28.2.1 中心对称及其性质（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 **28.2.1 中心对称及其性质** 专项练习（约1500字） --- ## 一、知识梳理 **1. 中心对称的定义：** 把一个图形绕某一点旋转 **180°**，如果它能与**另一个图形**重合，就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做**对称中心**。这两个图形中的对应点叫做关于中心的**对称点**。 **2. 中心对称的性质（核心，必记）：** （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过**对称中心**，并且被对称中心**平分**（OA = OA′，A、O、A′ 三点共线）； （2）中心对称的两个图形是**全等图形**； （3）对应线段平行且相等、对应角相等（对应线段**互相平行**或在同一直线上）。 **3. 区别两个易混概念：** - **中心对称**：关于一个点对称（旋转 180°），是两个图形的关系； - **中心对称图形**：一个图形绕自身某点旋转 180° 后能与**自身**重合（如平行四边形、圆、正六边形）。 **4. 找对称中心的方法：** 连接任意一对对称点，对称中心是该线段的中点；或找两对对称点连线的交点。 --- ## 二、基础过关（概念识别） **1. 判断下列说法是否正确：** （1）中心对称是旋转 180° 的特殊情况； （2）中心对称的两个图形是全等图形； （3）中心对称图形只有一个对称中心； （4）线段、圆、平行四边形都是中心对称图形。 **2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　）** A. 等边三角形　B. 平行四边形　C. 正五边形　D. 等腰梯形 **3. 填空：** （1）中心对称的性质中，对称点所连线段被对称中心____； （2）中心对称的两个图形中，对应线段____且____； （3）对称中心一定在两对应点的连线的____（填“中点”或“端点”）上。 --- ## 三、能力提升（性质应用） **4. 如图，点 A 与 A′ 关于点 O 成中心对称。若 OA = 4 cm，则 AA′ = ____cm；若 A、O、A′ 共线，则 O 是线段 AA′ 的____。** **5. 已知 △ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称。填空：** （1）AA′、BB′、CC′ 都经过点____，且都被它____； （2）AB ____ A′B′，∠ABC ____ ∠A′B′C′（填关系）； （3）△ABC ____ △A′B′C′。 **6. 线段 AB 关于点 O 中心对称得到线段 A′B′。若 AB = 6 cm，则 A′B′ = ____cm，且 AB 与 A′B′ 的位置关系是____。** --- ## 四、综合应用（求对称点与坐标） **7. 在平面直角坐标系中，点 A(3, 4) 关于原点 O 中心对称的点的坐标为____；点 B(−2, 5) 关于原点对称的点为____。** **【点拨】** 关于原点对称的坐标规律：(x, y) → (−x, −y)，横纵坐标都变号。 **8. 已知点 P(a, 2) 与 Q(3, b) 关于原点对称，求 a、b 的值。** **9. 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于原点中心对称。若 A(1, 2)、B(3, 1)、C(2, 4)，求 A′、B′、C′ 的坐标，并判断两三角形关系。** **10. 已知两点 A(0, 3)、B(4, 3)，若线段 AB 关于原点对称得到线段 A′B′，求 A′、B′ 坐标。** --- ## 五、易错辨析（改错） **11. 指出错误并改正：** 小芳说：“中心对称图形绕对称中心旋转任意角度都能与自身重合。” **答：** 错误。中心对称图形是绕对称中心旋转 **180°** 才与自身重合；只有旋转 180° 的整数倍（如 180°、360°）能重合，并非任意角度。旋转其他角度一般不能重合。 **12. 判断：等边三角形既是轴对称图形也是中心对称图形。这个说法是否正确？为什么？** **13. 判断：两个关于某点中心对称的图形，对应点连线的交点一定就是对称中心。是否正确？** --- ## 六、挑战题（压轴） **14. 点 A(2, −1)、B(−3, 4)、C(1, 0) 关于原点对称得 A′、B′、C′。** （1）求三点坐标； （2）判断 A′、B′、C′ 与原三点连线都经过哪一点； （3）线段 AA′ 的中点坐标是多少？ **15. 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 关于点 O 成中心对称。若 O 为原点，且 A(1, 2)、B(3, 2)、C(4, 5)、D(1, 4)，求 A′、B′、C′、D′ 坐标，并判断它们构成的图形是什么。** **16. 综合题：** 圆是中心对称图形吗？如果是，对称中心在哪里？请举出三个既是轴对称又是中心对称的图形，以及两个是中心对称但非轴对称的图形（注意：一般平行四边形非轴对称）。 --- ## 参考答案 1.（1）对；（2）对；（3）对（中心对称图形对称中心唯一）；（4）对。 2. B（平行四边形绕对角线交点旋转 180° 与自身重合；A、C、D 非中心对称）。 3.（1）平分；（2）平行、相等；（3）中点。 4. AA′=8 cm；O 是 AA′ 的中点。 5.（1）O，平分；（2）AB∥A′B′，∠ABC=∠A′B′C′；（3）≌。 6. A′B′=6 cm；AB∥A′B′（或在同一直线）。 7. A′(−3, −4)；B′(2, −5)。 8. 由关于原点对称：(a,2)→(−3,−b)，故 a=−3，b=−2。 9. A′(−1,−2)、B′(−3,−1)、C′(−2,−4)；△A′B′C′≌△ABC。 10. A′(0,−3)、B′(−4,−3)。 12. 不正确。等边三角形是轴对称图形，但绕其中心旋转 180° 不能与自身重合（转 120° 才重合），故**不是**中心对称图形。 13. 正确，对称中心是所有对称点连线的交点。 14.（1）A′(−2,1)、B′(3,−4)、C′(−1,0)；（2）都经过原点 O；（3）AA′ 中点 = 原点 (0,0)。 15. A′(−1,−2)、B′(−3,−2)、C′(−4,−5)、D′(−1,−4)，构成与原四边形全等的图形。 16. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心；既是轴对称又是中心对称的：圆、正方形、正六边形；是中心对称但非轴对称的：一般平行四边形（非菱形/矩形）、中心对称的“Z”字形图形。 --- **说明：** 本练习紧扣 28.2.1「中心对称及其性质」——旋转 180° 的定义、对称点连线被对称中心平分、对应线段平行且相等、中心对称与中心对称图形的区分、原点对称坐标规律，基础到综合共 16 题、约 1500 字。需要我把「中心对称」「中心对称图形」「轴对称」三组概念做一张对比表，或继续下一节 28.2.2 中心对称图形吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 28.2.1 中心对称及其性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十八章 旋转 1 2 3 理解中心对称的定义，能准确识别两个图形是否成中心对称，指出对称中心与对称点； 掌握中心对称的性质，能运用性质进行简单的推理与计算； 经历 “观察实例 — 抽象概念 — 探究性质 — 作图应用” 的全过程，体会从一般到特殊的研究方法. 学习目标 问题 上节课我们学习了如何绘制旋转后的图形，你还记得绘制旋转图形的步骤吗？ ① 定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角； ② 找：找出原图形的关键点（如顶点）； ③ 作：按照旋转性质，逐一作出各关键点的对应点； ④ 连：按原图形的顺序顺次连接对应点，得到旋转后的图形。 如果旋转角恰好是 180°，这会是一种怎样的特殊旋转？它又有哪些独特的性质？这就是本节课要学习的——中心对称. 情境导入 3 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2：如图，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？ 知识点 1：认识中心对称 A B C O △OCD绕点O旋转180°后，能够与△OAB完全重合， 点C与点A重合，点D与点B重合。 D 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 —— 中心对称。 知识点 1：认识中心对称 你能说说这两个旋转的共同点吗？ 都在绕着旋转中心点O旋转180°后完全重合． 议一议 O A B C O D 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心(简称中心). 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. A B D C O △AOB与 △COD关于点 O 中心对称 O 两只小鱼关于点 O 成中心对称 知识点1 认识中心对称 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点1 认识中心对称 中心对称含义： ①旋转角度固定；②描述两个图形的位置关系。 如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称 ，则点____是对称中心，点A与点_____是对称点， 点B与点____是对称点. B C A D O O C D 练习 ①能找到一个对称中心； ②旋转角为180°； ③这两个图形旋转后能重合. 中心对称三要素 28.2-1 中心对称及其性质 例1 判断题 ： （1）一个图形绕点旋转 90° 后与另一个图形重合，这两个图形成中心对称。（ ） （2）中心对称描述的是一个图形自身的特征。（） 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解： 2)中心对称特指两个独立图形旋转 180° 后重合的位置关系，一个图形自身旋转 180° 重合叫中心对称图形，二者概念不同。 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例2、请观察下图，图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是另一个旋转得到的？ 存在，最上面的一个三角形旋转180°后，得到中间位置的三角形. 28.2-1 中心对称及其性质 1. 返回 [广州中考]下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是(　　) C 举一反三 10 返回 2. [保定校级期中]如图，△ABC与△DEF成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是(　　) A．点A，D是对应点 B．∠ACB＝∠DEF C．BO＝EO D．AB∥DE B 举一反三 返回 3. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线的交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则该点是(　　) A．点G B．点H C．点M D．点N C 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：中心对称的性质 A′ C′ B′ . O A C B 图 28.2-3 ∵点 A′是点 A 绕点 O 旋转180°后得到的， ∴线段 OA 绕点 O 旋转180°得到线段 OA′， ∵旋转角∠AOA′= 180° ∴三点共线，即 点 O 在线段 AA′上 （旋转前后对应点到中心距离相等） ∴ 点平分即点O是线段 AA′的中点. 同理，点在线段、上， 且，， 点分别是、的中点. 如图 28.2-3，和关于点对称，对称中心与对称点连线有什么关系？点与、呢？ 180° 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 从上面的分析能中得到什么结论？ 知识点 2：中心对称的核心性质 中心对称是特殊的旋转，具有旋转的一切特征 中心对称的性质 1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分 注意:全等的两个图形不一定中心对称 即：对称中心在对称点的连线上， 对称中心到对称点的距离相等. 2.中心对称的两个图形是全等图形. 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：中心对称的性质 例4.如图， 和关于点 成中心对称. （1）找出它们的对称中心 ； 解：（1）如图，连结AD、CF交于点 即为所求. （2）若，，，求 的周长； （3）连接，，试判断四边形 的形状，并说明理由. E D F A C B . O 点 即为所求 （2）和关于点 成中心对称， ， ，， ， 的周长为 . 解：四边形是平行四边形， 理由如下： 和关于点 成中心对称， ，， 四边形 是平行四边形. 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：中心对称的性质 确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. 根据中心对称的性质如何确定"对称中心"呢？ 议一议 28.2-1 中心对称及其性质 核心关键词：一条直线 · 翻转 · 折叠 中心对称与轴对称有什么区别 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称。 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。 中心对称是“旋转”重合，轴对称是“翻折”重合，二者都是图形变换的重要形式。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：中心对称的性质 议一议 轴对称 中心对称 核心关键词：一个点 · 旋转 · 180° 本质是图形的翻折变换，强调沿直线的镜像反射，对应点连线被对称轴垂直平分。 本质是图形的旋转运动，强调绕点的中心变换，对应点连线交于对称中心。 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 多边形由顶点决定形状，只需要作出三角形三个顶点关于点的对称点，再顺次连接三个对称点，就能得到对称三角形。 给定定点和，如何画出与关于点中心对称的？ 知识点 3：作已知图形关于定点的中心对称图形 A O B C 第二步：依次连接A′B′，B′C′，C′A′. 解：第一步：作出A，B，C三点关于点O的对称点 A′，B′，C′； C′ A′ B′ △A′B′C′ 即为所求作的图形. 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例5.选择点为对称中心，作出与关于点对称的。 A O B C C′ A′ B′ 作法： 1.连接，向的延长线上截取线段， 使，得到点关于点的对称点； 2.用完全相同的方法，分别作出点的 对称点、点的对称点； 3.依次用实线连接、、， 即为所求的对称三角形。 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例5.选择点为对称中心，作出与关于点对称的。 A O B C C′ A′ B′ A B C 易错点重点强调 连接顶点与对称中心的辅助必须用虚线，最终对称图形轮廓用实线； 必须向线段延长线截取，不能反向截取，否则无法实现旋转 180°； 截取长度必须相等，保证，图形全等。 28.2-1 中心对称及其性质 作已知图形关于某一点对称的图形的一般步骤： 步骤 2【连中心】： 连接图形每一个顶点与对称中心，画虚线辅助线； 步骤4【连接成图】： 用实线顺次连接全部对称点，得到完整中心对称图形。 步骤 3【延长截取】： 延长关键点与中心的连线，在延长线上截取线段，使截取长度等于关键点到中心的距离，确定对称点 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 记忆口诀 旋转一八零， 两图能重合； 中点是中心， 连线必平分； 作图三步走， 连截再相连。 步骤1【定关键点】： 确定原图形的关键点，优先选择顶点、端点、交点等特殊位置的点 28.2-1 中心对称及其性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例6.如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答下列问题： （1）这两个图形成中心对称吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． （2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点． 解：作法如下： ①延长AD到A′，并且使得DA′=AD. ②同样可得到：BD=B′D，CD=C′D. ③顺次连结A′B′、B′C′、C′D、DA′， 则四边形A′B′C′D即为所求的四边形(如图所示)。 C′ A′ B′ （1）根据中心对称的定义便知这两个图形成中心对称， 对称中心是D点． （2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合． 28.2-1 中心对称及其性质 返回 4. 如图，已知△ABC与△ADE关于点A中心对称，若AC＝3 cm，则CE的长为________cm. 6 举一反三 [教材P100例1变式]如图，已知△ABC和△A″B″C″及点O. (1)画出△ABC关于点O对称的△A′B′C′； (2)若△A″B″C″与△A′B′C′关于点O′对称，请确定点O′的位置． 返回 5. 解：(1)如图，△A′B′C′即为所求． (2)如图，点O′即为所求． 举一反三 如图，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N，AN，BC的延长线相交于点P，连接BN.下列三角形中，与△NCP成中心对称的是(　　) A．△NCB B．△BMN C．△AMN D．△NDA 返回 6. D 举一反三 返回 7. 如图，BO是等腰三角形ABC(AB＝BC)的底边的中线，AC＝2，BO＝ ，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是________． 举一反三 返回 8. 如图，△ABC和△DEF关于点O中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若AB＝6，AC＝5，BC＝4，则△DEF的周长是________； 解：如图，点O即为所求． 15 举一反三 (3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由． 解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下： ∵△ABC和△DEF关于点O中心对称， ∴OA＝OD，OC＝OF， ∴四边形ACDF是平行四边形． 返回 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 中心对称 ① 成中心对称的两个图形全等 定义 性质 两大应用 一图绕定点旋转180°，与另一图完全重合 ② 任意一组对称点的连线，经过对称中心，且被对称中心平分 相关名词：对称中心（定点O）、对称点（重合对应点） 应用1：已知成对对称图形，找对称中心——连两组对应顶点，交点为中心 应用2：已知图形+对称中心，作对称图形（三步法） 1. 连顶点与中心； 2. 延长截取等长得对称点； 3. 顺次连接对称点 28.2-1 中心对称及其性质 谢谢观看 THANKS 2 $