精品解析：新疆师范大学附属中学2026-2027学年度第一学期高一年级十月月考数学试卷

新疆师大附中2026-2027学年度上学期高一年级10月月考 数学 试题卷 考试时间：120分钟 命题：学校统一命题 审核： 第Ⅰ卷（客观题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的最大值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 36 5. 下列命题中错误的有（ ）个 ① ； ②； ③ ； ④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若集合恰有两个子集，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 8. 若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是“，” 10. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时x的值为1 B. 若，则的最大值为-2 C. 函数的最小值为2 D. 若，，则的最小值为 第Ⅱ卷（主观题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围是________． 13. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 14. 若“”是假命题，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，， （1）求，，； （2）若是的充分而不必要条件，求实数m的取值范围. 16. 已知集合，且. （1）求和； （2）若集合，求实数的取值范围. 17. （1）已知，，，求证：. （2）已知，求证：. 18. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． （1）若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ （2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 19. 通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等. （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）利用你写出的式子，求的最小值； （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆师大附中2026-2027学年度上学期高一年级10月月考 数学 试题卷 考试时间：120分钟 命题：学校统一命题 审核： 第Ⅰ卷（客观题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可得出结论. 【详解】命题为特称命题，该命题的否定为“，”， 故选：C. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例和不等式性质即可得答案. 【详解】取，，有，A，B均错误． 因为，，所以，C正确，D错误． 故选:C. 3. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 4. 已知，，则的最大值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 5. 下列命题中错误的有（ ）个 ① ； ②； ③ ； ④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题结合二次式分析判断. 【详解】对于①：因为，故①错误； 对于②：因为，故②错误； 对于③：当时，则，故③错误； 对于④：因为，则，故④正确； 可知命题中错误的有3个. 故选：D. 6. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：集合是集合的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 当时，集合是集合的真子集； 当时，集合是集合的真子集. f故实数的取值范围是. 7. 若集合恰有两个子集，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，集合只有一个元素，即关于的方程只有一个实数根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出.综合可得出实数的值. 【详解】因为集合恰有两个子集，则集合只有一个元素， 即关于的方程只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当，即当时，原方程为，解得，合乎题意； 当，即当时，则， 解得或. 综上所述，或. 故选：D. 8. 若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据自然数集的定义判断A，根据交集、并集的定义判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，根据全称量词命题的否定判断D； 【详解】解：对于A：因为，所以且，故A正确； 对于B：根据，所以且，所以，故B正确； 对于C：由，即，即，即， 当时，，，，所以，即，故必要性成立， 由不一定得到，如时也成立，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D：命题“，”的否定是“，”，故D错误； 故选：ABC 10. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例排除AD，利用不等式的性质与作差法可判断BC，从而得解. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，故，所以，故B正确； 对于C，因为，则，，， 则，所以，故C正确； 对于D，取，满足， 但，即不成立，故D错误. 故选：BC. 11. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时x的值为1 B. 若，则的最大值为-2 C. 函数的最小值为2 D. 若，，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可判断A的正误；将条件整理变形，根据基本不等式，可判断B、C、D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以函数取得最大值时x的值为，故A错误； 选项B：当时，，则， 所以， 因为， 所以，即最大值为-3， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 选项C：， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时不成立，故无法取得最小值2，故C错误； 选项D：因为，， 所以，整理得， 解得或（舍） 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABC 第Ⅱ卷（主观题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】用和表示，即可得到的取值范围. 【详解】， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 所以，的取值范围是. 13. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 【答案】16 【解析】 【分析】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，结合图列式计算即得. 【详解】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人， 只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图， 则，由18人不支持德国，得， 由20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，得，， 则，因此， 所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人. 故答案为：16 14. 若“”是假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】解：∵“”是假命题， ∴，为真命题， 即在上恒成立， 当时，，当且仅当时，等号成立， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，， （1）求，，； （2）若是的充分而不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）先解出集合B，再由集合间的运算性质求解即可; （2）由题意可得，分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ， ，， 又或， . 【小问2详解】 是的充分而不必要条件， ， 当时，有，即； 当时，有，即， 综上所述，实数m的取值范围为. 16. 已知集合，且. （1）求和； （2）若集合，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件可知，是方程的根，即可求，再根据集合中的元素为2，求，并验证互异性，以及； （2）由条件可知，，再分，，和，求得到取值范围. 【小问1详解】 由条件可知，，得， 当时，，得或， 即, 当时，，此时，，不成立， 当时，，此时，，不成立， 当时，，此时，满足，成立， 所以，； 【小问2详解】 由可知，， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，不存在值使方程组成立， 当时，，得， 综上可知，或 17. （1）已知，，，求证：. （2）已知，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用不等式的基本性质证明； （2）利用基本不等式证明. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴. （2）证明：∵， ∴， 同理，，，， ∴， 当且仅当时等号成立， ∴. 18. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． （1）若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ （2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【答案】（1） （2），面积最小为平方米 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列不等式，从而求得的范围. （2）先求得花坛面积的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【小问1详解】 设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积， 因为矩形的面积不大于平方米， 所以，而，所以整理得， 解得，所以的长的取值范围是. 【小问2详解】 矩形花坛的面积， 当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米． 19. 通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等. （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）利用你写出的式子，求的最小值； （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】（1） 当时，若，可得， 即算术平均数与几何平均数的关系为，当且仅当时，等号成立. （2） （3）切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大， 【解析】 【分析】（1）由题意得，当，，即可求解； （2）由（1），当时，，即可求解； （3）设小正方形的边长为，得到盒子的容积为则，利用不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中，当，可得， 可得时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 解：设小正方形的边长为，则盒子高为，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $