29.1.2 第1课时 过三点的圆 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

29.1.2 第1课时 过三点的圆 教学设计 课题 29.1.2 过三点的圆（第1课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法；2. 理解三角形的外接圆和外心的概念，会画三角形的外接圆；3. 经历探索过点画圆的过程，体会数形结合、分类讨论的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力. 教学重点 理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆；掌握三角形的外接圆和外心的概念. 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆. 教学方法 情境导入、动手操作、讲练结合 教学准备 多媒体课件、直尺、圆规 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 温故知新 一、温故知新 1．我们已经学过“几点确定一条直线”这一基本事实，它是怎么说的？ 答案：两点确定一条直线. 2．我们已经知道如何确定一个圆，它是怎么说的？ 答案：如果确定了圆心和半径，那么这个圆的位置和大小就被确定了. 【师生活动】学生独立思考后回答；教师归纳并设问：类似两点确定一条直线，对于圆来说，是否也有几点确定一个圆的问题呢？由此引出本节课的学习内容. 学生回顾“两点确定一条直线”的基本事实和确定圆的两个要素，思考“几点确定一个圆”的问题. 复习“两点确定一条直线”的基本事实，巩固基础，并在此基础上提出类似的问题，引导学生进入确定圆的条件的探究. 环节二 探究学习 过一点、过两点 二、探究学习：过一点、过两点作圆 【问题1】我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆. 经过一个已知点 A 能不能作圆？这样的圆你能作出多少个？ 经过一个已知点 A 作圆 【师生活动】学生自己动手画图，教师展示分析过程，学生独立思考得出答案. 【答案】经过已知点 A 作圆，当圆心确定后，半径也就随之确定，这时作圆的问题就转化为确定圆心的问题. 因此，经过一个点 A 作圆，只要以点 A 以外任意一点为圆心，以这一点与点 A 的距离为半径就可以作出. 这样的圆有无数个. 经过点 A 的无数个圆 【问题2】经过两个已知点 A，B 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 经过两个已知点 A，B 作圆 【师生活动】学生自己动手画图，教师展示分析过程，学生独立思考进行填空. 【分析】经过两点 A，B 作圆，因为圆心到 A，B 的距离　　　　，所以圆心应在线段 AB 的　　　　　上. 线段 AB 的垂直平分线上有　　　　个点，所以这样的圆心有　　　　个，这样的圆也可以作出　　　　个. 答案：相等；垂直平分线；无数；无数；无数. 经过 A，B 两点的圆与线段的垂直平分线 学生动手画图，结合图形分析经过一点、两点作圆时圆心的取值范围，通过填空明确“圆心在线段垂直平分线上”的关键结论. 从过一点、过两点作圆开始探究，让学生知道：过已知点作圆，关键是确定圆心，能作多少个圆，取决于圆心的个数. 为后面过三点作圆做好准备. 环节三 探究学习 过三点的圆 三、探究学习：过不在同一条直线上的三点作圆 【问题3】经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 不在同一条直线上的三个点 【师生活动】学生自己动手画图，教师展示分析过程，学生小组讨论：如何确定所作圆的圆心. 【分析】经过不在同一条直线上的 A，B，C 三点作圆，这就需要确定一个点作为圆心，使它到 A，B，C 三点的距离　　　　，因此圆心既要在线段　　的　　　　　上，又要在线段　　　　　　的　　　　　上. 答案：相等；AB；垂直平分线；BC（或AC）；垂直平分线. 【答案】连接 AB，BC，分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 l1 和 l2，设它们的交点为 O，则 OA＝OB＝OC. 于是以点 O 为圆心，OA（或 OB，OC）为半径，作出⊙O，⊙O 就是经过 A，B，C 三点的圆. 过不在同一条直线上的三点的圆 由作法可知，线段 AB，BC 的垂直平分线有且只有　　个交点，所以⊙O 的圆心是确定的，进而半径也是确定的. 因此，经过 A，B，C 三点可以作一个并且只可以作一个圆. 【新知】不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 【提醒】（1）三个点确定一个圆的前提是“三个点不在同一条直线上”；（2）“确定”的含义是“有且只有”的意思，即经过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆. 【设计意图】通过探索，让学生知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆，帮助学生实现直观感知、操作实验和逻辑推理三者的有机结合. 学生小组讨论确定圆心的方法，通过填空理解“圆心到三点距离相等”与“两条垂直平分线的交点”之间的联系，经历“有且只有一个圆”的推理过程. 借助作图与推理相结合，引导学生从“确定圆心”的角度认识“三点确定一个圆”，体会数形结合与分类讨论的思想. 环节四 外接圆与外心 四、三角形的外接圆与外心 【新知】由图可以看出，经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 【练习】请作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆. 这些外接圆的圆心在什么位置？ 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 【师生活动】学生独立完成，一名学生展示答案. 三种三角形的外接圆 【答案】锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部. 【归纳】（1）锐角三角形的外心在三角形的　　　　；直角三角形的外心是　　　　　　；钝角三角形的外心在三角形的　　　　. 因此可由外心的位置判断三角形的形状. 答案：内部；斜边的中点；外部. （2）三角形外心到三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. （3）因为任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以任意一个三角形有且只有一个外接圆；顺次连接圆上任意三点，都可以得到圆内接三角形，也就是说，一个圆有无数个内接三角形. 【设计意图】让学生初步掌握画三角形的外接圆的方法，加深对三角形的外接圆和外心的概念的理解. 学生独立作出三种三角形的外接圆并判断外心位置，通过填空归纳外心位置与三角形形状的对应关系，理解外心到三个顶点距离相等的性质. 通过作图练习巩固过三点作圆的方法，借助三种三角形的对比，帮助学生建立外心位置与三角形形状之间的联系，深化对外心概念的理解. 环节五 典例精讲 学以致用 五、典例精讲、学以致用 例1 如图是一块破损的圆形模板，木工师傅想要将它修复为原来的模样，你有办法复原吗？（保留作图痕迹） 破损的圆形模板 【师生活动】学生根据分析完成解答，教师给予指导. 【分析】对于已知圆上的某段弧，作出整个圆的问题，实质上属于确定圆心的问题，解决此类问题的方法是在圆弧上任意找三点，形成两条线段，这两条线段垂直平分线的交点就是圆心，圆心到圆弧上任意点的距离就是半径. 解：在圆弧上任取三点 A，B，C，连接 AB，BC. 分别作出 AB，BC 的垂直平分线，其交点为 O. 连接 AO，以 O 为圆心，AO 为半径，画出这个圆. 复原圆形模板 【归纳】确定圆心的方法：（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆，三点所连线段的垂直平分线的交点即为圆心；（2）先确定直径，两条直径的交点或一条直径的中点即为圆心. 例2 在△ABC 中，BC＝24 cm，外心 O 到 BC 的距离为 6 cm，求△ABC 的外接圆半径. △ABC 及其外接圆 【师生活动】学生独立完成解答，一名学生板书解答，教师给予指导. 解：如图，连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，则 OD＝6 cm. 连接 OB，作 OD⊥BC ∵外心 O 是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，∴BD＝BC＝12 cm. ∵在 Rt△OBD 中，OD＝6 cm，BD＝12 cm，∴OB＝＝＝ cm. 即△ABC 的外接圆的半径为 cm. 【归纳】巧作辅助线求解与三角形外接圆有关的计算：在与三角形的外接圆有关的计算中，经常连接圆心与三角形的顶点，这样作辅助线可出现圆心角、半径等，为利用圆心角定理、垂径定理、勾股定理等进行解题创造了条件. 学生独立完成并板书例2，互查例1 的作图痕迹，在“连接圆心与顶点、作垂直”的辅助线应用中体会转化思想. 通过例题巩固过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，并应用外心的性质和勾股定理解决与三角形外接圆有关的计算问题. 环节六 拓展提升 六、拓展提升 【思考】过任意三点都不在同一直线上的四点能作一个圆吗？也就是说过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【分析】要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上. 【问题】过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 矩形、等腰梯形、平行四边形 【师生活动】学生自己动手画图，教师展示动画. 过四边形四个顶点作圆 【答案】矩形的四个顶点在同一个圆上，等腰梯形的四个顶点在同一个圆上，平行四边形的四个顶点不在同一个圆上. 【思考】分别测量上面各四边形的内角，你发现四边形的哪些元素决定了过它的四个顶点可以作一个圆？能再找几个四边形验证吗？ 【师生活动】学生先自己动手测量，小组交流，师生一起总结. 【新知】过对角互补的四边形的四个顶点可以作一个圆. 圆内接四边形 【设计意图】让学生学会利用特例去对问题进行研究，从特殊到一般情形，一步一步地向探究的目标靠近. 学生通过动手画图、度量，知道过对角互补的四边形的四个顶点可以作一个圆. 帮助学生在“做”数学的过程中思考、积淀，从而积累数学活动的经验. 学生通过作图、度量、验证，发现四边形对角互补是其四个顶点共圆的条件，经历从特殊到一般的探究过程. 由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向，积累数学活动经验. 环节七 课堂小结 布置作业 七、课堂小结 （1）本节课我们学习的主要内容是什么？（2）你还有什么疑问？ 知识结构图 【归纳】①确定圆的条件：经过一个点、两个点都能作无数个圆，经过不在同一条直线上的三个点可以作一个并且只可以作一个圆；②三角形的外接圆与外心：外接圆的圆心叫作外心，是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部；③拓展：过对角互补的四边形的四个顶点可以作一个圆. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生借助知识结构图自主梳理确定圆的条件与外接圆、外心的概念，养成系统整理知识的习惯；课后独立完成作业. 通过课堂小结使学生对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点. 板书设计 29.1.2 过三点的圆 一、确定圆的条件 过一点：无数个圆；过两点：无数个圆 过不在同一条直线上的三点：有且只有一个圆 作法：两条线段垂直平分线的交点 O 为圆心 二、三角形的外接圆 外心：三边垂直平分线的交点，到三顶点等距 锐角→内；直角→斜边中点；钝角→外 三、拓展 过对角互补的四边形的四个顶点可以作一个圆 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $