函数单调性，由同增异减性质确认函数的最终单调性. 【详解】令，所以，且函数是减函数， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数单调性可得 函数的单调递增区间为 【点睛】判断复合函数单调性，由外层函数的范围确定最终自变量的取值范围. 6. 已知点.若直线与线段相交，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 7. 已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 8. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量夹角求出线面角的表达式，最后求利用函数性质求其最大值. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为， 则， 由在线段上，设， 则. 设平面的法向量， 则，即， 令，得， 则平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以当时，取最小值， 即取最大值，由，则的最大值为. 所以直线与平面所成角的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 已知事件A，B相互独立， C. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是12 D. 数据的方差为32，则数据的方差为64 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据对立事件的定义判断即可；对于B，由独立事件的公式求解；对于C，由上四位数的定义求解；对于D，根据方差的性质可判断. 【详解】对于A，从中任选2名同学参加演讲比赛， 有“两名男生”“一名男生一名女生”“全是女生”三种情况， 而“至少一名男生”包含“两名男生”“一名男生一名女生”， 所以“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确； 对于B，已知事件A，B相互独立，则，故B正确； 对于C，由，则上四分位数是，故C错误； 对于D，根据方差的性质可知，数据的方差为，故D错误． 10. 已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ） A. 若的一个对称中心为，则 B. 若为偶函数，则 C. 若在区间内有三个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据辅助角公式及正弦型函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 由题意知，则，又，则，所以， 故. 对于A，若的一个对称中心为， 则， 可得，，所以，. 又，所以，A错误. 对于B，若为偶函数，则，， 所以，， 又，所以，B正确. 对于C，当时，， 且区间的长度为， 若在区间内有三个零点，则，，则，， 又因为，故，C正确. 对于D，当时，， 因为，所以， 若在上单调递增，则， 即，解得，故的最大值为，D正确. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，长度的最小值为 C. 当时，存在点，使得与平面所成的角为 D. 当，时，平面与平面夹角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项看是否能在面内找到一条直线与平行；对于B选项通过空间直角坐标系求出长度的一个一元二次函数再根据题目要求求出最小值；对于C选项，找到直线的方向向量与平面的法向量根据线面角公式转化为一个一元二次方程是否有解的问题；对于D选项，先求出两平面的法向量再通过法向量求出两平面夹角的余弦值. 【详解】对于A选项，连接，由题可得， 因为且，所以与成比例并共线，而， 故，平面，平面，因此平面，故A选项正确； 以D为原点，为y轴，为x轴，为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，，因此. 对于B选项，因为，所以， 故， 当时，的值最小为，故长度的最小值为，B选项错误； 对于C选项，由B选项可得，且平面的法向量， 设与平面所成的角为，则， C选项要求，故， 即，该方程的无解， 故不存在点，使得与平面所成的角为，则C选项错误； 对于D选项，可得，，，， 设平面的法向量，平面的法向量， 故，， 令，则，， 故平面与平面夹角的余弦值为，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】因为直线的倾斜角是钝角， 所以斜率，解得． 所以的取值范围是，． 故答案为：，． 13. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 14. 已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，判断其奇偶性与单调性，将原不等式转化为三角恒成立问题，再对参数分情况讨论求解. 【详解】设， 则，都有，故为奇函数， 又，，， 即，所以，即， 在区间上单调递减，故奇函数在上单调递减， 不等式即， 由奇函数的性质得，即， 化简得在区间上恒成立， 当时，，由，得 当时，解得，当时，解得，当，时，无解； 当时，恒成立； 当时，，由，解得； 综上所述，a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别是，，，的面积为，且． （1）求角； （2）若为的中点，，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式结合题设可得，进而求解即可； （2）由三角形的面积公式结合题设可得，再根据平面向量的线性运算及运算律可得，进而根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由，得，则， 又，则. 【小问2详解】 由，即， 因为为的中点， 所以， 则， 即，由余弦定理得，即. 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）①根据弦长公式，建立方程，求出参数；②根据切线方程的求法，可得答案. 【小问1详解】 （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. 【小问2详解】 ①由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 17. 已知函数． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把复合函数的单调性转化为内层二次函数在区间上单调递减且恒正，由对称轴位置与端点函数值列不等式，由此求得的取值范围； （2）先由换元求出的最大值，再把“任意—任意”型恒成立转化为的最小值不小于该最大值，进而转化为关于的不等式恒成立问题，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 令，其图象开口向下、对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得， 故的取值范围为. 【小问2详解】 令，由得， 则， 当，即时，取最大值. 条件“对任意，都有”等价于对一切成立， 即，则， 即对一切成立. 根据对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，所以，即的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． （1）证明：平面ACE⊥平面PCD． （2）求二面角E－AC－D的余弦值． （3）求点D到平面PAC的距离． 【答案】（1） 如图所示，取中点，连接，因为为正三角形，故. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，为中点， 故. 所以，，， ，故； ，故. 因为，且平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量关系证明和的垂直，进而证明面面垂直； （2）求解平面和平面的法向量，进而求解二面角夹角余弦值； （3）求平面的法向量和，结合点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面即为底面，取其一个法向量. 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. 所以. 又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. ，由点到平面距离公式可得：， 所以点到平面的距离为. 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）设是上的“好函数”，且，求证：． （3）已知是上的“好函数”，设，证明：． 【答案】（1） （2）由好函数定义，取，，则，又，故， 再取，，则，得， 两式相加得，证明完毕． （3）由是上的“好函数”可知， 当时，， 令，，，则， 即， 故， 化简可得． 【解析】 【分析】（1）参变分离得到，求出，从而得到答案； （2）取，，得到，再取，，得，证明出结论； （3）令，，，则，求和即可. 【小问1详解】 由题可知任意，，且，， 即， 解得，因为，所以， 故，即的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $