第25章《一元二次方程》期中复习讲义——考点总览 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——期中复习考点总览 ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·一元二次方程·概念与一般形式·四种解法·根的判别式·根与系数的关系·实际应用 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 6 · 拔高 6 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习考点总览，共 18 题，全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试（中考、期中、期末、月考、模拟等）的网络试卷原题，逐题标注时间与出处；每题均为无图题，题面、答案与详解均已逐题独立复算核对。 全卷按题型分层编排：选择题 9 道、填空题 4 道、解答题 5 道；例题组（4 选＋1 填＋1 解）、变式组（3 选＋1 填＋2 解）、拔高组（2 选＋2 填＋2 解），每组内均按选择题→填空题→解答题的顺序排布，覆盖全章 5 大考点。 本章是期中卷的运算主战场：概念判定与化一般形式稳定出现在选择填空，解方程与判别式、韦达定理是解答题常客，实际应用是压轴板块——先化一般形式、再选解法、最后验根作答，是全章答题的主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高组跨考点综合，供学有余力的学生冲击期中压轴；本资料为总览定位，后续将按考点逐个推出详细复习资料，可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），五条主线：一概念与一般形式——定义三条件、a≠0 隐含前提；二解法——直接开平方、配方、公式、因式分解，先特殊后一般；三根的判别式——Δ 定根数、逆用求参数；四根与系数的关系——整体代入与反写方程；五实际应用——增长率、传播握手、面积利润与验根。 PART 01 全章知识主线与考点总览（5 大考点） 考点范围：一元二次方程（概念与一般形式——定义、一般形式、根的识别；解法——直接开平方、配方法、公式法、因式分解；根的判别式——Δ 与根的个数、逆用求参数；根与系数的关系——韦达定理及对称变形；实际应用——增长率、传播握手、面积利润与验根）。 主线一、概念与一般形式——三个条件缺一不可 ◆ 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。判断时先化简再核对三个条件——分式方程、二元方程、化简后降次为一次的方程都不是。 ◆ 一般形式与根：＋bx＋c＝0（a≠0）中，是二次项、a 是二次项系数，bx 是一次项、b 是一次项系数，c 是常数项；使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。含参数的方程要保证二次项系数不为 0。 主线二、解法与根的判别式——降次是总方向 ◆ 四种解法与选择顺序：直接开平方法（形如 ＝n，n≥0）→ 因式分解法 → 公式法 → 配方法——先特殊后一般：能开平方先开平方，能提公因式、能分解的先分解，公式法是万能解，配方法服务配方变形与后续最值问题。 ◆ 根的判别式 Δ＝－4ac：Δ＞0 有两个不相等的实数根；Δ＝0 有两个相等的实数根；Δ＜0 没有实数根。正用判根数，逆用由根的个数反求参数取值范围——别忘隐含条件 a≠0。 主线三、根与系数的关系、实际应用——整体代入与验根 ◆ 韦达定理：若 、 是 ＋bx＋c＝0（a≠0，Δ≥0）的两根，则 ＋＝、＝。常见变形：＋＝－2；由两根可反写方程 －(＋)x＋＝0。 一元二次方程考点速记表 考点 核心内容 典型应用 易错点 考点 1 概念与一般形式 三条件：整式方程 · 一元 · 最高次数 2 判定、化一般形式、读系数 化简后二次项系数为 0 考点 2 四种解法（含配方法的应用） 直接开平方 · 配方 · 公式 · 因式分解 选最适宜解法、解方程 公式法符号错、忘算 Δ 考点 3 根的判别式 Δ 与根的个数一一对应 判根数、逆用求参数 漏 a≠0、“不相等”写成 ≥0 考点 4 根与系数的关系 ＋＝，＝ 求对称式的值、反写方程 用韦达忘前提 Δ≥0 考点 5 实际应用 增长率 · 传播 · 握手 · 面积 · 利润 列方程解应用题 忘验根、没舍不合实际值 ◆ 解方程的操作规范：先化一般形式认清 a、b、c（带符号），再按方程特点选解法；用公式法先算 Δ，用因式分解法右边必须先化为 0；书写时 、 分行写，最后代回检验。 四、跨考点综合——判别式、韦达与应用联动 ◆ 换元与整体降次：方程中反复出现同一整体（如 ＋）时，设新元换元，化为一元二次方程求解；解出新元后要回到整体的取值范围检验舍根——＋≥0 时负值必舍。完全平方式具有非负性，配方后由『两个非负数之和为 0，则两个数都为 0』定值，是求值说理题的常用组合。 ◆ 韦达解题的两条路径：求对称式的值——先凑出 ＋ 与 的组合，再整体代入；反写方程——两根之和的相反数作一次项系数、两根之积作常数项。 ◆ 应用建模三步：设——增长率设 x、握手设人数；列——按等量关系列出方程；验——负值、超范围、不合实际的解要舍去，再按题目要求作答。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 一元二次方程是人教版九上第 25 章的核心内容，也是期中卷的运算主战场：概念判定与化一般形式稳定出现在选择填空，解方程是解答题的基本盘，判别式与韦达定理是中档解答题常客，实际应用是压轴板块。 概念与一般形式是全章地基：判定看三条件（整式、一元、最高次数 2），化成一般形式后才能确认二次项系数、一次项系数与常数项——含参数的题先保证 a≠0，这一隐含条件贯穿全章。 解法与判别式是运算能力的主战场：四种解法按『先特殊后一般』选择——直接开平方、因式分解优先，公式法兜底，配方法服务变形；Δ 的符号决定根的个数，正用判根数、逆用求参数，两用都要熟。 韦达定理与实际应用是区分度来源：整体代入求对称式的值是高频小题；增长率、传播握手、面积利润等应用题检验建模能力——列方程之后的验根取舍必须写进卷面。 答题方法（三步法） 第一步·定形式：先把方程化成一般形式 ＋bx＋c＝0，带符号确认 a、b、c；概念判定题先化简再核对三条件；含参数题先保证二次项系数 a≠0。 第二步·选解法：形如 ＝n 的用直接开平方；能提公因式、能十字相乘的用因式分解；系数整齐的用公式法（先算 Δ，Δ≥0 才有实根）；要求配方的两边同加一次项系数一半的平方。 第三步·验作答：解出两根后代回检验；判别式题检查 Δ 与 a≠0 是否同时满足；应用题的根要过实际意义关——负数、超范围、非整数的解要舍去，最后按题目要求完整作答。 注意事项（易错警示） 概念判定第一错点是：“化简后降次”：如 ＋2x＋3＝x(x＋1) 化简后是一次方程；分母含未知数的是分式方程——不化简就判断必错。含参数方程『是』一元二次方程，则二次项系数 a≠0 这一隐含条件不能漏。 公式法的符号与整体是扣分重灾区：x＝，分子上的 ± 与 －b 是两回事，2a 是整体分母——先算 Δ 再代公式，符号错误是公式法失分大头。 用韦达定理先看前提：必须 Δ≥0 才有两实根；＋ 用 －2 整体代入，不要硬解方程浪费时间。 应用题必验根：增长率解出的负值要舍去；握手、单循环问题的解必须是正整数；面积、边长为正——验根与作答是应用题的最后一步，缺一步就扣分。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 概念判定 化简后核对三条件（整式·一元·最高次数 2） 下列方程中，一定是一元二次方程的是 ★☆ 化一般形式 去括号、移项、合并，带符号读系数 把方程化为一般形式，正确的是 ★☆ 解法选择与解方程 先特殊后一般，四法择优 最适宜的方法是／解下列方程 ★★☆ 根的判别式 正用判根数，逆用求参数范围 方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为 ★★☆ 根与系数的关系 整体代入求对称式、由两根反写方程 以 、 为根的一元二次方程是 ★★★ 实际应用 增长率·握手·利润建模，验根作答 求月平均增长率／共盈利多少元 ★★★ 命题边界：本考点考一元二次方程（概念与一般形式——定义三条件、含参数 a≠0；四种解法与选择；根的判别式正逆用；根与系数的关系——整体代入与反写方程；实际应用——增长率、握手、利润与验根）。韦达定理按人教版必学内容处理。题目全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷，逐题标注时间与出处。 PART 03 例题精讲（6 题）· 考点 1～4 例题覆盖：根的定义代入检验（选择·例 1）→ 含参数的一元二次方程定义（选择·例 2）→ 判别式逆用求参数范围（选择·例 3）→ 韦达定理求对称式（选择·例 4）→ 配方恒等变形（填空·嵌空·例 5）→ 判别式与整数参数（解答·例 6）→ 配方法解方程（选择·变 1）→ 增长率应用（选择·变 2）→ 韦达整体代入（选择·变 3）→ 利润建模（填空·嵌空·变 4）→ 判别式恒成立与固定根（解答·变 5）→ 增长率与目标判断（解答·变 6）→ 有实根含参分类（选择·拔 1）→ 构造方程与降次（选择·拔 2）→ 判别式逆用求最小整数（填空·嵌空·拔 3）→ 换元法（填空·嵌空·拔 4）→ 韦达对称式反求参数（解答·拔 5）→ 恒有实根与等腰三角形检验（解答·拔 6）。18 题全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷，逐题标注时间与出处。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教根的定义与代入检验（选择）：把选项逐一代回方程左边，能凑出 4a－2b＋c＝0 的就是方程的根——不解方程也能定根； ◆ 例 2 教含参数的一元二次方程定义（选择）：『是』一元二次方程需二次项系数不为 0 且指数为 2——联立 ｜m－1｜＝2 与 m－3≠0 双条件； ◆ 例 3 教判别式逆用（选择）：『有两个不相等的实数根』即 Δ＞0，解不等式求出范围后逐项检验取值； ◆ 例 4 教韦达对称式（选择）：＋＝－2x₁x₂，先化一般式读系数再整体代入； ◆ 例 5 教配方恒等变形（填空·嵌空）：两边同除二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，比对系数求 b、c 再算 b＋c； ◆ 例 6 教判别式与整数参数（解答）：(1) Δ＞0 定出 k 的范围；(2) 在范围内取整数回代解方程并检验两根。 例 1　选择题 （2025秋·江西南昌·期中）若一元二次方程 a＋bx＋c＝0 中的 a，b，c 满足 4a－2b＋c＝0，则该方程必有根（　　） A．x＝0　　　B．x＝2 C．x＝－2　　　D．x＝±2 例 2　选择题 （2025·河南郑州·期中）若 (m－3)－x－5＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　　） A．1　　　B．3 C．－1　　　D．±3 例 3　选择题 （2025秋·北京大兴区·期中）已知关于 x 的一元二次方程 m－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能为（　　） A．1　　　B．0 C．－1　　　D．2 例 4　选择题 （2025·福建漳州芗城·期中）已知关于 x 的一元二次方程 －6x＋k＋1＝0 的两个实数根分别是 x₁，x₂，且 ＋＝24，则 k 的值是（　　） A．8　　　B．－7 C．6　　　D．5 例 5　填空题 （2025·河南周口西华·月考）将一元二次方程 2＋12x＝5 配方后得到 2＝b，则 b＋c＝________． 例 6　解答题 （2025·山西晋中左权·月考）已知关于 x 的一元二次方程 ＋4x＋2k＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)当 k 取满足条件的最大整数时，求方程的根． PART 04 变式练习（6 题）· 考点 1～5 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1 ～ 变 3 练解法与应用（选择）：变 1 配方法移项加半平方直接开方，变 2 增长率设每轮平均增长率列方程验根，变 3 韦达先求两根之和与之积再整体代入； ◆ 变 4 练利润建模（填空·嵌空）：周获利＝(售价－成本)×销量，销量随售价变化，建模解出后按『不超 35 元』检验取值； ◆ 变 5 练判别式恒成立与固定根（解答）：把 Δ 配方说明恒正，再由求根公式发现一根固定，另一根用两根之和回求； ◆ 变 6 练增长率与目标判断（解答）：先解出每轮增长率，再按该增长率外推下一轮产量与目标比较，最后写结论句。 变式 1　选择题 （2025—2026学年·山东烟台芝罘区·期中）用配方法解方程 －6x－5＝0 时，下列配方结果正确的是（　　） A．＝14　　　B．＝5 C．＝14　　　D．＝5 变式 2　选择题 （2025·山东枣庄滕州·月考）有一个人患流感，经过两轮传染后共有 64 个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染 x 个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．7　　　B．8 C．448　　　D．512 变式 3　选择题 （2025·河南新乡延津·期中）若 a，b 是方程 －2x－2024＝0 的两根，则 a＋b－ab 的值为（　　） A．2024　　　B．2025 C．2026　　　D．2027 变式 4　填空题 （2025·山东德州·期末）为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某种零件的成本为 10 元／个，且规定该零件的售价不能超过 35 元／个．经市场调研发现，该零件每周的销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系 y＝－20x＋1000．若要使该企业每周销售这种零件可获利 6000 元，则每个零件的售价应定为 ________ 元． 变式 5　解答题 （2025·江苏泰州靖江·期中）已知关于 x 的一元二次方程 (n＋2)－4nx＋4(n－2)＝0（n≠－2）． (1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)小明说：“该方程总有一个固定的实数根．”请你判断小明的说法是否正确．若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由． 变式 6　解答题 （2025·福建厦门海沧·期中）芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业．一公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片 100 万个，第三季度生产芯片 144 万个．试解决下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率； (2)按照(1)中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到 175 万个，请通过计算说明该目标能否实现． PART 05 拔高巩固（6 题）· 跨考点综合 跨考点组合命题——换元、配方、判别式、韦达与应用联动，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 拔高组训练要点 ◆ 拔 1 练含参分类（选择）：『有实数根』不保证是二次——k＝0 时是一次方程也有实根，k≠0 时才用 Δ≥0，两路取并集； ◆ 拔 2 练构造方程与降次（选择）：a、b 是同一方程两个不相等的根，先由韦达得 a＋b 与 ab，再用 ＝4a－1 降次化简目标式； ◆ 拔 3 、拔 4 练逆向求参与换元（填空·嵌空）：拔 3 Δ≥0 且 k－1≠0 联立求最小整数；拔 4 设 t＝＋（t≥0）换元，解出后按 t≥0 舍根； ◆ 拔 5 练韦达与参数检验（解答）：(1) 先由 Δ≥0 定 m 范围；(2) 平方和建立 m 的方程，解出双值后由范围舍去一值； ◆ 拔 6 练恒有实根与几何检验（解答）：(1) Δ 配方恒非负说明恒有两实根；(2) 等腰三角形按腰底分类，三边关系检验舍根后定 m。 拔高 1　选择题 （2025·上海徐汇·期中）如果关于 x 的方程 －(2k＋1)x＋1＝0 有实数根，那么 k 的取值范围是（　　） A．k≥－　　　B．k＞－ 且 k≠0 C．k＜－　　　D．k≥－ 且 k≠0 拔高 2　选择题 （2025·河北衡水桃城·期中）若实数 a，b 分别满足 －4a＋1＝0，－4b＋1＝0，且 a≠b，则 2－5a＋3b＋ab 的值为（　　） A．3　　　B．－13 C．－5　　　D．11 拔高 3　填空题 （2025·辽宁营口·期中）若关于 x 的一元二次方程 (k－1)－2kx＋k－3＝0 有实数根，则满足条件的 k 的最小整数值为 ________． 拔高 4　填空题 （2025·上海徐汇·期中）已知 (＋＋3)(＋－3)＝7，则 ＋＝ ________． 拔高 5　解答题 （2025·湖北武汉·月考）已知关于 x 的一元二次方程 －(2m＋3)x＋＋2＝0． (1)若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为 x₁，x₂，且满足 ＋＝19，求实数 m 的值． 拔高 6　解答题 （2026春·浙江杭州西湖区·校级期中）已知关于 x 的一元二次方程 －(m＋3)x＋3m＝0． (1)求证：此方程一定有两个实数根； (2)若 △ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 1，当 △ABC 是等腰三角形时，求 m 的值． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 根的定义与代入检验 例 2 含参数的一元二次方程定义 例 3 判别式逆用求参数范围 例 4 韦达定理求对称式 例 5 配方恒等变形（填空·嵌空） 例 6 判别式与整数参数（解答） 变式 1 配方法解方程 变式 2 增长率应用 变式 3 韦达整体代入 变式 4 利润建模（填空·嵌空） 变式 5 判别式恒成立与固定根（解答） 变式 6 增长率与目标判断（解答） 拔高 1 有实根含参分类 拔高 2 构造方程与降次 拔高 3 判别式逆用求最小整数（填空·嵌空） 拔高 4 换元法（填空·嵌空） 拔高 5 韦达对称式反求参数（解答） 拔高 6 恒有实根与等腰三角形检验（解答） 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：概念判定先化简，含参先保 a≠0；解方程先特殊后一般，公式法先算 Δ；判别式定根数，逆用求参数；韦达整体代入最省时；应用题建模后必验根——负值、超范围的解都要舍去。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——期中复习考点总览 ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·一元二次方程·概念与一般形式·四种解法·根的判别式·根与系数的关系·实际应用 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 6 · 拔高 6 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习考点总览，共 18 题，全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试（中考、期中、期末、月考、模拟等）的网络试卷原题，逐题标注时间与出处；每题均为无图题，题面、答案与详解均已逐题独立复算核对。 全卷按题型分层编排：选择题 9 道、填空题 4 道、解答题 5 道；例题组（4 选＋1 填＋1 解）、变式组（3 选＋1 填＋2 解）、拔高组（2 选＋2 填＋2 解），每组内均按选择题→填空题→解答题的顺序排布，覆盖全章 5 大考点。 本章是期中卷的运算主战场：概念判定与化一般形式稳定出现在选择填空，解方程与判别式、韦达定理是解答题常客，实际应用是压轴板块——先化一般形式、再选解法、最后验根作答，是全章答题的主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高组跨考点综合，供学有余力的学生冲击期中压轴；本资料为总览定位，后续将按考点逐个推出详细复习资料，可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），五条主线：一概念与一般形式——定义三条件、a≠0 隐含前提；二解法——直接开平方、配方、公式、因式分解，先特殊后一般；三根的判别式——Δ 定根数、逆用求参数；四根与系数的关系——整体代入与反写方程；五实际应用——增长率、传播握手、面积利润与验根。 PART 01 全章知识主线与考点总览（5 大考点） 考点范围：一元二次方程（概念与一般形式——定义、一般形式、根的识别；解法——直接开平方、配方法、公式法、因式分解；根的判别式——Δ 与根的个数、逆用求参数；根与系数的关系——韦达定理及对称变形；实际应用——增长率、传播握手、面积利润与验根）。 主线一、概念与一般形式——三个条件缺一不可 ◆ 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。判断时先化简再核对三个条件——分式方程、二元方程、化简后降次为一次的方程都不是。 ◆ 一般形式与根：＋bx＋c＝0（a≠0）中，是二次项、a 是二次项系数，bx 是一次项、b 是一次项系数，c 是常数项；使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。含参数的方程要保证二次项系数不为 0。 主线二、解法与根的判别式——降次是总方向 ◆ 四种解法与选择顺序：直接开平方法（形如 ＝n，n≥0）→ 因式分解法 → 公式法 → 配方法——先特殊后一般：能开平方先开平方，能提公因式、能分解的先分解，公式法是万能解，配方法服务配方变形与后续最值问题。 ◆ 根的判别式 Δ＝－4ac：Δ＞0 有两个不相等的实数根；Δ＝0 有两个相等的实数根；Δ＜0 没有实数根。正用判根数，逆用由根的个数反求参数取值范围——别忘隐含条件 a≠0。 主线三、根与系数的关系、实际应用——整体代入与验根 ◆ 韦达定理：若 、 是 ＋bx＋c＝0（a≠0，Δ≥0）的两根，则 ＋＝、＝。常见变形：＋＝－2；由两根可反写方程 －(＋)x＋＝0。 一元二次方程考点速记表 考点 核心内容 典型应用 易错点 考点 1 概念与一般形式 三条件：整式方程 · 一元 · 最高次数 2 判定、化一般形式、读系数 化简后二次项系数为 0 考点 2 四种解法（含配方法的应用） 直接开平方 · 配方 · 公式 · 因式分解 选最适宜解法、解方程 公式法符号错、忘算 Δ 考点 3 根的判别式 Δ 与根的个数一一对应 判根数、逆用求参数 漏 a≠0、“不相等”写成 ≥0 考点 4 根与系数的关系 ＋＝，＝ 求对称式的值、反写方程 用韦达忘前提 Δ≥0 考点 5 实际应用 增长率 · 传播 · 握手 · 面积 · 利润 列方程解应用题 忘验根、没舍不合实际值 ◆ 解方程的操作规范：先化一般形式认清 a、b、c（带符号），再按方程特点选解法；用公式法先算 Δ，用因式分解法右边必须先化为 0；书写时 、 分行写，最后代回检验。 四、跨考点综合——判别式、韦达与应用联动 ◆ 换元与整体降次：方程中反复出现同一整体（如 ＋）时，设新元换元，化为一元二次方程求解；解出新元后要回到整体的取值范围检验舍根——＋≥0 时负值必舍。完全平方式具有非负性，配方后由『两个非负数之和为 0，则两个数都为 0』定值，是求值说理题的常用组合。 ◆ 韦达解题的两条路径：求对称式的值——先凑出 ＋ 与 的组合，再整体代入；反写方程——两根之和的相反数作一次项系数、两根之积作常数项。 ◆ 应用建模三步：设——增长率设 x、握手设人数；列——按等量关系列出方程；验——负值、超范围、不合实际的解要舍去，再按题目要求作答。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 一元二次方程是人教版九上第 25 章的核心内容，也是期中卷的运算主战场：概念判定与化一般形式稳定出现在选择填空，解方程是解答题的基本盘，判别式与韦达定理是中档解答题常客，实际应用是压轴板块。 概念与一般形式是全章地基：判定看三条件（整式、一元、最高次数 2），化成一般形式后才能确认二次项系数、一次项系数与常数项——含参数的题先保证 a≠0，这一隐含条件贯穿全章。 解法与判别式是运算能力的主战场：四种解法按『先特殊后一般』选择——直接开平方、因式分解优先，公式法兜底，配方法服务变形；Δ 的符号决定根的个数，正用判根数、逆用求参数，两用都要熟。 韦达定理与实际应用是区分度来源：整体代入求对称式的值是高频小题；增长率、传播握手、面积利润等应用题检验建模能力——列方程之后的验根取舍必须写进卷面。 答题方法（三步法） 第一步·定形式：先把方程化成一般形式 ＋bx＋c＝0，带符号确认 a、b、c；概念判定题先化简再核对三条件；含参数题先保证二次项系数 a≠0。 第二步·选解法：形如 ＝n 的用直接开平方；能提公因式、能十字相乘的用因式分解；系数整齐的用公式法（先算 Δ，Δ≥0 才有实根）；要求配方的两边同加一次项系数一半的平方。 第三步·验作答：解出两根后代回检验；判别式题检查 Δ 与 a≠0 是否同时满足；应用题的根要过实际意义关——负数、超范围、非整数的解要舍去，最后按题目要求完整作答。 注意事项（易错警示） 概念判定第一错点是：“化简后降次”：如 ＋2x＋3＝x(x＋1) 化简后是一次方程；分母含未知数的是分式方程——不化简就判断必错。含参数方程『是』一元二次方程，则二次项系数 a≠0 这一隐含条件不能漏。 公式法的符号与整体是扣分重灾区：x＝，分子上的 ± 与 －b 是两回事，2a 是整体分母——先算 Δ 再代公式，符号错误是公式法失分大头。 用韦达定理先看前提：必须 Δ≥0 才有两实根；＋ 用 －2 整体代入，不要硬解方程浪费时间。 应用题必验根：增长率解出的负值要舍去；握手、单循环问题的解必须是正整数；面积、边长为正——验根与作答是应用题的最后一步，缺一步就扣分。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 概念判定 化简后核对三条件（整式·一元·最高次数 2） 下列方程中，一定是一元二次方程的是 ★☆ 化一般形式 去括号、移项、合并，带符号读系数 把方程化为一般形式，正确的是 ★☆ 解法选择与解方程 先特殊后一般，四法择优 最适宜的方法是／解下列方程 ★★☆ 根的判别式 正用判根数，逆用求参数范围 方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为 ★★☆ 根与系数的关系 整体代入求对称式、由两根反写方程 以 、 为根的一元二次方程是 ★★★ 实际应用 增长率·握手·利润建模，验根作答 求月平均增长率／共盈利多少元 ★★★ 命题边界：本考点考一元二次方程（概念与一般形式——定义三条件、含参数 a≠0；四种解法与选择；根的判别式正逆用；根与系数的关系——整体代入与反写方程；实际应用——增长率、握手、利润与验根）。韦达定理按人教版必学内容处理。题目全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷，逐题标注时间与出处。 PART 03 例题精讲（6 题）· 考点 1～4 例题覆盖：根的定义代入检验（选择·例 1）→ 含参数的一元二次方程定义（选择·例 2）→ 判别式逆用求参数范围（选择·例 3）→ 韦达定理求对称式（选择·例 4）→ 配方恒等变形（填空·嵌空·例 5）→ 判别式与整数参数（解答·例 6）→ 配方法解方程（选择·变 1）→ 增长率应用（选择·变 2）→ 韦达整体代入（选择·变 3）→ 利润建模（填空·嵌空·变 4）→ 判别式恒成立与固定根（解答·变 5）→ 增长率与目标判断（解答·变 6）→ 有实根含参分类（选择·拔 1）→ 构造方程与降次（选择·拔 2）→ 判别式逆用求最小整数（填空·嵌空·拔 3）→ 换元法（填空·嵌空·拔 4）→ 韦达对称式反求参数（解答·拔 5）→ 恒有实根与等腰三角形检验（解答·拔 6）。18 题全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷，逐题标注时间与出处。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教根的定义与代入检验（选择）：把选项逐一代回方程左边，能凑出 4a－2b＋c＝0 的就是方程的根——不解方程也能定根； ◆ 例 2 教含参数的一元二次方程定义（选择）：『是』一元二次方程需二次项系数不为 0 且指数为 2——联立 ｜m－1｜＝2 与 m－3≠0 双条件； ◆ 例 3 教判别式逆用（选择）：『有两个不相等的实数根』即 Δ＞0，解不等式求出范围后逐项检验取值； ◆ 例 4 教韦达对称式（选择）：＋＝－2x₁x₂，先化一般式读系数再整体代入； ◆ 例 5 教配方恒等变形（填空·嵌空）：两边同除二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，比对系数求 b、c 再算 b＋c； ◆ 例 6 教判别式与整数参数（解答）：(1) Δ＞0 定出 k 的范围；(2) 在范围内取整数回代解方程并检验两根。 例 1　选择题 （2025秋·江西南昌·期中）若一元二次方程 a＋bx＋c＝0 中的 a，b，c 满足 4a－2b＋c＝0，则该方程必有根（　　） A．x＝0　　　B．x＝2 C．x＝－2　　　D．x＝±2 【答案】C 【解析】根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根．把 x＝－2 代入方程左边恰好得到 4a－2b＋c，与已知条件吻合． 【详解】把 x＝－2 代入方程 a＋bx＋c＝0 的左边，得 a×＋b×(－2)＋c＝4a－2b＋c， ∵4a－2b＋c＝0， ∴左边＝0＝右边， ∴x＝－2 满足方程，即该方程必有根 x＝－2， 故选：C． 例 2　选择题 （2025·河南郑州·期中）若 (m－3)－x－5＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　　） A．1　　　B．3 C．－1　　　D．±3 【答案】C 【解析】『是』一元二次方程要同时满足两个条件：未知数的最高次数是 2，且二次项系数不为 0——两个条件联立解出 m． 【详解】∵(m－3)－x－5＝0 是关于 x 的一元二次方程， ∴｜m－1｜＝2 且 m－3≠0， 由｜m－1｜＝2，得 m＝3 或 m＝－1， ∵m＝3 时 m－3＝0，二次项系数为 0，不合题意，舍去， ∴m＝－1， 故选：C． 例 3　选择题 （2025秋·北京大兴区·期中）已知关于 x 的一元二次方程 m－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能为（　　） A．1　　　B．0 C．－1　　　D．2 【答案】C 【解析】『有两个不相等的实数根』即判别式大于 0；同时一元二次方程暗含二次项系数 m≠0——两个条件联立后逐项筛选． 【详解】∵方程 m－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝－4m×1＞0， 即 4－4m＞0，解得 m＜1， 又∵m 是二次项系数，∴m≠0， ∴m＜1 且 m≠0，四个选项中只有 m＝－1 符合， 故选：C． 例 4　选择题 （2025·福建漳州芗城·期中）已知关于 x 的一元二次方程 －6x＋k＋1＝0 的两个实数根分别是 x₁，x₂，且 ＋＝24，则 k 的值是（　　） A．8　　　B．－7 C．6　　　D．5 【答案】D 【解析】平方和用两根之和与两根之积表示：x₁ 的平方加 x₂ 的平方等于两根之和的平方减去两根之积的 2 倍，整体代入建立关于 k 的方程，解出后回代检验判别式． 【详解】由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝6，x₁x₂＝k＋1， ∴＋＝－2x₁x₂＝36－2(k＋1)＝24， 解得 k＝5， 检验：当 k＝5 时，Δ＝36－4×6＝12＞0，方程有两个实数根，符合题意， 故选：D． 例 5　填空题 （2025·河南周口西华·月考）将一元二次方程 2＋12x＝5 配方后得到 2＝b，则 b＋c＝____26____． 【答案】26 【解析】先把二次项系数化为 1，再两边加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，最后对照 2＝b 分别读出 b 与 c． 【详解】2＋12x＝5， 两边同除以 2，得 ＋6x＝， 配方，得 ＋6x＋9＝＋9， 即 ＝， ∴2＝23， 对照 2＝b，得 c＝3，b＝23， ∴b＋c＝23＋3＝26， 故答案为：26． 例 6　解答题 （2025·山西晋中左权·月考）已知关于 x 的一元二次方程 ＋4x＋2k＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)当 k 取满足条件的最大整数时，求方程的根． 【答案】(1)k＜2；(2)x₁＝－2＋，x₂＝－2－． 【解析】(1)『有两个不相等的实数根』即判别式大于 0，代入系数解不等式；(2)在范围内取最大整数，代回方程后用公式法求解． 【详解】(1)∵方程 ＋4x＋2k＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝－4×1×2k＞0， 即 16－8k＞0， 解得 k＜2； (2)∵k＜2，∴满足条件的最大整数为 k＝1， 此时方程为 ＋4x＋2＝0， Δ＝－4×1×2＝8＞0， x＝＝＝－2±， ∴x₁＝－2＋，x₂＝－2－． PART 04 变式练习（6 题）· 考点 1～5 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1 ～ 变 3 练解法与应用（选择）：变 1 配方法移项加半平方直接开方，变 2 增长率设每轮平均增长率列方程验根，变 3 韦达先求两根之和与之积再整体代入； ◆ 变 4 练利润建模（填空·嵌空）：周获利＝(售价－成本)×销量，销量随售价变化，建模解出后按『不超 35 元』检验取值； ◆ 变 5 练判别式恒成立与固定根（解答）：把 Δ 配方说明恒正，再由求根公式发现一根固定，另一根用两根之和回求； ◆ 变 6 练增长率与目标判断（解答）：先解出每轮增长率，再按该增长率外推下一轮产量与目标比较，最后写结论句。 变式 1　选择题 （2025—2026学年·山东烟台芝罘区·期中）用配方法解方程 －6x－5＝0 时，下列配方结果正确的是（　　） A．＝14　　　B．＝5 C．＝14　　　D．＝5 【答案】A 【解析】移项后两边加上一次项系数一半的平方：一半是 3，平方是 9，右边 5 加 9 得 14，左边凑成 ． 【详解】移项，得 －6x＝5， 两边同时加上 9，得 －6x＋9＝5＋9， 即 ＝14， 故选：A． 变式 2　选择题 （2025·山东枣庄滕州·月考）有一个人患流感，经过两轮传染后共有 64 个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染 x 个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．7　　　B．8 C．448　　　D．512 【答案】D 【解析】传播问题的等量关系：1＋x＋x(1＋x)＝两轮后总数；先解出 x，再算第三轮：两轮后总数乘 (1＋x)． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染 x 个人， 则两轮后共 1＋x＋x(1＋x)＝64 人患流感， 整理，得 ＝64， 解得 x₁＝7，x₂＝－9（不符合题意，舍去）， ∴第三轮传染后共 64＋64×7＝512 人患流感， 故选：D． 变式 3　选择题 （2025·河南新乡延津·期中）若 a，b 是方程 －2x－2024＝0 的两根，则 a＋b－ab 的值为（　　） A．2024　　　B．2025 C．2026　　　D．2027 【答案】C 【解析】由根与系数的关系先求两根之和与两根之积，再整体代入 a＋b－ab，注意积是负数、减负数等于加正数． 【详解】由根与系数的关系，得 a＋b＝2，ab＝－2024， ∴a＋b－ab＝2－(－2024)＝2＋2024＝2026， 故选：C． 变式 4　填空题 （2025·山东德州·期末）为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某种零件的成本为 10 元／个，且规定该零件的售价不能超过 35 元／个．经市场调研发现，该零件每周的销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系 y＝－20x＋1000．若要使该企业每周销售这种零件可获利 6000 元，则每个零件的售价应定为 ____20____ 元． 【答案】20 【解析】利润＝(售价－成本)×销量，把 y＝－20x＋1000 代入建立一元二次方程，解出双值后按“售价不超过 35 元”舍去超范围的一根． 【详解】设每个零件的售价为 x 元，则每周销量为 (－20x＋1000) 个， 由题意，得 (x－10)(－20x＋1000)＝6000， 整理，得 －60x＋800＝0， 解得 x₁＝20，x₂＝40， ∵售价不能超过 35 元，∴x＝40 不符合题意，舍去， ∴每个零件的售价应定为 20 元， 故答案为：20． 变式 5　解答题 （2025·江苏泰州靖江·期中）已知关于 x 的一元二次方程 (n＋2)－4nx＋4(n－2)＝0（n≠－2）． (1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)小明说：“该方程总有一个固定的实数根．”请你判断小明的说法是否正确．若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解；(2)小明的说法正确，这个固定的实数根是 x＝2． 【解析】(1)计算判别式并化简，差的平方结构保证 Δ＝64＞0 与 n 无关；(2)把 x＝2 代入方程左边恰好恒等于 0，再用求根公式求出另一根即可确认． 【详解】(1)∵n≠－2，∴n＋2≠0，方程是一元二次方程， Δ＝－4(n＋2)×4(n－2)＝16－16(－4)＝64＞0， ∴该方程一定有两个不相等的实数根； (2)小明的说法正确． 把 x＝2 代入方程左边，得 4(n＋2)－8n＋4(n－2)＝4n＋8－8n＋4n－8＝0， ∴无论 n 取何值（n≠－2），x＝2 恒为方程的根； 由求根公式，得 x＝＝， ∴x₁＝＝2，x₂＝， ∴该方程总有一个固定的实数根 x＝2，小明的说法正确． 变式 6　解答题 （2025·福建厦门海沧·期中）芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业．一公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片 100 万个，第三季度生产芯片 144 万个．试解决下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率； (2)按照(1)中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到 175 万个，请通过计算说明该目标能否实现． 【答案】(1)平均增长率为 20%；(2)该目标不能实现． 【解析】(1)增长率模型：100＝144，解出后舍去负根；(2)第四季度产量＝第三季度产量×(1＋增长率)，与目标 175 万个比较大小作结论． 【详解】(1)设前三季度生产量的平均增长率为 x， 由题意，得 100＝144， 则 ＝1.44， 1＋x＝±1.2， 解得 x₁＝0.2＝20%，x₂＝－2.2（不符合题意，舍去）， ∴前三季度生产量的平均增长率为 20%； (2)第四季度的生产量为 144×(1＋20%)＝172.8（万个）， ∵172.8＜175， ∴该目标不能实现． PART 05 拔高巩固（6 题）· 跨考点综合 跨考点组合命题——换元、配方、判别式、韦达与应用联动，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 拔高组训练要点 ◆ 拔 1 练含参分类（选择）：『有实数根』不保证是二次——k＝0 时是一次方程也有实根，k≠0 时才用 Δ≥0，两路取并集； ◆ 拔 2 练构造方程与降次（选择）：a、b 是同一方程两个不相等的根，先由韦达得 a＋b 与 ab，再用 ＝4a－1 降次化简目标式； ◆ 拔 3 、拔 4 练逆向求参与换元（填空·嵌空）：拔 3 Δ≥0 且 k－1≠0 联立求最小整数；拔 4 设 t＝＋（t≥0）换元，解出后按 t≥0 舍根； ◆ 拔 5 练韦达与参数检验（解答）：(1) 先由 Δ≥0 定 m 范围；(2) 平方和建立 m 的方程，解出双值后由范围舍去一值； ◆ 拔 6 练恒有实根与几何检验（解答）：(1) Δ 配方恒非负说明恒有两实根；(2) 等腰三角形按腰底分类，三边关系检验舍根后定 m。 拔高 1　选择题 （2025·上海徐汇·期中）如果关于 x 的方程 －(2k＋1)x＋1＝0 有实数根，那么 k 的取值范围是（　　） A．k≥－　　　B．k＞－ 且 k≠0 C．k＜－　　　D．k≥－ 且 k≠0 【答案】A 【解析】题干只说“方程”没说“一元二次方程”——k＝0 时它是一次方程也有实数根，须分类讨论后取并集． 【详解】①当 k＝0 时，方程为 －x＋1＝0，是一元一次方程，有实数根 x＝1，符合题意； ②当 k≠0 时，方程是一元二次方程， Δ＝－4××1＝4k＋1， 由 Δ≥0，得 4k＋1≥0，解得 k≥－， 综合①②，k 的取值范围是 k≥－， 故选：A． 拔高 2　选择题 （2025·河北衡水桃城·期中）若实数 a，b 分别满足 －4a＋1＝0，－4b＋1＝0，且 a≠b，则 2－5a＋3b＋ab 的值为（　　） A．3　　　B．－13 C．－5　　　D．11 【答案】D 【解析】两个等式结构相同，构造方程 －4x＋1＝0，a、b 恰是它的两个根——用根与系数的关系求 a＋b 与 ab，再用 ＝4a－1 降次． 【详解】∵a≠b，且 a，b 都满足方程 －4x＋1＝0， ∴a，b 是方程 －4x＋1＝0 的两个根， 由根与系数的关系，得 a＋b＝4，ab＝1， 由 －4a＋1＝0，得 ＝4a－1， ∴2－5a＋3b＋ab＝2(4a－1)－5a＋3b＋1＝3(a＋b)－1， ＝3×4－1＝11， 故选：D． 拔高 3　填空题 （2025·辽宁营口·期中）若关于 x 的一元二次方程 (k－1)－2kx＋k－3＝0 有实数根，则满足条件的 k 的最小整数值为 ____2____． 【答案】2 【解析】『一元二次方程』暗含 k≠1；『有实数根』即 Δ≥0——两个条件联立求出范围，再取范围内的最小整数． 【详解】∵关于 x 的一元二次方程 (k－1)－2kx＋k－3＝0 有实数根， ∴k－1≠0，且 Δ＝－4(k－1)(k－3)≥0， 即 4－4＋16k－12≥0， 化简，得 16k－12≥0，解得 k≥， 又∵k≠1， ∴满足条件的整数 k 为 2，3，4，……，最小整数值为 2， 故答案为：2． 拔高 4　填空题 （2025·上海徐汇·期中）已知 (＋＋3)(＋－3)＝7，则 ＋＝ ____4____． 【答案】4 【解析】＋ 反复出现，设 t＝＋ 换元，化为一元二次方程 －9＝7，解出后按 t≥0 舍去负根． 【详解】设 t＝＋（t≥0）， 则原方程化为 (t＋3)(t－3)＝7， 整理，得 －9＝7，即 ＝16， 解得 t₁＝4，t₂＝－4， ∵t＝＋≥0，∴t＝－4 舍去， ∴＋＝4， 故答案为：4． 拔高 5　解答题 （2025·湖北武汉·月考）已知关于 x 的一元二次方程 －(2m＋3)x＋＋2＝0． (1)若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为 x₁，x₂，且满足 ＋＝19，求实数 m 的值． 【答案】(1)m≥－；(2)m＝1． 【解析】(1)『有实数根』即 Δ≥0，代入系数解不等式；(2)平方和用 －2x₁x₂ 表示，整体代入建立 m 的方程，解出双值后由(1)的范围舍根． 【详解】(1)∵方程 －(2m＋3)x＋＋2＝0 有实数根， ∴Δ＝－4(＋2)≥0， 即 4＋12m＋9－4－8≥0， 化简，得 12m＋1≥0，解得 m≥－； (2)由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝2m＋3，x₁x₂＝＋2， ∴＋＝－2x₁x₂＝－2(＋2)＝19， 整理，得 ＋6m－7＝0， 解得 m＝1 或 m＝－7， ∵m＝－7 不满足 m≥－，舍去， ∴m＝1． 拔高 6　解答题 （2026春·浙江杭州西湖区·校级期中）已知关于 x 的一元二次方程 －(m＋3)x＋3m＝0． (1)求证：此方程一定有两个实数根； (2)若 △ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 1，当 △ABC 是等腰三角形时，求 m 的值． 【答案】(1)证明见详解；(2)m＝3． 【解析】(1)判别式配方成完全平方式，由非负性得 Δ≥0；(2)先因式分解得两根 3 与 m，再按等腰分三类讨论，每类都要检验三角形三边关系． 【详解】(1)Δ＝－4×1×3m＝＋6m＋9－12m＝， ∵≥0，即 Δ≥0， ∴无论 m 为何值，此方程一定有两个实数根； (2)－(m＋3)x＋3m＝(x－3)(x－m)＝0， 解得 x₁＝3，x₂＝m，即 AB，AC 的长为 3 与 m， ①若 AB＝AC，则 m＝3，此时三边为 3，3，1， ∵3－1＝2＜3，能构成三角形，符合题意； ②若 AB＝BC＝1，则 m＝1 或长为 3 的边等于 1（不成立），即 AB＝1，AC＝3，此时三边为 1，3，1， ∵1＋1＝2＜3，不能构成三角形，舍去； ③若 AC＝BC＝1，同②可得三边为 3，1，1，不能构成三角形，舍去， 综上，m 的值为 3． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 根的定义与代入检验 例 2 含参数的一元二次方程定义 例 3 判别式逆用求参数范围 例 4 韦达定理求对称式 例 5 配方恒等变形（填空·嵌空） 例 6 判别式与整数参数（解答） 变式 1 配方法解方程 变式 2 增长率应用 变式 3 韦达整体代入 变式 4 利润建模（填空·嵌空） 变式 5 判别式恒成立与固定根（解答） 变式 6 增长率与目标判断（解答） 拔高 1 有实根含参分类 拔高 2 构造方程与降次 拔高 3 判别式逆用求最小整数（填空·嵌空） 拔高 4 换元法（填空·嵌空） 拔高 5 韦达对称式反求参数（解答） 拔高 6 恒有实根与等腰三角形检验（解答） 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：概念判定先化简，含参先保 a≠0；解方程先特殊后一般，公式法先算 Δ；判别式定根数，逆用求参数；韦达整体代入最省时；应用题建模后必验根——负值、超范围的解都要舍去。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $