第一章 勾股定理（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

第一章 勾股定理 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 勾股定理 考点二 勾股定理证明 考点三 勾股定理逆定理 考点四 勾股数 考点五 勾股定理的应用 考点六 平面展开图-最短路径问题 05 重难题型突破 题型一 勾股定理解三角形 题型二 勾股定理与网格问题 题型三 勾股定理与折叠问题 题型四 勾股定理的实际应用问题 题型五 利用勾股定理求最短路径问题 题型六 勾股定理及逆定理的综合问题 题型七 勾股定理验证及应用问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点集中于勾股定理及其逆定理、实际应用、最短路径与折叠问题。题型覆盖选择、填空、解答，选择填空多考基础计算与勾股数判断，解答题侧重实际建模及与全等、二次根式的跨章节综合。难易度上，基础题考查公式直接套用，中档题考查逆向判断与简单建模，压轴题常涉及立体图形展开、折叠求值，属难点考点-9-15。整体以中档题为主，突出数学建模与分类讨论思想。 识记 准确复述勾股定理（a²+b²=c²）及逆定理的题设与结论，熟记常见勾股数（3,4,5；5,12,13等）及其倍数。 理解 辨析定理与逆定理的区别与互逆关系，明确“已知两边求第三边”时需分类讨论斜边归属，避免漏解。 应用 能将实际问题（如最短路径、折叠、网格距离）转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程求解，并注意验证结果的实际意义。 考点一 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. ⚠️易混易错 直角边与斜边混淆，误用a²+b²=c²；斜边未必是c，需先判断直角；已知两边求第三边时漏解；勾股数如3,4,5的倍数仍成立；实际问题中需构造直角三角形。 考点二 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. ⚠️易混易错 　 误用面积法时拼接图形有重叠或空隙；混淆直角边与斜边，如把c²写成a²+b²时对应错误；证明中未说明四边形为正方形；赵爽弦图里大正方形边长易误认为a+b而非c。 考点三 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. ⚠️易混易错 　 误以为最长边对应直角，应先确定最大边；三边需满足a²+b²=c²才可判定直角三角形；勾股数需为正整数，如1.5、2、2.5不是；逆定理用于判定，原定理用于已知直角求边。 考点四 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 ⚠️易混易错 　 混淆勾股数与勾股定理，需满足a²+b²=c²且为正整数；常见如3,4,5及其倍数，但6,8,10易误认；1,1,√2非勾股数；注意区分直角边与斜边，最长边为斜边。 考点五 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. ⚠️易混易错 　 未判断直角或斜边，盲目套a²+b²=c²；忽略单位统一；实际问题中求最短路径不会展开立体图形；验证三角形是否为直角三角形时，需找最长边作斜边。 考点六 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 ⚠️易混易错 　 展开方式选错，未比较不同展开路径；长方体需分三种情况讨论；忽略“两点之间线段最短”前提；计算时漏用勾股定理；单位不统一；结果未化简或未取最短值。 题型一 勾股定理解三角形 典例1 （25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，，，，则的长是______． 【答案】1 【详解】解：∵，，， ∴. 💡破题要诀 直角三角形，两直角边平方和等于斜边平方。已知两边求第三边，已知一边及特殊角用比例。 迁移应用 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知，在中，，点是的中点，于点，连接．如图，若，，则线段的长为___． 【答案】 【分析】先由勾股定理得斜边，利用面积的两种表示求出高，再由勾股定理得；同理求出的斜边高与，得，最终在中由勾股定理算出． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， 在中，， ∵是中点， ∴， 由图可得，，， 解得， 在中，， ∵，且， ∴， 解得， 在中，， ∴， 在中，． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理，可求，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接， 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得， ，，， ，解得， 则四边形的面积为：（）， 则这块草地的面积为． 3．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据已知条件求出，再根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：， ， ，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，， ， ． 题型二 勾股定理与网格问题 典例2 （25-26八年级下·北京·期中）现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形． 要求： (1)在图①中画出分割线并在图②正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形； (2)求新的正方形的面积． 【答案】(1) (2)新的正方形的面积是5 【分析】（1）根据作图前后，图形的面积保持不变列方程求出分割线长度，逆推画图即可； （2）割补前后图形面积相等． 【详解】（1）解：设新正方形的边长为， 割补前后图形面积相等， ， 解得：， 即新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长， 即分割线长为， 如图所示即为分割线，如图所示为新正方形（见答案）． （2）解：割补前后图形面积相等， 面积为5． 💡破题要诀 网格中连线段，构造直角三角形，横竖为直角边，斜边即所求。算平方和开方，或割补法求面积。 迁移应用 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，点，均为格点，，已知的顶点也在格点上，且，． (1)请在图中画出； (2)直接写出边上的高 ． 【答案】(1)如图，即为所求作的； (2) 【分析】（1）根据勾股定理画出即可； （2）根据等面积法即可得解． 【详解】（1）解：图略， ，， 即为所求作的； （2）解：， ． 2．（25-26八年级下·广东韶关·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为___________． 【答案】(1)，5， (2)是直角三角形，见解析 (3)2 【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用等积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ，，， 故答案为：，5，； （2）解：是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）解：设边上的高为， 的面积， ， ． 3．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)的边_______，_______； (2)在所给的网格图中作出线段，其中点D在格点上，且． 【答案】(1)7；5 (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理作线段，从点A向右平移7个单位长度，再向下移动1个单位长度得到点，连接． 【详解】（1）解：由图形可知，、； （2）解：如图，线段即为所求， 由勾股定理得：． 题型三 勾股定理与折叠问题 典例3 （25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 【答案】7 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 💡破题要诀 折叠找等边等角，设未知数标边长；在直角三角形中用勾股定理列方程，解出即可。 迁移应用 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在对角线上点处，则的面积是 __________ ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，勾股定理求出，由折叠可得，，，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ，，， 由折叠可得，，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是翻折变换和勾股定理，根据翻折的性质和勾股定理列出方程是解答此题的关键．设，则，在中，利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：由折叠得，， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ． 答：的长为． 3．（25-26八年级上·北京·期中）在中，，点是平面内一点（不与点重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，求点到直线的距离． (2)如图2，点在的内部，试探究，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) ①证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ，​ ∴． ② (2)，理由如下： 如图，过A作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明； ②根据全等三角形的性质和折叠的性质求出即可解答． （2）过A作交的延长线于点H，证明，根据折叠的性质即可解答． 【详解】（1）解：①略 ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得，， ∴， ∴， ∵， ∴点B，D，G共线， ∴， 设点G到直线的距离为h， 则， 解得， 即点G到直线的距离为． （2）略 题型四 勾股定理的实际应用问题 典例4 （25-26八年级上·四川巴中·期中） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝的垂直高度下降米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理计算直角边的长度． （1）在中，由勾股定理求的长，结合小明身高得； （2）先求回收线后风筝线的长度，在新直角三角形中用勾股定理求新垂直高度，计算下降距离． 【详解】（1）在中，， 由勾股定理得：（米）． ，米， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：如图，设回收后风筝位于点F， 回收后风筝线长为（米）， 在中，（米）． 风筝下降高度（米）． 答：风筝的垂直高度下降米． 💡破题要诀 先画图建模，标出已知边和直角；设未知边，列勾股方程求解；注意单位统一，结果取实际意义。 迁移应用 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）2025年成都世界运动会（第12届世界运动会）是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事．随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】(1) ，理由如下： ，，， ， ， ， ； (2)小亮的路线更短 【分析】（1）根据，，可得，进而可得； （2）根据可得，根据勾股定理计算的长，然后比较即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算． 【详解】（1）略 （2）解：点D在点C的正北方，点A在B的正南方，， ， ，， ， 路线的长为：， 路线的长为：， ∵ ∴ ∴ ∴， 小亮的路线更短． 2．（25-26八年级下·云南·期中）如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可； （2）先求出的长，再使用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：在中，（米）； （2）解：（米）， ∵滑动不会改变梯子的长度， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底端将向左滑动的距离是米． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点千米处． 题型五 利用勾股定理求最短路径问题 典例5 （25-26八年级下·贵州·期中）如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 【答案】甲方案所修的水渠较短，说明如下： ∵过点C作的垂线，垂足为H， ∵在中，， 在中，， 由题意得，设，则． ， ， 解得， ， ． ， ， ∴甲方案所修的水渠较短． 【分析】设对，，运用勾股定理得到，然后建立方程求解，然后比较和即可． 【详解】解：略． 💡破题要诀 立体展开成平面，两点之间线段最短；构造直角三角形，勾股定理算斜边。 迁移应用 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立体图形的平面展开图与最短路径问题，勾股定理，根据题意正确展开立体图形是解题关键． （1）圆柱的侧面展开图是矩形，用勾股定理计算即可； （2）题干没有规定不能从底面通过，因此可以有两种路径，分别按不同的方式展开，计算出结果后比较大小，得到答案． 【详解】（1）解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程． ∵，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁爬行的最短路径是． （2）解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径． 如图所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开， 此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为， ∴， ∴， 此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小： ， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 2．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，一个体积为的正方体容器内，外表面点A位置上有一只蜘蛛，外表面点B上有一只蚊子． (1)正方体的棱长为________； (2)如果蜘蛛想吃到蚊子，求蜘蛛至少要爬行多少厘米． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了正方体的体积公式，立体图形的表面展开图、两点之间线段最短和勾股定理．熟记正方体的体积公式和理解“两点之间线段最短”是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式计算即可； （2）先将正方体包含点和点的两个相邻外表面展开，转化为长方形，然后利用“两点之间线段最短”，蜘蛛爬行的最短路径为展开图中点到的长度，最后利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该正方体的棱长为； 故答案为：3． （2）解：如图所示，将正方体沿着其一条棱所在的直线展开， 由两点之间线段最短可得，线段为蜘蛛爬行的最短路线． 在中，，， ∴， ∴蜘蛛爬行的最短路径为． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）画出圆柱侧面展开图，求出，，根据勾股定理即可求出； （2）由题意得，米，求出米，根据勾股定理求出米， 米．问题得解． 【详解】（1）解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接． ∵圆柱的底面半径为， ∴， ∵点为中点， ∴． 在中，． 故答案为： （2）解：如图， 由题意得， 在中，米， 当风筝沿方向再上升4米时，米， 在中，米， 米． 故答案为：2 题型六 勾股定理及逆定理的综合问题 典例6 （25-26八年级下·四川南充·期中）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，，，，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长3m． (1)请你帮忙计算出的长度________； (2)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 【答案】(1)12m (2) 【分析】（1）设m，则m，在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可； （2）根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，再根据四边形的面积计算求解. 【详解】（1）解：设m，则m， 在直角三角形中，根据勾股定理可得： ， ∴， 解得， 即的长度是12m； （2）解：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴这片绿地（即四边形）的面积. 💡破题要诀 已知直角用定理求边，已知三边用逆定理判直角。综合题先判直角，再求边长或面积。 迁移应用 1．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，，，，，连接． (1)求的长度； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由勾股定理得，即可求解； （2）由勾股定理逆定理得，由即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ． 2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，． (1)技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据； (2)在（1）的条件下，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 【答案】(1)测量的是点A，C之间的距离；依据见解析 (2)这块地全部种草的费用是1080元 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）连接，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】（1）解：测量的是点A，C之间的距离； 依据是：如果是三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形； （2）解：如图，连接， ∵由（1）得， 在中，， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）， （元）， 答：这块地全部种草的费用是1080元． 3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中，由于某种原因，则C到A的路现在不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)请通过计算说明，是否为从旅游地C到河边的最近的路线． (2)求原来路线的长． 【答案】(1)解：是从旅游地C到河边的最近的路线，理由如下， ，，， ，即， 是直角三角形，， 即的长是点到的距离， 是从旅游地C到河边的最近的路线． (2)千米 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，易得是直角三角形，，再根据“垂线段最短”，即可说明； （2）设千米，则千米，根据勾股定理，列方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设千米，则千米， 由（1）可知，，则， 在中，， 即，解得， ， 则原来路线的长为千米． 题型七 勾股定理验证及应用问题 典例7 （25-26八年级上·上海金山·期中）【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【答案】 （1）证明：由图可知，， ， ， ． （2）如图2所示： 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． （1）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． 【详解】（1）略 （2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形． 💡破题要诀 验证用面积法拼图，应用先找直角三角形；已知两边求第三边，注意分清直角边与斜边。 迁移应用 1．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)；； (2)① (3) 证明：图4可拆分为2个直角边长分别为，的直角三角形和一个直角边为的等腰直角三角形， 图4的面积可表示为， 图4是上底为，下底为，高为的梯形， 图4的面积也可表示为， ， 化简得． 【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键． （1）明确大正方形面积的两种表示方法，通过面积相等建立等式，化简后得到勾股定理； （2）判断图形能否用面积法证明勾股定理，核心是能否用两种方式表示图形面积，进而推导出； （3）图4的图形类型为梯形，用梯形面积公式和“两个直角三角形+一个小三角形”的面积和建立等式，化简得到勾股定理． 【详解】（1）解：大正方形可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 故大正方形的面积可表示为， 大正方形边长为， 大正方形面积也可表示为， ， 化简得． 答：；；． （2）解：图①可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 其面积为， 图①是边长为的正方形， 其面积也可以表示为， ， 化简得， 故图①可证明勾股定理． 图②、③无法由两种面积表达方式推导出勾股定理． 答：①． （3）略 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ． (2) 证明：； ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、掌握利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）由、，得到、，进而得到，根据即可证明结论． （2）利用和列关于a、b、c的等式即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）如图1，在四边形中，对角线、相交于点，且． ①求证：； ②若，，，则的长为______； （2）勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．其中有一类是运用不同方法计算同一图形的面积，从而得到等式，运用等式性质变形证明勾股定理．例如在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽设计“弦图”（图2）进行勾股定理的证明．如图3，已知在四边形中，，，，对角线、相交于点，且，，作，垂足为．根据已知条件，请用图3证明勾股定理：在中，，求证：． 【答案】 （1）①证明：∵， ∴，， ∴， ∴； ② （2）证明：，垂足为M，，垂足为E， ∴， ∴和都是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， 由（1）①的结论得：， ∴， 即． 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理的证明与应用，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． （1）①根据三角形面积公式得，，则，据此即可得出结论； ②在和中，由勾股定理得，，则，在和中，由勾股定理得，，则，由此得，再根据，，即可得的长； （2）先证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，进而得，再由（1）①的结论得，则，据此即可得出结论． 【详解】解：（1）①略 ②∵， ∴均为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：； （2）略 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·北京·期中）在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题已知直角三角形的斜边长和两条直角边的比值，可利用勾股定理设参数求解的长度． 【详解】解：∵ ， ∴可设，，其中， ∵ 在中，，斜边， ∴ 由勾股定理得， ∴ ， 整理得， 即， ∵， ∴， ∴ ． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，若“车”“炮”两枚棋子均放置在格点上，则这两枚棋子所在格点之间的距离为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】通过网格确定水平与竖直距离，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：观察图形可知，“车”与“炮”在水平方向上相距1个单位长度，在竖直方向上相距3个单位长度． ∴这两枚棋子所在格点之间的距离为． 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 故选：D． 4．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 即要挖到该文物至少要挖， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，， ∵点是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 【答案】(1) 如图：即为所求， (2)是直角三角形 【详解】解：（1）略； （2）由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即， （1）中的三角形是直角三角形． 8．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为． (1)求的长度； (2)如果将梯子底端沿向外移动，梯子底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，求梯子顶端沿墙下滑的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理，可得； （2）根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴梯子顶端沿墙下滑． 9．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 10．（25-26八年级上·四川攀枝花·期中）如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等． (1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问） 【答案】(1)见解析如图所示： (2) 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，勾股定理的应用，利用列出方程是解题的关键． （1）作的垂直平分线与交于点，则点即为所作； （2）连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，则点E就是医院的建造位置， （2）解：连接，设，则. ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． “生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是； “生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”3次后，所有的正方形的面积和是， … “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 3．（25-26九年级·吉林·期中）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设绳索的长为尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设绳索的长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）设，则，根据折叠可知，然后在中，由勾股定理建立方程求解即可； （2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的中点， ， 设，则，根据折叠可知， ∵ 在中，， ， 解得， ； （2）根据轴对称的性质可得， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1，此时， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大， 如图2，此时， 综上所述，的取值范围为． 5．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 【答案】(1)3 (2)蜘蛛爬行的最短路径为 (3)竹签的最大长度为 【分析】本题主要考查了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据求一个数的立方根即可得到答案； （2）因为是正方体所以把链接的两个面铺平即可找到最短路径，根据勾股定理求出答案即可； （3）根据题意找到最长的长度，运用两次勾股定理求出答案即可； 【详解】（1）解： ∵ ∴正方体的变成为3， 故答案为：3； （2）解：如图所示，线段AB为蜘蛛爬行的最短路线． 在中， ， ∴蜘蛛爬行的最短路成为 （3）解：在中， ， 在中， ，， 所以竹签的最大长度为 6．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知，，，，设，求的值． 【答案】 （1）如图（2）所示： ，， ， ，， ， ， ， ； （2）新路比原路少；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，三角形的面积，梯形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用，即可得到，然后化简即可证明； （2）设，然后在中利用勾股定理求得，最后利用得出答案； （3）利用，，然后联立求得答案． 【详解】解：（1） 略 （2）设， ， ， ，， ， ，即， ， 新路比原路少； （3），，，，， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 勾股定理 考点二 勾股定理证明 考点三 勾股定理逆定理 考点四 勾股数 考点五 勾股定理的应用 考点六 平面展开图-最短路径问题 05 重难题型突破 题型一 勾股定理解三角形 题型二 勾股定理与网格问题 题型三 勾股定理与折叠问题 题型四 勾股定理的实际应用问题 题型五 利用勾股定理求最短路径问题 题型六 勾股定理及逆定理的综合问题 题型七 勾股定理验证及应用问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点集中于勾股定理及其逆定理、实际应用、最短路径与折叠问题。题型覆盖选择、填空、解答，选择填空多考基础计算与勾股数判断，解答题侧重实际建模及与全等、二次根式的跨章节综合。难易度上，基础题考查公式直接套用，中档题考查逆向判断与简单建模，压轴题常涉及立体图形展开、折叠求值，属难点考点-9-15。整体以中档题为主，突出数学建模与分类讨论思想。 识记 准确复述勾股定理（a²+b²=c²）及逆定理的题设与结论，熟记常见勾股数（3,4,5；5,12,13等）及其倍数。 理解 辨析定理与逆定理的区别与互逆关系，明确“已知两边求第三边”时需分类讨论斜边归属，避免漏解。 应用 能将实际问题（如最短路径、折叠、网格距离）转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程求解，并注意验证结果的实际意义。 考点一 勾股定理 勾股定理：直角三角形 等于 . 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. ⚠️易混易错 直角边与斜边混淆，误用a²+b²=c²；斜边未必是c，需先判断直角；已知两边求第三边时漏解；勾股数如3,4,5的倍数仍成立；实际问题中需构造直角三角形。 考点二 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. ⚠️易混易错 　 误用面积法时拼接图形有重叠或空隙；混淆直角边与斜边，如把c²写成a²+b²时对应错误；证明中未说明四边形为正方形；赵爽弦图里大正方形边长易误认为a+b而非c。 考点三 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是 . 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有 关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. ⚠️易混易错 　 误以为最长边对应直角，应先确定最大边；三边需满足a²+b²=c²才可判定直角三角形；勾股数需为正整数，如1.5、2、2.5不是；逆定理用于判定，原定理用于已知直角求边。 考点四 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：① ② ⚠️易混易错 　 混淆勾股数与勾股定理，需满足a²+b²=c²且为正整数；常见如3,4,5及其倍数，但6,8,10易误认；1,1,√2非勾股数；注意区分直角边与斜边，最长边为斜边。 考点五 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. ⚠️易混易错 　 未判断直角或斜边，盲目套a²+b²=c²；忽略单位统一；实际问题中求最短路径不会展开立体图形；验证三角形是否为直角三角形时，需找最长边作斜边。 考点六 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 ⚠️易混易错 　 展开方式选错，未比较不同展开路径；长方体需分三种情况讨论；忽略“两点之间线段最短”前提；计算时漏用勾股定理；单位不统一；结果未化简或未取最短值。 题型一 勾股定理解三角形 典例1 （25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，，，，则的长是______． 💡破题要诀 直角三角形，两直角边平方和等于斜边平方。已知两边求第三边，已知一边及特殊角用比例。 迁移应用 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知，在中，，点是的中点，于点，连接．如图，若，，则线段的长为___． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 3．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 题型二 勾股定理与网格问题 典例2 （25-26八年级下·北京·期中）现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形． 要求： (1)在图①中画出分割线并在图②正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形； (2)求新的正方形的面积． 💡破题要诀 网格中连线段，构造直角三角形，横竖为直角边，斜边即所求。算平方和开方，或割补法求面积。 迁移应用 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，点，均为格点，，已知的顶点也在格点上，且，． (1)请在图中画出； (2)直接写出边上的高 ． 2．（25-26八年级下·广东韶关·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为___________． 3．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)的边_______，_______； (2)在所给的网格图中作出线段，其中点D在格点上，且． 题型三 勾股定理与折叠问题 典例3 （25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 💡破题要诀 折叠找等边等角，设未知数标边长；在直角三角形中用勾股定理列方程，解出即可。 迁移应用 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在对角线上点处，则的面积是 __________ ． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 3．（25-26八年级上·北京·期中）在中，，点是平面内一点（不与点重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，求点到直线的距离． (2)如图2，点在的内部，试探究，，之间的数量关系并说明理由． 题型四 勾股定理的实际应用问题 典例4 （25-26八年级上·四川巴中·期中） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 💡破题要诀 先画图建模，标出已知边和直角；设未知边，列勾股方程求解；注意单位统一，结果取实际意义。 迁移应用 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）2025年成都世界运动会（第12届世界运动会）是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事．随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 2．（25-26八年级下·云南·期中）如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 题型五 利用勾股定理求最短路径问题 典例5 （25-26八年级下·贵州·期中）如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 💡破题要诀 立体展开成平面，两点之间线段最短；构造直角三角形，勾股定理算斜边。 迁移应用 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 2．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，一个体积为的正方体容器内，外表面点A位置上有一只蜘蛛，外表面点B上有一只蚊子． (1)正方体的棱长为________； (2)如果蜘蛛想吃到蚊子，求蜘蛛至少要爬行多少厘米． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 题型六 勾股定理及逆定理的综合问题 典例6 （25-26八年级下·四川南充·期中）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，，，，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长3m． (1)请你帮忙计算出的长度________； (2)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 💡破题要诀 已知直角用定理求边，已知三边用逆定理判直角。综合题先判直角，再求边长或面积。 迁移应用 1．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，，，，，连接． (1)求的长度； (2)求四边形的面积． 2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，． (1)技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据； (2)在（1）的条件下，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中，由于某种原因，则C到A的路现在不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)请通过计算说明，是否为从旅游地C到河边的最近的路线． (2)求原来路线的长． 题型七 勾股定理验证及应用问题 典例7 （25-26八年级上·上海金山·期中）【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 💡破题要诀 验证用面积法拼图，应用先找直角三角形；已知两边求第三边，注意分清直角边与斜边。 迁移应用 1．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）如图1，在四边形中，对角线、相交于点，且． ①求证：； ②若，，，则的长为______； （2）勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．其中有一类是运用不同方法计算同一图形的面积，从而得到等式，运用等式性质变形证明勾股定理．例如在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽设计“弦图”（图2）进行勾股定理的证明．如图3，已知在四边形中，，，，对角线、相交于点，且，，作，垂足为．根据已知条件，请用图3证明勾股定理：在中，，求证：． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·北京·期中）在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，若“车”“炮”两枚棋子均放置在格点上，则这两枚棋子所在格点之间的距离为（    ） A．3 B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 4．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 6．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 7．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 8．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为． (1)求的长度； (2)如果将梯子底端沿向外移动，梯子底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，求梯子顶端沿墙下滑的距离． 9．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 10．（25-26八年级上·四川攀枝花·期中）如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等． (1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问） 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 3．（25-26九年级·吉林·期中）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 5．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 6．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知，，，，设，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $