精品解析：北京第二外国语学院附属中学2026-2027学年高一年级上学期期初质量检测数学试题

2026-2027字年第一学期学期初质量检测试卷 2026年10月10日高一数学 二外附中（北京中学外语分校） 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟． 第I卷（每题5分，共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解方程， 因式分解得， 解得或， 因此， 因为， 所以． 2. 如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当时，满足，不满足，故A错误， 对于B，当时，满足，不满足，故B错误， 对于C，当时，满足，不满足，故C错误， 对于D，若，则由不等式的性质得，故D正确. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】解：解不等式，及解得或，则， 而推不出. 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 4. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由命题的否定规则可得为，故B正确. 5. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】，因式分解得， 解得或，即或， 已知， 或. 6. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时，原不等式转化为，对任意恒成立，符合题意， 当时，是关于的二次式，要使对任意恒成立， 需同时满足解得 综上所述：实数的取值范围为 7. 若关于的一元二次方程有两个负根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设关于的一元二次方程的两根为，，根据题意， . 所以，实数的取值范围是：. 8. 已知区间．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合并集的结果分析求解即可. 【详解】因为区间， 若，则， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 9. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】通过倒数变换求解新不等式.由的解集为两根之间，可判断，进而推出的符号；再用“倒数法”快速得到的两根，结合开口方向写出解集. 【详解】由的解集为， 可知即，且和是方程的两个实数根. 所以，即，所以； 又，即，所以.因为，所以. 将，代入，得. 得，即. 则或. 不等式解集为或，故选项B正确. 10. 设为实数集上的非空子集.若对任意、，都有、、，则称为封闭集.下面是关于封闭集的个判断： （1）自然数集为封闭集； （2）整数集为封闭集； （3）若为封闭集，则一定有； （4）封闭集一定是无限集. 则其中正确的判断是（ ） A. （2）（3） B. （2）（4） C. （3）（4） D. （1）（2） 【答案】A 【解析】 【分析】利用封闭集的定义可判断（1）（2）（3）的正误，取可判断（4）的正误. 【详解】对于（1），，，则，（1）错； 对于（2），对任意的、，则、、，则整数集为封闭集，（2）对； 对于（3），若为封闭集，对任意的，则，（3）对； 对于（4），取，则，则、、，则为封闭集，（4）错. 故选：A. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定两个集合的元素范围，再根据交集的定义可得. 【详解】因为，可知是所有大于的整数构成的集合，即； 又因为，是所有取值在内的实数构成的集合； 根据交集的定义，得. 12. 已知，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以，当且仅当即时取“”. 13. 若“”是“”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为“”是“”的必要而不充分条件，可知集合是集合的真子集， 则，解得：, 所以实数的取值范围是. 14. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：“”为假命题，则“”为真命题， 所以解得 所以实数的取值范围是 15. 若关于的不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是________________. 【答案】. 【解析】 【详解】分析：根据条件，由基本不等式即可得出，而条件对任意恒成立，这样便可得出实数的取值范围. 详解：因为，所以，当，即时取等号， 所以的最小值为4，所以， 所以实数的取值范围是， 故答案是. 点睛：该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确恒成立问题需要向最值靠拢，注意基本不等式的应用，属于简单题目. 16. 定义集合的运算“”：，且．已知，则___________；集合的真子集个数为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由题可得：因为，,则，故集合的真子集个数为 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知集合． （1）求和； （2）写出集合的所有子集． 【答案】（1） ，. （2） . 【解析】 【小问1详解】 由题可得，，，故. 【小问2详解】 因为，所以集合的所有子集有. 18. 已知全集，集合． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得. （2）根据列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 由，解得或， 所以，， 所以. 【小问2详解】 对于，， 由于，所以或， 解得或， 所以的取值范围是. 19. 设函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由解集的两端点是方程的两根，且开口向下，用韦达定理求出、的值. （2）把代入后因式分解为，再按的正负以及与的大小关系分类讨论，写出各类情形下的解集. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以，且、是方程的两个根. 由韦达定理得，，解得，， 所以. 【小问2详解】 把代入得，即. 得. 因为，把它写成， 当时，不等式等价于， 若，则，解集为； 若，则原不等式为，解集为； 若，则，解集为. 当时，不等式等价于，此时，解集为. 综上所述，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 20. 共享单车给市民出行带来了诸多便利．某公司购买了一批单车投放市场，据市场分析，每辆单车的营运累计利润（单位：元）与营运天数的关系为． （1）要使营运累计利润超过800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）营运天数的取值范围为（即41天到59天之间） （2）营运40天时平均营运利润最大，最大值为20元 【解析】 【小问1详解】 要使营运累计利润超过800元，即，解得. 则营运天数的取值范围为（即41天到59天之间）. 【小问2详解】 每天的平均营运利润, 当且仅当,即时，等号成立. 营运40天时平均营运利润最大，最大值为20元. 21. 已知集合． （1）当时，，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简集合和，再代入求并集后计算补集可得； （2）根据两集合交集为空的位置关系，并结合数轴列不等式求解； （3）利用补集思想，由（2）结果取补集可得. 【小问1详解】 解不等式，，解得，即. 解不等式，，解得，即. 当时，得，全集， 根据补集定义，为中不属于的元素构成，因此. 【小问2详解】 若，分两种情况： ①在左侧：，解得； ②在右侧：，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为与是互为补关系，且全集为， 当时，， 因此时，. 因此若，实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027字年第一学期学期初质量检测试卷 2026年10月10日高一数学 二外附中（北京中学外语分校） 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟． 第I卷（每题5分，共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 若关于的一元二次方程有两个负根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知区间．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 10. 设为实数集上的非空子集.若对任意、，都有、、，则称为封闭集.下面是关于封闭集的个判断： （1）自然数集为封闭集； （2）整数集为封闭集； （3）若为封闭集，则一定有； （4）封闭集一定是无限集. 则其中正确的判断是（ ） A. （2）（3） B. （2）（4） C. （3）（4） D. （1）（2） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 集合，则___________． 12. 已知，则的最小值为___________． 13. 若“”是“”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是___________． 14. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________． 15. 若关于的不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是________________. 16. 定义集合的运算“”：，且．已知，则___________；集合的真子集个数为___________． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知集合． （1）求和； （2）写出集合的所有子集． 18. 已知全集，集合． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 19. 设函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集． 20. 共享单车给市民出行带来了诸多便利．某公司购买了一批单车投放市场，据市场分析，每辆单车的营运累计利润（单位：元）与营运天数的关系为． （1）要使营运累计利润超过800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？并求出这个最大值． 21. 已知集合． （1）当时，，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $