29.1.1 圆的有关概念 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.1.1 圆的有关概念 教学设计 课题 圆的有关概念 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时（29.1共2课时：29.1.1圆的有关概念、29.1.2过三点的圆；本章共10课时） 课型 新授课 教学目标 1. 经历圆的概念的形成过程和发现有关结论的过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念以及等圆、等弧的概念，发展数学思考能力与几何直观；2. 掌握点与圆的三种位置关系，会利用点到圆心的距离 d 与半径 r 之间的数量关系判定点与圆的位置关系；3. 通过证明矩形的顶点共圆，获得用圆的定义证明多点共圆的基本方法；体会圆在生产生活中的广泛应用，感受图形的匀称美，渗透类比学习的数学思想。 教学重点 经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念；掌握点与圆的三种位置关系；能用圆的定义证明几点共圆。 教学难点 理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义——体会为什么必须同时满足“到定点的距离等于定长”的两个方面。 教学方法 情境教学、启发探究、动手操作、讲练结合 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺、细绳 课后练习 教材本节课后练习第 1～4 题。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 感知圆美 一、情境导入，感知圆美 教师多媒体展示生活中常见的具有圆形象的物体（车轮、摩天轮、圆月、圆形拱桥等），并引出古希腊数学家毕达哥拉斯的名言：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆．” 【问题】感知圆的世界：圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象．你能再举出几个身边“圆”的例子吗？ 【师生活动】学生自由发言举例，教师适时点评，顺势板书课题——圆的有关概念． 学生观察图片、列举生活中的圆形物体，初步感知圆的形象美与普遍性。 用生活中的物体展示圆，激发学生兴趣，让学生直观感受生活中物体的美，体会数学源于生活。 二、操作探究 建构概念 二、操作探究，建构概念 1. 动手画圆，形成定义 （1）用圆规画一个半径为 2 cm 的圆； （2）在操场上画一个半径为 3 m 的圆，你有什么办法？（提示：可用一根 3 m 长的细绳，一端固定在地面一点，拉紧细绳绕固定端点转一圈．） 【师生活动】学生思考、回答并演示，教师总结并播放画圆视频，引导学生观察归纳圆的形成过程． 【归纳】圆的动态定义：在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的图形叫作圆．其中，固定的端点 O 叫作圆心，线段 OP 叫作半径．以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 2. 观察特性，静态定义 【思考】从画圆的过程中，你能说出圆上的点有什么特性吗？ 教师引导学生回答：（1）圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 【归纳】圆的集合定义：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合． 【对比】圆的两种定义：动态定义——旋转；静态定义——集合．两者本质一致，都刻画了“圆上各点到圆心的距离相等”这一特征． 3. 探究点与圆的位置关系 【探究】观察画圆的过程可以发现，平面被圆分成三部分，相应地，平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内（如图）． 设⊙O 的半径为 r，任意一点 P 到圆心的距离 OP＝d，则有： 点 P 在圆外，则 d＞r；点 P 在圆上，则 d＝r；点 P 在圆内，则 d＜r．反过来，由 d 与 r 的大小关系也可以判定点与圆的位置关系，即位置关系与数量关系可以互相转化． 4. 认识圆的有关元素 【追问1】圆中还有哪些元素呢？ 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；经过圆心的弦叫作直径，直径的长是半径长的 2 倍．如图，AB、AC 是弦，AB 是直径． 【教师活动】引导学生辨析：①直径一定是弦，但弦不一定是直径；②直径是最长的弦． 弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 【追问2】下面两段弧都是以 A、B 为端点，如何区分呢？ 大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的弧ABC）叫作优弧；小于半圆的弧（如图中的弧AC）叫作劣弧． 【教师活动】师生共同归纳：每一条弧都对应唯一的弦；在同圆中，每一条弦都对应两个弧．由弦及其所对的弧组成的图形叫作弓形，因此同圆中一条弦与其所对的弧组成的弓形有两个（如图）． 【追问3】下列每组中的两个圆能重合吗？ 预设答案：（1）不重合；（2）重合． 【归纳】能够重合的两个圆叫作等圆；容易看出，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧． 学生动手画圆、观察圆的形成过程并归纳圆的动态定义；结合图形说出圆上点的特性，理解圆的集合定义；观察点与圆的位置关系图，说出 d 与 r 的对应关系；借助图形辨析弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、弓形、等圆、等弧等概念。 通过画圆、播放视频等操作活动经历圆的概念的形成过程，培养观察、归纳总结的能力；用集合的观点定义圆并渗透类比思想；通过追问串引导学生思考，借助多媒体演示相关图形，直观形象，便于学生理解概念之间的联系与区别。 三、学以致用 深化理解 三、学以致用，深化理解 【例题】矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O．求证：A，B，C，D 四个点在以 O 为圆心的同一圆上． 证明：如图，∵四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O， ∴，，且 （矩形的对角线相等且互相平分）． ∴． ∴A，B，C，D 四个点在以点 O 为圆心、OA 为半径的圆上． 【方法点拨】证明多个点共圆，只需证明这些点到某一定点的距离都相等，从而由圆的定义作出判断；“矩形的对角线相等且互相平分”是本题的隐含条件． 学生在教师引导下先用定义分析“四点共圆”需要什么条件，再尝试书写证明，一名学生板演，其余学生补充完善. 通过证明矩形的顶点共圆，让学生掌握用圆的定义证明多点共圆的基本方法；引导学生挖掘图形中的隐含条件，培养推理能力. 四、随堂训练 反馈巩固 四、随堂训练，反馈巩固 （1）有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（　　） A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：①错误，确定一个圆需要圆心和半径两个条件，半径确定只确定了圆的大小；③错误，直径是弦，但弦不一定是直径；⑤错误，圆的对称轴是直线，直径是线段，不能说“直径是圆的对称轴”，且圆的对称轴有无数条；②④正确．故错误的说法有 3 个． 答案：C （2）如图，OA、OB 是⊙O 的半径，点 C、D 分别为 OA、OB 的中点．求证：AD＝BC． 证明：∵OA、OB 是⊙O 的半径，∴OA＝OB．∵点 C、D 分别为 OA、OB 的中点，∴，．又 OA＝OB，∴OC＝OD．在 △AOD 和 △BOC 中，OA＝OB，∠O＝∠O（公共角），OD＝OC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC． （3）如图，在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中，∠C＝90°，∠D＝90°，点 O 是 AB 的中点．求证：A，B，C，D 四个点在同一圆上． 证明：如图，连接 OC、OD． ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，O 是斜边 AB 的中点，∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；同理，在 Rt△ABD 中，． ∵O 是 AB 的中点，∴，∴， ∴A，B，C，D 四个点在以点 O 为圆心、 为半径的圆上，即四点共圆． 【方法点拨】“同圆的半径相等”“公共角”“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”等都是圆中常用的隐含条件，解题时要充分利用图形的直观性挖掘出这些条件． 学生独立完成（1）～（3），教师巡视指导，了解学生掌握情况；两名学生板演（2）（3）的证明过程，其余学生倾听并纠错，最后集中订正. 通过随堂练习进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果；（2）（3）题让学生在证明中体会“同圆半径相等”“斜边中线”等隐含条件的运用，让学生讲解展示解题过程，教师辅助解释，培养学生用所学知识解决问题的能力. 五、课堂小结 梳理提升 五、课堂小结，梳理提升 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？（2）圆的定义是什么？（3）你知道了哪些与圆相关的概念？ 【归纳】①圆的两种定义：动态定义（线段绕固定端点旋转一周）与静态定义（到定点距离等于定长的点的集合）；②点与圆的位置关系：d＞r 在圆外，d＝r 在圆上，d＜r 在圆内；③有关概念：弦与直径（直径是最长的弦）、弧与半圆、优弧与劣弧、弓形、等圆与等弧（在同圆或等圆中研究）． 学生复述圆的两种定义，梳理点与圆的位置关系及各概念之间的联系，同桌互查“弦与直径”“等弧”的易错点。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，形成“定义—位置关系—有关概念”的知识主线。 六、布置作业 课后拓展 六、布置作业，课后拓展 教材本节课后练习第 1～4 题． 提示：辨析概念题要紧扣定义中的关键词（如“同圆或等圆中”“能够互相重合”）；证明共圆问题先找“定点与定长”． 课后独立完成，先默写圆的两种定义再动笔，证明题写明每一步的依据。 巩固圆的有关概念与共圆证明方法，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 圆的有关概念 一、圆的两种定义 动态：线段 OP 绕固定端点 O 旋转一周，另一端点 P 的轨迹 静态：到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合 二、点与圆的位置关系 d＞r 在圆外；d＝r 在圆上；d＜r 在圆内（d 与 r 可互相判定） 三、有关概念 弦、直径（最长的弦）｜弧、半圆、优弧、劣弧｜弓形｜等圆、等弧 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $