专题 等比数列 讲义-2027届高三数学一轮复习

专题 等比数列（原卷） 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 ▶基础梳理・自主夯基 考点01等比数列的概念 考点02等比数列的有关性质 考点03等比数列的证明 ▶高阶思维・探究拓展 难点：n=1要单独检验，奇偶项问题，分段等比，与不等式结合 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 等比数列的有关概念 1. 定义 ： 一般地, 如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的比都等于同一常数, 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,常用字母 ， . 2.单调性 设等比数列 的首项为 ,公比为 . （1）当 或 时,数列 为递增数列; （2）当 或 时,数列 为递减数列; （3）当 时,数列 是常数列; （4） 当 时,数列 是摆动数列. 考点02 等比数列的有关公式 1. 通项公式: 通项公式推广： 2.等比数列的前项和公式 考点03 等比数列的性质 1.等比中项： 在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)，G＝±， 当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． 2．若{an}为等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则有： (1)等距性：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (2)隔项等差：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)分段等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn (4)若 是等比数列,公比为 ,则 , 是等比数列,公比为 . (5)若数列 是两个项数相同的等比数列,则数列 和 是等比数列. (6)当 (或 且 为奇数) 时, 是等比数列. 注: 当 且 为偶数时, 不是等比数列. (7) 若 ,则 成等比数列. 3.等比数列与函数关系：（善于带着“函数”的眼镜看问题） （1）数列{an}是等比数列，， 通项an为指数型函数； （2）数列{an}是等比数列，，Sn为指数型函数。 （3）等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论. 【典型例题】 题型一、基本量计算 【例1】（单选题）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【变式1】在等差数列中，，且，，，构成等比数列，则公差（    ） A．0或2 B．2 C．0 D．0或 题型二、利用等比数列的性质 【例2】已知等比数列满足，且，则当时， A． B． C． D． 【变式2-1】已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在等比数列中，如果，，那么（    ） A． B． C． D． 题型三、证明等比数列 定义法 若 为非零常数, 或 为非零常数且 ,则 是等比数列 等比中项法 若数列 中, 且 ,则数列 是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成 均是不为 0 的常数, ) 的形式,则 是等比数列 前 项和公式法 若数列 的前 项和 为常数且 ,则 是等比数列 【例3-1】已知数列满足:. 证明:是等比数列; 【例3-2】已知数列 满足 , . 记 证明: 是等比数列； 【变式3】数列中，，，（）. (1)试求、的值，使得数列为等比数列； 【练习】 1．（单选题）已知等比数列的公比为q，且，，则（     ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（单选题）已知数列{}为等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（单选题）已知正项等比数列的前项积为，若，，则（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 4．（单选题）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（单选题）已知等比数列满足，，记为其前项和，则（    ） A．4 B．6.5 C．8 D．12 6．（单选题）已知数列满足，则关于说法正确的是（   ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 7．（单选题）已知数列，其前项和为，，给定正整数，设函数，表示的导函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（    ） A． B． C．是递增数列 D． 9. (多选题) 已知等比数列 的公比为 ,前 4 项的和为 ,且 成等差数列,则 的值可能为 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 3 10. (多选题) “内卷” 是指一类文化模式达到最终的形态以后, 既没有办法稳定下来, 也没有办法转变为新的形态, 而只能不断地在内部变得更加复杂的现象. 热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线. 连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案, 具体作法是在边长为 1 的正方形 中,作它的内接正方形 ,且使得 ; 再作正方形 的内接正方形 ,且使得 ; 依此进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示. 设第 个正方形的边长为 (其中第 1 个正方形 的边长为 ,第 2 个正方形 的边长为 ,第 个直角三角形 (阴影部分) 的面积为 (其中第 1 个直角三角形 的面积为 ,第 2 个直角三角形 的面积为 , ……), 则 ( ) A. 数列 是公比为 的等比数列 B. C. 数列 是公比为 的等比数列 D. 数列 的前 项和 11． (多选题) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则数列的前7项和 C．从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列 D．从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种 12．（填空题）已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 13．（填空题）已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 14．（填空题）在一个数列的每相邻两项之间插入它们的等差中项，整个数列按照原来的顺序得到一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．下面对数列1，3，7按照上述方法进行“扩展”，第1次“扩展”后得到数列1，2，3，5，7，第2次“扩展”后得到数列1，，2，，3，4，5，6，7．设第次“扩展”后得到的数列项数为，所有项的和为，记为不超过的最大整数，则______． 15．（解答题）在数列中，，且. (1)证明：，都是等比数列； (2)求的通项公式； 16．（解答题）已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的最大值； (3)设，求数列的前项和． 17.（解答题）已知数列是等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 18.（解答题）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 专题 等比数列（解析） 题型一、基本量计算 【例1】（单选题）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： .故选C 【变式1】在等差数列中，，且，，，构成等比数列，则公差（    ） A．0或2 B．2 C．0 D．0或 【答案】A 【详解】解：因为在等差数列中，，且，，，构成等比数列，所以，即，所以，解得或，故选A 题型二、利用等比数列的性质 【例2】已知等比数列满足，且，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：因为为等比数列，所以,.故选C. 【变式2-1】已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以，， 故．故选A 【变式2-2】在等比数列中，如果，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等比数列性质知，，，，成等比数列，其首项为，公比为，所以.故选C 题型三、证明等比数列 定义法 若 为非零常数, 或 为非零常数且 ,则 是等比数列 等比中项法 若数列 中, 且 ,则数列 是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成 均是不为 0 的常数, ) 的形式,则 是等比数列 前 项和公式法 若数列 的前 项和 为常数且 ,则 是等比数列 【例3-1】已知数列满足:. 证明:是等比数列; 证明：由得,, 又,故是以为首项,为公比的等比数列. 【例3-2】已知数列 满足 , . 记 证明: 是等比数列； 证明: 因为 ,所以 ,整理得 ,因为 ,所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 【变式3】数列中，，，（）. (1)试求、的值，使得数列为等比数列； 【详解】（1）若为等比数列， 则存在，使对成立. 由已知，代入上式， 整理得① ∵①式对成立，∴，解得， ∴当，时，数列是公比为2的等比数列. 【练习】 1．（单选题）已知等比数列的公比为q，且，，则（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得：，又， 解得：.故选A 2．（单选题）已知数列{}为等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列中下角标成等差数列的对应项成等比数列的性质，代入已知值计算即可求得. 【详解】 在等比数列中，若（），则满足. 由于，因此， 将，代入得：，解得.故选C 3．（单选题）已知正项等比数列的前项积为，若，，则（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质求得，然后求得公比，再由通项公式求得结论． 【详解】设的公比为.，， ，，， ，， ..故选D 4．（单选题）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件建立方程组，解出，最后根据等比数列的性质算出答案. 【详解】设的公比为， 因为所以 两式相除得，所以． 故选：A． 5．（单选题）已知等比数列满足，，记为其前项和，则（    ） A．4 B．6.5 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据等比中项可知，结合可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且，则， 又因为，即， 可得，可得， 所以.故选C 6．（单选题）已知数列满足，则关于说法正确的是（   ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】构造函数，得到函数单调性，分为奇数和偶数两种情况，得到的最大值为，最小值为，得到答案. 【详解】令，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 中，当为奇数时，， 故且为奇数时，单调递减，且恒成立，且，， 当为偶数时，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 由于，故当为偶数且时，单调递增， 当为偶数且时，单调递减， 其中，， 故， 故， 当为偶数且时，恒成立， 又，所以的最大值为，最小值为， 有最大项，有最小项,故选：C 7．（单选题）已知数列，其前项和为，，给定正整数，设函数，表示的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列的递推关系求出数列的通项，求导得到的表达式，利用错位相减法求解. 【详解】由，当时，，即，得， 当时，，两式相减得， 所以，即， 综上，数列是以1为首项，以4为公比的等比数列，故； 又， 所以， 所以， 两式相减得， 所以. 8．（多选题）记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（    ） A． B． C．是递增数列 D． 【答案】BCD 【分析】根据正项等比数列及可得数列的公比，再根据数列通项公式及求和公式即可求解. 【详解】因为数列为正项等比数列，且， 所以，即,故选项A错误. 又因为， 所以,故选项B正确. 所以， ， 所以数列为递增数列，，故选项C，D正确. 故选BCD 9. (多选题) 已知等比数列 的公比为 ,前 4 项的和为 ,且 成等差数列,则 的值可能为 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AC 【详解】因为 成等差数列, 所以 ,又因为数列前 4 项的和为 , 所以 4,所以由 ,可得 ,解得 2 或 . 故选 AC. 10. (多选题) “内卷” 是指一类文化模式达到最终的形态以后, 既没有办法稳定下来, 也没有办法转变为新的形态, 而只能不断地在内部变得更加复杂的现象. 热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线. 连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案, 具体作法是在边长为 1 的正方形 中,作它的内接正方形 ,且使得 ; 再作正方形 的内接正方形 ,且使得 ; 依此进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示. 设第 个正方形的边长为 (其中第 1 个正方形 的边长为 ,第 2 个正方形 的边长为 ,第 个直角三角形 (阴影部分) 的面积为 (其中第 1 个直角三角形 的面积为 ,第 2 个直角三角形 的面积为 , ……), 则 ( ) A. 数列 是公比为 的等比数列 B. C. 数列 是公比为 的等比数列 D. 数列 的前 项和 【答案】BD 【详解】设 ,则 , 即 ,则 , 故 ,B 正确; ,依此类推可得 是公比为 的等比数列且 ,A、C 错误; 由题图知 ,而 ,故 ,D 正确. 故选 BD 11． (多选题) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则数列的前7项和 C．从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列 D．从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种 【答案】ABD 【详解】由题意得，是等比数列，公比，项数，前7项和， 等比数列求和公式：，解得，故A正确； ，是等差数列， ，，， 即，故B正确； 是等比递增数列，公比， 假设存在三项，，成等差数列，则， ，化简：， 右边是奇数加偶数，结果为奇数；左边是2的整数次幂，大于1必为偶数，矛盾， 故C错误； 求两层灯数乘积的组合， 数列；，各项：3，6，12，24，48，96，192， 若两项中有一个为：，，， ，，，有5种； 两项中有一个为：：，，，，有3种；两项中有一个为：：，有1种； 合计9种，故D正确.故选ABD 12．（填空题）已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 【答案】或 【分析】假设经过适当排序后变成等差数列，依次讨论是等比中项的情况，结合公差即可求解. 【详解】由于经过适当排序后可成等差数列，不妨设这三个数为，其中公差， 这三个数经过适当排序后也可成等比数列，则有： ①当是等比中项时，则有，解得，这与矛盾，所以不是等比中项； ②当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，由于这三个数是互不相同的实数，所以， 而这三个数要构成等比数列，只有两种排序方式，即或， 因此公比或； ③当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，情况与②相同； 综上所述，该等比数列的公比为或. 13．（填空题）已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 【答案】 【分析】利用复数的乘方运算化简数列的通项，再利用分组求和法，结合等差、等比数列的前项和公式求解. 【详解】数列中，，显然数列为等比数列，是等差数列， 所以. 14．（填空题）在一个数列的每相邻两项之间插入它们的等差中项，整个数列按照原来的顺序得到一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．下面对数列1，3，7按照上述方法进行“扩展”，第1次“扩展”后得到数列1，2，3，5，7，第2次“扩展”后得到数列1，，2，，3，4，5，6，7．设第次“扩展”后得到的数列项数为，所有项的和为，记为不超过的最大整数，则______． 【答案】2029 【分析】先列出数列和数列的递推关系，然后根据构造法求出与的通项公式，最后根据对数的运算性质即可求解. 【详解】初始数列（0次扩展）项数为，每次扩展时，在原数列的每相邻2项之间插入1个新数： 第次扩展后项数为，则相邻项共对，第次扩展新增项， 因此递推关系为： ， 初始条件，构造等比数列：， 可得，即： . 设第次扩展的和为，第次扩展时，每对相邻项插入等差中项， 所有新增项的和为全部相邻项和的： 原数列首尾两项固定为1和7，所有相邻项总和， 因此新增项和为， 递推关系为：， 初始条件，构造等比数列：， 可得，即： . 代入： ， 显然，因此， 取不超过该值的最大整数得结果为. 15．（解答题）在数列中，，且. (1)证明：，都是等比数列； (2)求的通项公式； 【详解】（1）证明：因为，且，所以，. 因为， 所以，， 则是首项为16公比为16的等比数列，是首项为4公比为16的等比数列； （2）则，都是公比为16的等比数列，且， 所以是首项为4，公比也为4的等比数列， 故. 16．（解答题）已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的最大值； (3)设，求数列的前项和． 【答案】（1）见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题可得，进而化为即可证明； （2）由（1）可得， ，然后作差得到数列的单调性，结合单调性得到最值即可． （3）由题可得，再裂项相消求和即可． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为、公比为的等比数列． （2）由(1)得，， 所以， 则， 所以当时，，当时，， 当时，． 所以， 所以数列的最大值为； （3）因为， 所以 ， 所以 ． 17.（解答题）已知数列是等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1)（2）见解析（3） 【分析】（1）先联立方程求出首项与公比，从而得到通项公式； （2）利用裂项相消法求和，再利用数列单调性完成不等式放缩证明； （3）插入数构造新等差数列，先求出公差，得到新数列通项，再用错位相减法完成求和. 【详解】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得， 解得，所以． （2）由（1）知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，，所以， 综上，得证． （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式得， 将代入， 得， 两边同乘2得，故数列前项的和． 18.（解答题）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，，(2)数列为单调递增数列，理由见解析(3) 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， ,又， 所以，，. （2） 因为，且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比，所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $