精品解析：新疆乌鲁木齐市第二十三中学2026-2027学年第一学期高一第一次月考数学试题

乌鲁木齐市第23中学2026-2027学年第一学期第一次月考 高一数学试题（问卷） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图象中，不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应， 选项ACD中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象， 选项B中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性． 所以B不能作为函数图象． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项CD：例如，满足， 但，，则，故CD错误. 3. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的抽象函数的定义域，结合函数有意义列式计算即可求得. 【详解】函数的定义域是， 则在函数中，由， 解得，且， 所以函数的定义域是. 故选：C 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得集合，， 又阴影部分表示的集合为：在全集中的补集为， 故其真子集的个数为. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】. . 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 6. 若时，则函数的最大值与最小值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，令，则， 所以最大值为，最小值为， 即的最大、最小值分别为. 7. 已知关于的不等式的解集中有且仅有4个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对参数分类讨论求解不等式，再根据解的情况分析可得实数的取值范围. 【详解】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有4个正整数解，故正整数解为1，2，3，4，所以， 所以实数的取值范围是. 8. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理将所求代数式转化为关于的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】∵ 关于的不等式的解集为， ∴ 二次项系数，且、是方程的两个实根， 由韦达定理得：，即，（）， 所以，令，由得，则， 代入上式得： ，根据基本不等式，对任意， 有，当且仅当即时等号成立， 因此，当即时等号成立，故最小值为. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合，表示同一集合 B. 不等式“”成立的一个必要条件是“” C. 已知集合，均为实数集的子集，且，则 D. 若，则函数有最小值 【答案】BC 【解析】 【详解】，，所以不是同一集合，故A错误； 即，“”是“”的必要条件，故B正确； 若，则，则，故C正确； ，则，，即，当且仅当即时等号成立，故有最大值，所以D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 定义在上的函数满足，则 B. 函数的值域为 C. 函数与函数是同一函数 D. 函数的定义域为，且，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项用替换后联立方程组消元即可；B选项根据利用不等式性质即可求解；C选项先求与的定义域再判断；D选项代入求出，再代入即可求出. 【详解】因为，所以（*）， 用替换得，将（*）代入得，故A正确； 因为，所以，故B正确； 定义域为， 定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数，故C错误； 因为，令，则，又，所以， 再令，则，解得，故D正确. 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为5 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：，， ，A选项正确. 对于B：，， . 当且仅当，即时等号成立，B选项错误. 对于C：，当且仅当时等号成立，C选项正确. 对于D：， ，当且仅当时等号成立， ， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题，是假命题．则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，是真命题， 当时，恒成立，满足， 当时，只需， 综上，. 13. 已知是定义在区间上的减函数，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数单调性与定义域列不等式，解不等式，可得答案. 【详解】由题意得，解得， 因为是定义在区间上的减函数，且， 所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为： 14. 已知实数，满足且，则的最小值为_______． 【答案】50 【解析】 【分析】变形给定表达式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由实数满足且，得 ，当且仅当，即时取等号， 由，得，，，所以所求最小值为50. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） ． 【解析】 【分析】(1) 由是的充分不必要条件，可得是的真子集，据此列出不等式组，求解得到实数的取值范围； (2) 根据，先研究其对立情况即，分与两种情况讨论求出参数范围，再取补集，得到最终答案. 【小问1详解】 由“”是“”的充分不必要条件，知是的真子集， ， 要满足�� 是 �� 的真子集，区间必须包住： (不能同时取等) 联立，得，故. 【小问2详解】 ，题目求，先求反面，再取补集， ①，空集是任何集合的子集， ， ②， ，则 ， ， 联立：， 综合①②：当时，即，， 取补集：时， 故. 16. 给定函数，，． （1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； （2），用表示，中的较大者，记．例如，当时，．请在图二中画出函数的图象并求其解析式、单调区间及值域； （3）解不等式． 【答案】（1） （2） 当或时，；当时，； 单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数性质在直角坐标系中画出两个函数的图象即可； （2）通过的定义和图象的性质分段讨论即可求解； （3）利用的解析式分段讨论即可求解． 【小问1详解】 的图象是过点，的直线， 的图象是开口向上、顶点为、与轴交于，两点的抛物线，如图一所示． 【小问2详解】 令，即，整理得， 解得或． 当时，由（1）中的图象可知，此时较大者为，即； 当或时，，即． 所以为分段函数：当或时，；当时，． 函数的图象如图二所示，在与处两段函数值相等（依次为与0），图象连续不断开． 当时，的对称轴为，其在上单调递减； 当时，单调递增； 当时，在上单调递增， 因此的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． 【小问3详解】 ①当时，即， 等价于，不成立，此时无解； ②当或时，即， 整理得，解得或，符合定义域要求， 综上，不等式的解集为． 17. 已知函数且满足． （1）求的值； （2）用定义判断并证明在上的单调性； （3）命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则． 因为，所以，且，即， 所以，即， 故在上单调递增． （3）2 【解析】 【分析】(1) 将代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可求出参数的值; (2) 由第一问求得函数解析式，利用单调性定义证明：设，作差并对差式变形，判断差值正负，从而证明函数在上单调递增； (3) 由第二问可知在上单调递增，求得区间上最大值为；将 “存在，使得成立” 转化为，解不等式求出的最大值. 【小问1详解】 ，． 由，得，故． 此时. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由（2）知在上单调递增，故在上单调递增， 于是在上的最大值为． “存在，使得成立”等价于在上的最大值不小于，即，解得． 所以实数的最大值为2. 18. 某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）求与的关系式； （2）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （3）设备占地面积为多少时，的值最小? 【答案】（1） （2） （3）15平方米 【解析】 【分析】（1）利用条件建立函数模型即可； （2）由条件建立不等关系解不等式即可； （3）利用基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由题意可知， 即； 【小问2详解】 由题意可知，整理得， 解不等式得； 【小问3详解】 由基本不等式知， 当且仅当，即时取得等号， 所以设备占地面积为15平方米时，的值最小. 19. 设． （1）若对于，恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若，对于，成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. （3） 【解析】 【分析】（1）对恒成立的不等式变形并分离参数，利用二次函数及不等式的性质求出最小值即可. （2）等价变形给定不等式，再按参数取值情况分类求出解集. （3）利用一次函数、二次函数性质，结合恒成立求出的关系式，再利用不等式性质求出最大值，进而验证即可. 【小问1详解】 函数，当时，， ，不等式恒成立，而，则， 所以实数m的取值范围是. 【小问2详解】 不等式， 当时，，，解得； 当时，恒成立，； 当时，，而，不等式恒成立，； 当时，不等式为，解得； 当时，，由，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【小问3详解】 不等式 ，依题意，，，不等式恒成立， 由，得函数在上单调递增，则， 即对任意恒成立，令函数， 因此二次函数在上的函数值恒小于等于0，则， 即，于是，当且仅当，即时取等号， 当时，，对任意成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第23中学2026-2027学年第一学期第一次月考 高一数学试题（问卷） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图象中，不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若时，则函数的最大值与最小值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知关于的不等式的解集中有且仅有4个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合，表示同一集合 B. 不等式“”成立的一个必要条件是“” C. 已知集合，均为实数集的子集，且，则 D. 若，则函数有最小值 10. 下列说法正确的是（ ） A. 定义在上的函数满足，则 B. 函数的值域为 C. 函数与函数是同一函数 D. 函数的定义域为，且，若，则 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为5 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题，是假命题．则实数的取值范围是_______． 13. 已知是定义在区间上的减函数，且，则的取值范围是______． 14. 已知实数，满足且，则的最小值为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 给定函数，，． （1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； （2），用表示，中的较大者，记．例如，当时，．请在图二中画出函数的图象并求其解析式、单调区间及值域； （3）解不等式． 17. 已知函数且满足． （1）求的值； （2）用定义判断并证明在上的单调性； （3）命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 18. 某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）求与的关系式； （2）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （3）设备占地面积为多少时，的值最小? 19. 设． （1）若对于，恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若，对于，成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $