精品解析：湖南长沙市望城区第六中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

望城区六中2025级高二第一次学业质量检测 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2.请将正确答案填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项） 1. 已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知长方体中，，，，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 3. 在四面体中，点，满足，，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ） A. B. C. D. 6 5. 在如图所示的试验装置中，有两个边长为1的正方形框架，它们所在的平面互相垂直.有一个活动弹子在正方形的对角线上移动，运动过程中弹子到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 有八张卡片，分别标记数字，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件，记“数字大于4”为事件，记“数字为”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件不是独立事件 D. 7. 点是抛物线的顶点，点，在抛物线上（其中）．则下列结论正确的是（ ） A. 点在直线上 B. C. 当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是 D. 当点在原点时，过点的直线与抛物线交于，两点，则 8. 已知函数，，若与在区间上有且仅有个交点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行的一个单位向量是 C. D. 平面的一个法向量是 11. 如图，正方体中，E为AB中点，F在线段上.给出下列判断，其中正确的为（ ） A. 存在点F使得平面； B. 在平面内总存在与平面平行的直线； C. 平面与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关； D. 三棱锥的体积与点F的位置无关. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，若向量在向量上的投影向量为，则____________. 13. 已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 14. 已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 16. 在中，角所对的边分别为，已知，，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 在长方体中，底面边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且 ， ． （1）求证：． （2）平面与平面夹角的余弦值． （3）直线与平面夹角的正弦值． 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）已知， （i）当时，函数有4个不同的零点，求的值； （ii）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城区六中2025级高二第一次学业质量检测 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2.请将正确答案填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项） 1. 已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线方程求出倾斜角的正切值，再利用两角差的正切公式求出直线的斜率，然后根据直线过点，求出其方程，最后令求出点的坐标即可. 【详解】由题意，直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点， 所以， 又直线绕点顺时针方向旋转得到直线， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，令，可得，所以. 故选：D 2. 已知长方体中，，，，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的定义及数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意知，，，两两垂直，故. 又，，， 所以. 故选：C. 3. 在四面体中，点，满足，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用空间向量的加减法结合数乘运算计算求参数. 【详解】因为， 故. 故选：D. 4. 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线间距离求值. 【详解】与间距离， 与间距离， 又由正方形可知， 即， 解得， 故选：D. 5. 在如图所示的试验装置中，有两个边长为1的正方形框架，它们所在的平面互相垂直.有一个活动弹子在正方形的对角线上移动，运动过程中弹子到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】弹子到直线的距离最小就是求上的点到直线的最小距离，根据题意以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间中点到直线的距离公式求得点到直线的距离为，所以当时，取得最小值. 【详解】根据题意以为坐标原点，分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则点到直线的距离为， 其中为直线的单位方向向量，， 可取， 所以, 整理得， 当时，取得最小值. 故选：A. 6. 有八张卡片，分别标记数字，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件，记“数字大于4”为事件，记“数字为”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件不是独立事件 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型判断事件互斥，计算事件概率判断是否独立. 【详解】事件，事件，事件， 因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误； ，所以，又因为，所以 ，B错误； ，所以， 所以，事件与事件是独立事件，C错误； ，所以，所以，D正确； 故选：D. 7. 点是抛物线的顶点，点，在抛物线上（其中）．则下列结论正确的是（ ） A. 点在直线上 B. C. 当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是 D. 当点在原点时，过点的直线与抛物线交于，两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再利用抛物线上纵坐标相等的两点对称性、直线与线段相交条件、韦达定理对四个选项注意判断. 【详解】， 顶点的坐标为. 选项A：将代入，当时，， 所以点不在直线上，故A错误； 选项B：，纵坐标相同，对称轴为， ，解得， 将代入抛物线得 ， 当时，不满足，故B错误； 选项C：顶点的坐标为， ， 所在直线为，将代入得， 解得， 当点所在直线与线段没有交点时， 或， 或，整理得：或， ，，无解； ，，.故C错误； 选项D：点在原点， ，，，抛物线为. 当过的直线是时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为，联立得， 整理得，，设，， ，，，， ，即. ， ， ， 同理可得，. ，故D正确. 【点睛】解题先借助配方法得到顶点坐标，利用抛物线上两点纵坐标相等推出其关于对称轴对称； 直线与线段有无交点要看交点横坐标是否落在线段区间内； 涉及型求值，常用设线联立、韦达定理整体代换，避开单独求根. 8. 已知函数，，若与在区间上有且仅有个交点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合与的图像交点个数，判断的取值范围. 【详解】因为，，且， 由的周期为，的周期为， 记与轴正半轴的交点横坐标由小到大依次是、、、， 令，可得：，即 ， 则， ， 因为与在上有且仅有3个交点， 如图所示：需满足，整理可得： 所以的最小值为. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先利用几何意义得到直线l与AB平行或经过AB的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线l与AB平行或经过AB的中点． 当直线l与AB平行时，由可得：， 再由直线l与AB平行，可知斜率相等，然后由点斜式直线方程可得：， 整理得直线l方程为； 由可知中点坐标为，当直线l经过AB的中点和点时， 由两点式直线方程得：， 整理得直线l方程为． 故选：BD． 10. 已知，，，下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行的一个单位向量是 C. D. 平面的一个法向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算、模、数量积的坐标表示求解判断ABC；根据法向量的求法求解判断D. 【详解】对于A，，，则， 所以，故A正确； 对于B，由于， 则与平行的单位向量是，故B正确； 对于C，因为， 所以， 则与不垂直，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是， 则，得， 令，得平面的一个法向量是，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，正方体中，E为AB中点，F在线段上.给出下列判断，其中正确的为（ ） A. 存在点F使得平面； B. 在平面内总存在与平面平行的直线； C. 平面与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关； D. 三棱锥的体积与点F的位置无关. 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项先假设存在F使得⊥平面，再推出矛盾，判断A选项错误；B选项先设交线为，再明确在平面内与平行的直线平行于平面，判断B选项正确；C选项先建立空间坐标系，再证明平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，最后判断C选项错误；D选项先转化三棱锥的体积即为三棱锥，再证明三棱锥的体积与点的位置无关，最后判断D选项正确． 【详解】A选项：假设存在F使得⊥平面，则⊥，又⊥，∩＝，∴⊥平面，则⊥，这与⊥矛盾，所以A选项错误； B选项：因为平面与平面相交，设交线为，则在平面内与平行的直线平行于平面，故B选项正确； C选项：以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间坐标系如图，则平面的法向量为而平面的法向量，随着位置变化，故平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故C选项错误； D选项：三棱锥的体积即为三棱锥，因为∥平面，所以，当在线段上移动时，到平面的距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，即D选项正确． 故选：BD． 【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、二面角、几何体的体积，是基础题. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，若向量在向量上的投影向量为，则____________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用投影向量的定义列式计算即得. 【详解】因，， 向量在向量上的投影向量为 ， 则. 故答案为：1. 13. 已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】建系并标出点坐标，设，，利用空间向量的坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 14. 已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线（）与x轴的交点为，由可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得；③若点M在点A的左侧，求得.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果. 【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为， 由于直线与x轴的交点为， 由直线将分割为面积相等的两部分，可得， 故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N， 则由可得点N的坐标为， ①若点M和点A重合，如图： 则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线， 求得. ②若点M在点O和点A之间，如图： 此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于， 即，即，可得，求得， 故有. ③若点M在点A的左侧， 则，由点M的横坐标，求得. 设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为， 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ， 即，化简可得，由于此时， 所以，两边开方可得，所以， 故有. 综上可得b的取值范围应是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得AB的中点，再利用两点式求解； （2）根据直线AC与直线BD垂直，求得直线BD的方程，然后联立方程组求解. 【小问1详解】 中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般式方程为． 【小问2详解】 由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 联立和方程，，解得垂足． 16. 在中，角所对的边分别为，已知，，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）. （2）6 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直关系建立的三角函数关系式，通过特殊的三角函数值即可求解； （2）通过三角形的面积公式以及余弦定理，可得的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 由，得，即， 若，则，与矛盾，故， 由此可得，又，故. 【小问2详解】 由(1)知，结合三角形面积公式得，化简得， 由余弦定理得，整理得， 代入，得，解得，负根舍去， 故的周长为. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明:取中点，连接，， ∵，，点为中点， ∴， 又∥，∴四边形为平行四边形， ∴∥，，∵为正方形， ∴∥，，∴∥，， ∴四边形为平行四边形，∴∥， 又平面，平面，∴∥平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，可证四边形为平行四边形，可得∥，可证结论； （2）以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， 则，，， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 18. 在长方体中，底面边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且 ， ． （1）求证：． （2）平面与平面夹角的余弦值． （3）直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图： 可得 , 所以，， 所以， 因此， 即. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)以为原点，建立空间直角坐标系，求出和的坐标，通过计算两个向量的数量积即可判断垂直关系； (2)分别求出平面和平面的法向量，所以利用向量夹角公式计算法向量夹角的余弦值即可； (3)求出直线的方向向量和平面的法向量，再由线面角的向量公式代入计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知， 设 为平面的一个法向量， 则  ，令，得， 即, 又易知，则 ，， 设平面的法向量， 可得 ，令，得， 即， 设平面和平面的夹角为，， 可得， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 易知，则，， 设直线和平面的夹角， 因此, 即直线与平面夹角的正弦值为. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）已知， （i）当时，函数有4个不同的零点，求的值； （ii）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题中性质，结合函数图象变换的性质和奇函数的定义进行求解即可； （2）（i）根据函数的对称性进行求解即可； （ii）对不等式化简，结合二次函数的最值性质，利用换元法进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 设， 因为， 所以是奇函数， 所以函数图象的对称中心为； 【小问2详解】 （i）当时，，该函数的定义域为不等于的全体实数. 设，该函数的定义域为全体非零实数， 因为， 所以函数是奇函数， 所以根据定义可知函数的对称中心为， 而函数的对称中心也是， 由， 因为函数有4个不同的零点， 所以函数有四个不同的交点， 因为这两个函数的图象都关于对称， 所以这四个交点必有两对关于点对称的点， 所以. （ii）当时， 由 令，则， 原不等式化为：， 二次函数，对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递减，所以当时，有， 所以要想对任意的，不等式恒成立， 只需，所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $