5.1 认识二元一次方程组 周学自检2026-2027学年北师大版八年级数学上册

5.1 认识二元一次方程组 周学自检2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是（     ） A．19 B．29 C． D．1 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于、的二元一次方程组的解为则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．古代数学著作《九章算术》有这样一道题，今有糙米、白米共五十斗，糙米二斗可换白米一斗．若将全部糙米换白米，共得白米三十斗．问糙米、白米原有各几斗？设糙米原有斗，白米原有斗，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．晓丹老师为了奖励期中考试中本班成绩优异的学生，准备购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元，则共有（   ）种不同的购买方案． A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 9．请写出一个二元一次方程__________，使是该方程的一个解． 10．方程是二元一次方程，则的取值范围是_________； 11．手工课上，同学们用丝带和贴纸装饰书签，两种装饰材料一共准备了64件（丝带按“根”算，贴纸按“张”算），每装饰一张书签需要3根丝带和1张贴纸（固定搭配），最后所有丝带和贴纸刚好全部用完，没有剩余．设所用丝带总数为x根，贴纸总数为y张，则可列方程组为________． 12．已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 2 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 1 … 则关于，的二元一次方程组的解是______． 13．如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是______．（用含的式子表示） 三、解答题 14．某中学为了改造劳动实践基地，需要和两种规格的钢管．从建材市场购回一根长的钢管，将其截成长段，长段． (1)列出关于，的二元一次方程； (2)应该怎么样截这一根钢管更好？ 15．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 16．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 17．一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%．如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班学生的体育达标率为75%，那么一、二两班各有多少名学生？ 设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，填写下表并求出x，y的值． 一班 二班 两班总和 学生人数 达标学生人数 18．我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）=. 例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18-1>9-2>6-3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）==． （1）填空：f（6）=　　，f（9）=　　； （2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字，得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有满足条件的两位正整数，并求f（t）的最大值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C C A C A D 1．【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 2．【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把代入方程组检验即可． 【详解】解：A、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； B、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； C、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； D、将代入方程组， 可得：， 即是方程组的解，符合题意； 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】利用整体代入思想，先求出的值，再代入变形后的代数式计算． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 整理得， ∴． 4．【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义，需满足：由两个方程组成、含有两个未知数、每个方程均为一次整式方程． 【详解】解：选项A中第二个方程为二次方程，不符合定义； 选项B中含有三个未知数，不符合定义； 选项C中两个方程均含两个未知数且均为一次方程，符合定义． 选项D中第一个方程为二次方程，不符合定义； 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的应用，将方程组的解代入原方程，通过解方程求出未知参数是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，先求出，再求即可判断． 【详解】∵ 方程组的解为 ， 代入 得： ， ∴ ， 代入 得：， ∴ ． 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据糙米与白米的总量为斗，全部糙米换白米后总白米量为斗，列方程组即可． 【详解】解：设糙米原有斗，白米原有斗， ∵糙米、白米共五十斗， ∴， ∵糙米二斗可换白米一斗，将全部糙米换白米后共得白米三十斗， ∴斗糙米换得的白米为斗，加上原有白米斗等于30斗， ∴， 综上，可列方程组为． 故选：A． 8．【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程求解是解题的关键． 设购买笔记本为x本，钢笔为y支，则根据“购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元”列出方程并解答即可． 【详解】解：设购买了笔记本x本，钢笔y支， 根据题意得出：， ∴， ∵x，y为正整数， ∴是正整数， ∴x一定要是5的倍数， ∴当时，， 当时，， ∴有两种购买方案：购买笔记本5本，钢笔4支或购买笔记本10本，钢笔1支； 故选D． 9．【答案】 （答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】根据二元一次方程的定义，结合已知方程的解，构造出符合要求的方程即可. 【详解】解：设所求二元一次方程为（，）， 将代入方程，得， 令，，得， 可得符合条件的二元一次方程为（答案不唯一）． 10．【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：方程是二元一次方程， ， 解得：， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系．根据丝带和贴纸的总件数以及每张书签的固定用料关系列方程组． 【详解】解：设所用丝带总数为x根，贴纸总数为y张， 由两种材料总件数为64件，得； 由每张书签需3根丝带和1张贴纸，且材料刚好用完，得． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】分别从两个表格中找到两个方程的公共解，即可求解． 【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于，的二元一次方程和关于，的二元一次方程的公共解， ∴关于，的二元一次方程组的解是 故答案为：． 【点睛】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，关键是能通过两个表格找到两个方程的公共解． 13．【答案】 【知识点】列代数式、整式的加减运算、根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组求得图③的长方形的长和宽，再计算①②图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图①可知 解得： 由图②可知： 设图①的阴影部分周长为 ，设图②的阴影部分周长为 故答案为 ： 【点睛】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减，用含的代数式表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 14．【答案】(1) (2)，， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】（1）根据长和长的钢管的总长度等于，即可求解； （2）根据，都是正整数，分别把，2，3，4，5，6，7代入（1）中方程，即可求解． 【详解】（1）解：长段，长段，根据题意得： ； （2）解：∵，都是正整数， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴符合条件的解为：，，． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键． 15．【答案】(1) (2)， 【知识点】二元一次方程的定义、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 16．【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 17．【答案】见解析；一班有48人，二班有52人 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，根据“一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%．如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班学生的体育达标率为75%，”，列出二元一次方程组，解出即可求解． 【详解】解：设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，根据题意得： ， 整理得： ， 解得： ， 所以一班有48人，二班有52人； 一班达标人数为（人）， 二班达标人数为（人）， 两班达标人数总和为 （人）， 表格如下所示： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 18．【答案】（1），1；（2）f（t）的最大值为 【知识点】有理数加减混合运算的应用、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、二元一次方程的解 【分析】（1）结合题意，根据有理数加减法和乘除法的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，列二元一次方程并求解，得b-a=6，从而得t的值；根据题意，分别计算f（t），通过大小比较，即可得到答案． 【详解】（1）6=1×6=2×3 ∵6-1>3-2 ∴f(6)=； 9=1×9=3×3 ∵9-1>3-3 ∴f(9)=1 故答案为：，1； （2）由题意可得： ∴b-a=6 ∵1≤a≤b≤9 ∴b=9，a=3或b=8，a=2或b=7，a=1 ∴t为39，28，17 ∵39=1×39=3×13 ∴f(39)=； ∵28=1×28=2×14=4×7 ∴f(28)=； ∵17=1×17 ∴f(17)=； ∵ ∴f(t)的最大值为：． 【点睛】本题考查了有理数运算、二元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加减和乘除运算、二元一次方程的性质，从而完成求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $