数列中的奇偶项问题讲义-2027届高三数学一轮复习

数列中的奇偶项问题 一、知识点梳理 （一）什么是奇偶项问题 奇偶项问题，指递推或通项要按 的奇偶分情况讨论的数列问题。常见三种形式：通项本身分段，如 ；递推式含 这类变号因子；递推的系数或常数项分段给出。 解法的核心是把它拆成两个子列：奇数项子列 与偶数项子列 。两个子列往往各自等差或等比。 写递推式要交代 的取值，如 （ 为正整数）、（）。 判断是否要分奇偶看两点：式中是否出现 ；递推跨度是否为 2（把 与 联系，两者同奇偶）。 （二）间隔项递推的通用解法 对 ，把 换成 得 ，两式相减消去 ，得 。两个子列各是二阶差分为常数的数列，变化规律一致。 对 ，直接分奇偶： 为奇数时得 ，奇数项作差； 为偶数时得 ，偶数项作和。 与 同奇偶，所以递推中下标的奇偶性不变。没有额外条件时，两个子列可以完全独立处理。 若只给 ，偶数项会含未知的 。多数题只要求 或某个定值，未知量在求和中会抵消，先把 用 表示，再看系数是否为零。 （三）求和的奇偶搭配技巧 求和的核心是配对。，每对之和往往很简单； 先算 再减去 ，或用 个奇数项加 个偶数项。 含 的和式尤其要配对。如 ， 为奇数时 ，为偶数时 ，把 合并常能消去中间项。 裂项相消也常用：。 求和完成后取 按定义累加回代核对，奇偶公式各取一个值验算。 （四）常见易错点 下标与项数张冠李戴： 是前 项、 对； 含 个奇数项、 个偶数项。公式统一写成含 的形式再回代。 常数只说明奇数项、偶数项各自等差，两个子列合起来是"隔项等差"，不是整个数列等差。 偶数项含未知 时不要轻率判无解，很多题只求 ，未知量会在求和中抵消。 含 的项裂项时符号随 变化，分奇偶两组分别裂项，切勿中途丢符号。 二、方法导语 数列中的奇偶项问题，解题主线只有一条：把数列拆成奇数项子列与偶数项子列，分别找出各自的规律，再回到"分奇偶求和"这个终点。遇到 或跨度为 2 的递推式，就要立刻想到分奇偶。 具体运算时，一阶递推用"换 相减"消去中间项得到子列的关系；二阶递推直接按 的奇偶拆成两个式子；求和一律先配对再累加， 算完再用 。每步算完取小值回代核对。 做完一题自查三件事：递推式中的 取值范围是否交代清楚；求 时是否漏算或重算了一项；偶数项含未知 时，是否确认过它在求和中的系数真的为零。 三、典型例题 例1　一阶递推（相邻两项之和为 n 的多项式） 在数列 中，已知 ，，求 。 ①换 n 写出相邻式　把递推式 中的 换成 ，得 。 ②两式相减消去 a_{n+1}　两式相减得 ，这说明奇数项、偶数项各自构成公差逐步增加的数列。 ③分奇偶写出通项　对奇数项 、偶数项 分别累加 ，相加后化简即可。 注：这是"间隔项递推"的标准模型。 与 同奇偶，所以 把整个数列拆成了两个彼此独立的子列。 【答案】（或 ） 由 ①，把 换成 得 ②。 ②①得 ③。 取 ，由①得 。 由③，奇数项 满足 ，累加得 。 同理偶数项 满足 ，累加得 。 把 （ 为奇数）代入 ，得 ；把 （ 为偶数）代入 ，得 。 所以 也可统一写成 。 验算：由所得公式得 ，，，，而 ，，，均满足 。 变式1　换 n 相减求通项 在数列 中，已知 ，，求数列 的通项公式。 【答案】（ 为奇数），（ 为偶数）（即 ） 由 ①，把 换成 得 ②。 ②①得 ，所以奇数项子列、偶数项子列都是公差为 的等差数列。 先由①取 得 。 于是奇数项 ；偶数项 。 对奇数项令 ，则 ，故 ；对偶数项令 ，则 ，故 。 所以 验算：，，；，；，，均一致。 例2　分段数列求和：分奇偶两组累加 设 求数列 的前 项和 。 ①把奇数项的和算出来　奇数项 时 ，是首项为 、公差为 的等差数列，前 项和为 。 ②把偶数项的和算出来　偶数项 时 ，是首项为 、公比为 的等比数列，前 项和为 。 ③分 S_{2m} 与 S_{2m-1} 两类汇总　 为偶数时 ； 为奇数时先算 再减去 。 注：分段给出的通项，本质就是两个子列各求各的和。 为奇数时要特别注意项数的分配： 项里有 个奇数项、 个偶数项。 【答案】（即 为偶数时 ， 为奇数时 ） 当 （奇数）时，。把奇数项按 排列：，这是首项 、公差 的等差数列。 当 （偶数）时，。把偶数项按 排列：，这是首项 、公比 的等比数列。 设 。奇数项与偶数项各有 项，于是 。 设 。此时奇数项有 项、偶数项有 项，故 。 因为 ，所以 。 验算：取 ，，而 ，一致。 再取 ，，而 ，一致。 变式2　交错型数列的求和 已知等差数列 满足 ，，数列 满足 ，求数列 的前 项和。 【答案】 因为 是首项 、公差 的等差数列，所以 ，。 。当 为奇数时 ，； 当 为偶数时 ，。 把相邻两项配对： 。 前 项共 对，所以 。 验算：，，，而 ，一致。 例3　一阶递推（相邻两项之和为一次式） 在数列 中，已知 ，（），求数列 的通项公式。 ①换 n 相减得间隔关系　把 中的 换成 ，得 ，两式相减得 。 ②两个子列都是等差数列　由 知奇数项子列与偶数项子列都是公差为 的等差数列。先由 求出 。 ③分别写出两个子列的通项　，，再把 换成 的表达式。 注：这个递推是 ，合并两项之和为一次式，所以间隔项之差 恰为常数 。注意公差是 而不是 —— 与 相差两个下标，但差的值就是 。 【答案】 由 ①，把 换成 得 ②。 ②①得 。 这说明奇数项 是公差为 的等差数列，偶数项 也是公差为 的等差数列。 在①中取 ，得 。 于是 ；。 对奇数项，令 ，则 ，。 对偶数项，令 ，则 ，。 所以 验算：由公式得 ，，，；，，均成立。 变式3　间隔项递推讨论子列 在数列 中，已知 ，（），求 ，， 及数列 的奇数项子列的通项。 【答案】（即 ，，） 在 中，当 为奇数时 ，得 ； 当 为偶数时 ，得 。 所以奇数项子列满足 （ 奇），是公差为 的等差数列，且首项 。 于是 。 所以 ，，，奇数项子列的通项为 。 验算：；取 时由 得 ；取 时由 得 ，与公式一致。 例4　含变号因子的递推与分段求和 已知数列 满足 ，（1）记 ，写出 ，，并求数列 的通项公式；（2）求 的前 项和。 ①先按规则算出前几项　； 奇，； 偶，； 奇，；依次写出前若干项寻找规律。 ②抓子列 b_{n}=a_{2n}　，。考察 ，它等于 ，两段分别由奇、偶规则给出，可得定值。 ③用 b_{n} 求前 20 项和　前 项含 个奇数项与 个偶数项，配对成 对，每对之和恰为等差，直接求和。 注：题中" 为奇数时 "表示"从奇数项到偶数项加 "，" 为偶数时 "表示"从偶数项到奇数项加 "。把 拆成相邻两项之差的和，是解这类题的关键一步。 【答案】（1），，；（2）。 （1）由 及递推式逐项算得： ，，，，， 所以 ，。 考察 。 因为 是偶数，由递推式 ，故 ； 因为 是奇数，由递推式 ，故 。 于是 ，所以 是首项 、公差 的等差数列，。 （2）前 项中，奇数项为 （共 项），偶数项为 （共 项）。 把每对相邻两项合并：。由 得 。 又 ，，故 。 于是 。 验算：，而 ，一致。 变式4　子列成等比型递推 已知数列 满足 ，。（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】（1）；（2）。 （1）由 得 。 令 ，则 ， 是首项 、公比 的等比数列。 所以 ，。 （2）由（1）得 ， 是首项 、公比 的等比数列。 所以前 项和 。 验算： 时 ，； 时 ，，一致。 例5　等比型子列与裂项求和 已知数列 的前 项和为 ，且 对任意正整数 都成立。（1）设 ，求 的通项公式；（2）设 ，求 的前 项和 。 ①用 S_{n} 消元求 a_{n}　写出 （），与原式相减消去 ，得 与 的等比关系；再由 求出 。 ②化对数得 b_{n}　，故 ，是等差数列。 ③裂项求和　把 拆开：利用 ，可化为 （对含 时按正负配对）。 注：含 的条件式，一律用"作差消 "的手法处理。本题第（2）问的裂项需要先把分子 拆成 ，这是分母为 型裂项的常见变形。 【答案】（1）；（2）。 （1）由 ①。当 时， ②。 ①②得 ，所以 （）。 在①中取 ，得 ，解得 。 所以 是首项 、公比 的等比数列，。 于是 。 （2）因为 ，所以 ， 。 注意到 ，于是 。 而 ，代入整理得 。 所以 。 记 ，则 。 把这写成 的形式，即可逐项相消，求和得 。 即 。 验算： 时 ，公式给出 ，一致。 变式5　分段递推 + 子列求和 已知数列 满足 ，设 。（1）求 的通项公式；（2）求 的前 项和。 【答案】（1）；（2）。 （1）由 及递推式算出：，，，， 所以 。 考察 。 因为 是偶数，由递推式 ，故 ； 因为 是奇数，由递推式 ，故 。 于是 ， 是首项 、公差 的等差数列，。 （2）把前 项两两配对，第 对为 。 由 ，又 ，故 。 所以 。 于是 。 验算：，而 ，一致。 四、巩固练习 1．已知函数 ，且 ，则 ______。 【答案】 因为 ，所以 。 于是 。 当 为奇数时 ，，； 当 为偶数时 ，，。 把相邻两项配对：。 前 项共 对，所以 。 验算：；；，与 时公式 一致。 所以答案为 。 2．在数列 中，已知 ，，求数列 的前 项和 。 【答案】 在 中，当 为奇数时 ，得 ；当 为偶数时 ，得 。 对下标取 （奇），得 ①； 对下标取 （偶），得 ②。 ②①得 。由 ，取 得 ；再取 得 ，依次类推，所以奇数项恒为 。 再由①得 。 于是前 项含 个奇数项、 个偶数项， 。 验算：，而从①取 得 ，且 与递推式一致。 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 再加上 ；若是偶数，就将该数除以 。反复进行上述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈 ，这就是数学史上著名的"冰雹猜想"。例如：正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共经过 个步骤变成 （简称为 步"雹程"）。"冰雹猜想"可表示为数列 ：（ 为正整数），。若 ，则 的所有可能取值之和为______。 【答案】 由 ，按递推式反推 的所有可能值。先看 的可能值： 若 为偶数且 ，则 ； 若 为奇数且 ，则 ，无正整数解。所以 。 再看 ：若 为偶数且 ，则 ；若 为奇数且 ，则 。所以 或 。 继续反推 ： 由 ： 偶，由 得 ； 奇，由 得 （舍）。故 。 由 ： 偶，由 得 ； 奇，由 得 （舍）。故 。 反推 ： 由 ： 偶，得 ； 奇，由 得 。故 或 。 由 ： 偶，得 ； 奇，由 无解。故 。 反推 ： 由 ： 偶，得 ； 奇，由 得 （舍）。故 。 由 ： 为偶时 ，得 ； 为奇时 ，得 （舍）。故 。 由 ： 偶，由 得 ； 奇，由 得 。故 或 。 综上， 的所有可能取值为 ，它们的和为 。 逐条正推验算：：，，成立；：，，成立；：，，成立；：，，成立。所以答案为 。 4．已知数列 满足 ，，且 （）。（1）令 ，判断 是否为等差数列，并求数列 的通项公式；（2）记数列 的前 项和为 ，求 。 【答案】（1） 是首项 、公差 的等差数列，；（2）。 （1）。当 为奇数时，，，即 ，得 。 所以 是公差为 的等差数列。由 ，得 ，故 是等差数列。 首项 ，所以 。 （2）当 为偶数时，，，即 ，得 。 所以 是公比为 的等比数列。由 ，得 ，即偶数项 。 于是前 项和 拆成奇数项与偶数项之和：。 奇数项 ，。 偶数项 ，。 所以 。 验算： 时 ，公式给出 ，一致； 时 ，公式给出 ，一致。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列中的奇偶项问题 一、知识点梳理 （一）什么是奇偶项问题 奇偶项问题，指递推或通项要按 的奇偶分情况讨论的数列问题。常见三种形式：通项本身分段，如 ；递推式含 这类变号因子；递推的系数或常数项分段给出。 解法的核心是把它拆成两个子列：奇数项子列 与偶数项子列 。两个子列往往各自等差或等比。 写递推式要交代 的取值，如 （ 为正整数）、（）。 判断是否要分奇偶看两点：式中是否出现 ；递推跨度是否为 2（把 与 联系，两者同奇偶）。 （二）间隔项递推的通用解法 对 ，把 换成 得 ，两式相减消去 ，得 。两个子列各是二阶差分为常数的数列，变化规律一致。 对 ，直接分奇偶： 为奇数时得 ，奇数项作差； 为偶数时得 ，偶数项作和。 与 同奇偶，所以递推中下标的奇偶性不变。没有额外条件时，两个子列可以完全独立处理。 若只给 ，偶数项会含未知的 。多数题只要求 或某个定值，未知量在求和中会抵消，先把 用 表示，再看系数是否为零。 （三）求和的奇偶搭配技巧 求和的核心是配对。，每对之和往往很简单； 先算 再减去 ，或用 个奇数项加 个偶数项。 含 的和式尤其要配对。如 ， 为奇数时 ，为偶数时 ，把 合并常能消去中间项。 裂项相消也常用：。 求和完成后取 按定义累加回代核对，奇偶公式各取一个值验算。 （四）常见易错点 下标与项数张冠李戴： 是前 项、 对； 含 个奇数项、 个偶数项。公式统一写成含 的形式再回代。 常数只说明奇数项、偶数项各自等差，两个子列合起来是"隔项等差"，不是整个数列等差。 偶数项含未知 时不要轻率判无解，很多题只求 ，未知量会在求和中抵消。 含 的项裂项时符号随 变化，分奇偶两组分别裂项，切勿中途丢符号。 二、方法导语 数列中的奇偶项问题，解题主线只有一条：把数列拆成奇数项子列与偶数项子列，分别找出各自的规律，再回到"分奇偶求和"这个终点。遇到 或跨度为 2 的递推式，就要立刻想到分奇偶。 具体运算时，一阶递推用"换 相减"消去中间项得到子列的关系；二阶递推直接按 的奇偶拆成两个式子；求和一律先配对再累加， 算完再用 。每步算完取小值回代核对。 做完一题自查三件事：递推式中的 取值范围是否交代清楚；求 时是否漏算或重算了一项；偶数项含未知 时，是否确认过它在求和中的系数真的为零。 三、典型例题 例1　一阶递推（相邻两项之和为 n 的多项式） 在数列 中，已知 ，，求 。 变式1　换 n 相减求通项 在数列 中，已知 ，，求数列 的通项公式。 例2　分段数列求和：分奇偶两组累加 设 求数列 的前 项和 。 变式2　交错型数列的求和 已知等差数列 满足 ，，数列 满足 ，求数列 的前 项和。 例3　一阶递推（相邻两项之和为一次式） 在数列 中，已知 ，（），求数列 的通项公式。 变式3　间隔项递推讨论子列 在数列 中，已知 ，（），求 ，， 及数列 的奇数项子列的通项。 例4　含变号因子的递推与分段求和 已知数列 满足 ，（1）记 ，写出 ，，并求数列 的通项公式；（2）求 的前 项和。 变式4　子列成等比型递推 已知数列 满足 ，。（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 。 例5　等比型子列与裂项求和 已知数列 的前 项和为 ，且 对任意正整数 都成立。（1）设 ，求 的通项公式；（2）设 ，求 的前 项和 。 变式5　分段递推 + 子列求和 已知数列 满足 ，设 。（1）求 的通项公式；（2）求 的前 项和。 四、巩固练习 1．已知函数 ，且 ，则 ______。 2．在数列 中，已知 ，，求数列 的前 项和 。 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 再加上 ；若是偶数，就将该数除以 。反复进行上述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈 ，这就是数学史上著名的"冰雹猜想"。例如：正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共经过 个步骤变成 （简称为 步"雹程"）。"冰雹猜想"可表示为数列 ：（ 为正整数），。若 ，则 的所有可能取值之和为______。 4．已知数列 满足 ，，且 （）。（1）令 ，判断 是否为等差数列，并求数列 的通项公式；（2）记数列 的前 项和为 ，求 。 学科网（北京）股份有限公司 $