第7讲 数列求和专项训练-2027届高三数学一轮复习

数列求和 数列 · 专题篇 一 裂项相消 一、裂项的本质：把一项拆成两项之差。 若 ，则 ——中间各项两两抵消，只剩首尾，这就是「望远镜」结构。 ★ 判断能不能裂项，只看一件事：拆开后相邻项的符号相反、数值相同，能一正一负消掉。 二、四个必备模板。 ；。 ；。 ★ 模板里那个 最容易漏：分母两因式相差 ，前面就得乘 。 三、先求通项，再裂项。 很多题的通项藏在条件里：由 与 的关系、由前 项积、由递推式先求出 ，再看 能否裂项。 ★ 求通项时别忘验 ；分段给出的 （奇偶不同）要分开求和再合并。 四、等差乘等比也能裂项。 这类，除了错位相减，还可以设 ，比较系数定出 、 后裂项。 ★ 这是错位相减的替代路线，计算量小但设系数要有耐心。 五、裂完检查三件事。 一是首项有没有留下、末项剩到第几项；二是符号， 与反过来的结果差一个负号；三是把 、 代回原式核对前两项。 六、三个高频陷阱。 其一，分母两因子相差 时，裂项后要乘 ；相差 就乘 ，这一步漏掉整题全错。 其二，分段给出的 （奇偶不同）不能整体裂项，要把奇数项、偶数项分别求和再相加，且两段的项数都要算准。 其三，求通项时用 或 ，都只在 成立，首项必须回代原条件单独求。 ★ 这三条占了本节错题的一大半：系数、分段、首项。每做完一道就回头核这三处，比重新算一遍省时。 例1（解答·★★★★☆） 已知等差数列满足。数列的各项均为正数，，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。 【切入点】 按奇偶分段：奇数项取 （等比），偶数项取 ——后者的两个因子都含 ，必然能裂项。 【关键】第（1）问： 得 ，又 得 、，故 ；，由 得 ，故 。 第（2）问：前 项中奇数项 个，为 ，和为 。 偶数项 个，第 个是 ，分母为 ，故它等于 ，求和得 。 所以 ，；。 【易错】第一，偶数项用的是 ， 取偶数 时因子是 与 ，相差 。第二，裂项系数 不能漏。第三，奇数项是 个（），不是 个。 【答案】，； 变式1-1（填空·★★★★☆） 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解，例如，故的前项和。已知数列满足，则 = ___________；记数列的前项和为，则 = ___________。 【切入点】 是比值型 ——两边除以 ，把 当成新数列，它成等比。 【关键】，首项 ，故 、，。 第二空求 的前若干项和 —— 用待定系数把 拆成相邻两项之差：设 。 比较系数得 、、，于是每项都裂成前项减后项，累加得 ，故 。 【易错】第一，两边的分母是 ，除以它才能凑出 这个整体。第二， 的分子是 、分母是 ，不是 。第三，待定系数比较时把右边通分到 再比，否则 那层会算错。 【答案】； 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】前半段是幂函数求参数，后半段才是裂项 ——先由「非奇非偶」定 ，再把 写成 的形式。 【关键】幂函数要求系数为 ：，得 或 ； 时 是偶函数，不合，故 、。 ，累加得 ，选 D。 【易错】第一，幂函数要求系数等于 ，这是「非奇非偶」之外的第二条约束。第二， 时指数是 ，既不是整数也不是奇偶对称，才符合「非奇非偶」。第三，有理化后 ，累加只剩 。 【答案】D 变式1-3（多选·★★★☆☆） 数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和等于 【切入点】 右边全是根号 ——把 写成 ，再用平方差把左边拆成 。 【关键】 项：两边约去 ，得 ，故 是首项 、公差 的等差数列，正确。 由 得 、，故 （）， 时 也符合。 项： 是等比数列，正确； 项说 ，错误。 项：，求和得 ，正确。故选 ABD。 【易错】第一，约 前要说明它不为零，这靠 递推得到。第二， 与 差一个系数， 项就是给算错系数的人设的。第三，裂项系数 来自两因子相差 再乘 。 【答案】ABD 变式1-4（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【切入点】条件 是「加权和」——把 换成 相减，就得到 。 【关键】两式相减得 （），即 ； 时 也符合。 项： 正确； 项： 正确。 项：，把 、 代入，得 ，求和得 ，正确。 项： 随 递增且趋近 ，最大值不是 ，错误。故选 ABC。 【易错】第一，相减只在 成立， 要单独代 验，本题恰好也符合。第二， 的分子是 ，这是为了与 对上。第三， 单调递增，只有上界 ，没有最大值。 【答案】ABC 变式1-5（多选·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，，，则时，最大 C. 若数列满足，，则 D. 若，则数列的前项和小于 【切入点】四个选项各考一条： 与 的关系、等差最值、周期数列、裂项不等式 —— 逐项独立判断。 项： 时两式相减得 ，即 ； 使 ，故 ，正确。 项：、，得 ，故公差为负、 在 处最大，正确。 项： 代入得 、、、，周期为 ；三项之积 ，配对求和不为 ，错误。 项：，求和得 ，正确。故选 ABD。 【易错】第一， 项 要用 代回原式求，不能用相减的结果代 。第二， 项的关键是 ，奇数和等于项数倍中间项。第三， 项周期 而 不是 的倍数，余下的项要单独算，不能整体配对。 【答案】ABD 例2（单选·★★★★☆） 已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 把 与积 混在一起 ——用 换掉 ，整式就只剩 。 【关键】依次得 ，取倒数得 ，故 是首项 、公差 的等差数列。 时 ，，与通项 一致。 于是 ，。 求和得 ，选 A。 【易错】第一， 只在 成立， 要单独求。第二，取倒数后得到的是 的等差，不是 本身。第三，，分子是 不是 。 【答案】A 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知正项等差数列的前项和为，，公差为，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【切入点】 与 都是 、 的式子 ——先把三个和都用 表示，解出 后再看选项。 【关键】、、，代入得 ， 或 ；由 得 ，故 ， 项错误。 项：，正确。 项：，，求和得 ，正确。 项：，故两项之差为 ，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 是方程的根，靠 才排掉，只解方程会误选 。第二， 是本题的漂亮之处，由 、 算出来才成立。第三， 故 项的裂项退化成 ，系数是 不是 。 【答案】BCD 变式2-2（多选·★★★☆☆） 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【切入点】 按奇偶分段给出 ——奇数项是 、偶数项是 ，四个选项分别考通项、等比、求和、裂项。 项：令 得 ，是偶数，符合，正确。 项：，相邻之比为 而不是 ，错误。 项：、、、、、，六项之和为 ，正确。 项：，，求和得 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 项求出的 必须是偶数，否则代错了分支。第二， 项公比是 ，因为下标每次跳 。第三， 项的 要把 代 ，不是 。 【答案】ACD 变式2-3（填空·★★★★☆） 已知是等差数列，，。（1）求的通项公式和；（2）已知为正整数，记集合的元素个数为数列。若的前项和为，设数列满足，，求的前项的和。 【切入点】第（1）问是等差基本量加绝对值求和；第（2）问先由集合元素个数定出 ，再由 的和反解 ，最后裂项。 第（1）问：、，得 、，故 。 当 ，故 。 第（2）问： 的正整数 有 个，故 、。 由 得 ，对 求和时逐项抵消，得 。 【易错】第一，绝对值求和要先定「从第几项开始转正」，本题 、，分界在 。第二， 是元素个数，不是 。第三， 拆成两式之差后，求和是「隔项抵消」，末项要看清剩到哪一项。 【答案】，； 二 错位相减 一、认准形态：等差乘等比。 中 等差、 等比时，通项是「一次式乘 」的形式，这类只能用错位相减（或一等比裂项）。 ★ 判别口诀：系数随 线性变化、幂次随 指数变化 ——两者同时出现就是它。 二、四步走。 第一步写出 ；第二步两边乘公比 ，并整体后移一位对齐同类项；第三步两式相减，中间同类项合并成一段等比；第四步把这段等比求和，再解出 。 ★ 相减时把「 的第二项」对准「 的第一项」，错位对齐才不会漏项。 三、减完的形状。 ，即 。 这是 、 的标准结果；若 是 ，减完的中间段会比这个多几项，按同样的结构写即可。 ★ 记住「最后一项总是 」这个尾巴，它是判断有无算漏的标志。 四、 必须单独算。 上面每一步都除了 ， 时不能这样变形。 时 是常数列， 退化成等差数列求和，直接套公式。 ★ 题面写「」就放心用；没写的先验 是否与条件矛盾。 五、两个替代方案。 其一是待定系数裂项：设 ，比系数定 、。 其二是先分组：若式子能拆成「等比 ＋ 等差」，两段分别求和再相加，比错位更快。 ★ 三个方法结果必定相同，选计算量最小的那个；考场上优先错位，因为步骤固定不易错。 六、三项自查。 做完回头核三处：一是首项有没有算进去（ 时常数项要单独看）；二是末项的指数是 还是 ；三是分母的 乘了几次。 ★ 最省事的验算：把 代进结果，它必须等于 。这一条能挡住绝大多数符号与项数的错误。 例3（解答·★★★★★） 已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）。（1）求的前n项和；（2）设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y.（ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：；（ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 【切入点】 是一次式、 是指数 ——乘起来正是「等差乘等比」的标准形态，直接错位相减。 【关键】第（1）问： 是 与 的等比中项，， 故 、。 第（2）问：，① 。② ①减②得 。 两边除以 ，通分得 。 所以 ，。 【易错】第一，②式要整体后移一位，末项对齐 的倒数第二项，这样才只剩首项与末项。第二，中间段是 项还是 项： 共 项。第三，分母是 ，因为除了两次 （一次来自等比求和、一次来自解方程）。 【答案】， 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 【切入点】两个数列各给两条桥：、 ——把 与公比 解出来，四个选项就都能算了。 项：、，解得 、，正确。 项：、，令 得 ，不是整数，错误。 项：，乘公比后两式相减，代入 得 ，正确。 项： 是「等差 ＋ 等比」，分组求和得 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 里的 是题给条件的一部分，不是笔误，漏掉就解不出整数解。第二， 项判断「是否存在」要看方程有没有正整数解，非整数即不存在。第三， 项是分组求和，不要一看到 就用错位。 【答案】ACD 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 为等比数列 B. 为递增数列 C. 的前项和 D. 的前项和 【切入点】 变形为 —— 是等比数列，这是全题的钥匙。 项：由上知 是首项 、公比 的等比数列，故 、，正确。 项： 显然递增，正确。 项： 错位相减得 ，与选项的 不符，错误。 项：，前 项和 ，正确。故选 ABD。 【易错】第一，变形时两边同除 ，得到的是 的等比，不是 的。第二， 项错在指数： 求和后应出现 ，指数差一位是这类题的常见陷阱。第三， 项正好把 约掉，只剩 ，这是命题人设计的对照项。 【答案】ABD 变式3-3（填空·★★★★☆） 已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________。 【切入点】题面先给欧拉函数的定义，考的是「读懂定义求 」再加错位相减 —— 前半段只要会用定义，后半段是标准套路。 【关键】 是质数，不超过 的正整数中被 整除的有 个，故 ，于是 。 由题给区间得 ，（），故 （），首项单独算。 对 错位相减，再加上 的 ，得 。 【易错】第一，，减掉的是「被 整除的个数」。第二， 与 不是同一个式子，求和时首项要单独加。第三，错位相减的结果里常数项 来自首项的特殊处理，漏掉会差一个常数。 【答案】 变式3-4（多选·★★★★☆） 对于数列，设区间内偶数的个数为，则称数列为的“数列”，则（ ） A. 若数列是数列的“数列”，则 B. 若数列是数列的“数列”，则是常数列 C. 若数列是数列的“数列”，则是等比数列 D. 若数列是数列的“数列”，则数列的前项的和为 【切入点】题面定义了「 数列」——先按定义把 算出来，再看四个选项；其中一项要用错位相减。 项：按定义， 是区间 内偶数的个数。，区间 内的偶数为 ，共 个，故 ，正确。 项：对应 的 数列是常数列 ——逐项验证后与定义不符，错误。 项：对应 时 成等比，正确。 项： 的前 项和，乘公比后两式相减，算得 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一，新定义题必须先把定义逐字读成公式，凭印象做必错。第二， 项的通项是 ，系数比 多一位，错位时首项要跟着变。第三，判断「成等比」要验相邻比是否为同一常数，只看前几项容易误判。 【答案】ACD 例4（解答·★★★★☆） 已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，。（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和。 【切入点】公差与公比都给了（都是 ），再用 、 两条把首项定下来 ——之后 是「一次式 × 」，标准错位。 【关键】第（1）问：设 、。由 与 联立，解得 、。 于是 ，。 第（2）问：，对它乘 错位相减，得 。 【易错】第一， 的指数是 （），写成 会把 算错。第二， 里 时正好是 ，可用来回代核对。第三， 的结果含 ，化简时把常数 单独提出，别并进分式。 【答案】，； 三 分组求和 一、什么时候分组。 通项是「等差 ＋ 等比」的混合形态时，既不能整体错位也不能裂项，只能拆成两段分别求和再相加。 ★ 判别：把 拆开写，两段各自能直接套公式，就是分组型。 二、两段的项数相同。 拆成两段后，每一段的项数都等于原数列的项数 ，不是各占一半。 ★ 这是本节最常见的错处：等差段算了 项、等比段只算 项。 三、分段给出的 按奇偶拆。 题面直接写「 为奇数取 、 为偶数取 」的，求前 项和时奇数项与偶数项各 个；求前 项和时奇数项 个、偶数项 个。 ★ 差一位的问题几乎每道分段题都会出现，写完先数一遍两段各有几项。 四、先把通项求出来再分组。 条件给递推或给 的，先用构造等比求出 ，再看它是「等差 ＋ 等比」还是分段形态。 ★ 有时通项本身还要再拆一层，例如 时， 要拆成「错位段 ＋ 等差段」，各用各的方法。 五、按组长短递增的数列。 形如 的数列，第 组有 项、组内是 到 ，组和为 ，前 组共 项。 ★ 求前 项和时，先用三角数定位 落在第几组、组内第几项，再算「整组和 ＋ 余项」，不要逐项累加。 六、分组与错位常同时出现。 有的题拆开后一段是等差、一段是等差乘等比，后一段还要再做一次错位相减。 ★ 这时先分组、再对「难的那段」错位，两次结果相加；顺序别反，先错位会把两项混在一起。 例5（解答·★★★★☆） 在数列中，。（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和。 【切入点】 是一阶线性 ——先配常数把它变成等比（题面已提示看 ）；第（2）问的 要拆成两段，前段错位、后段等差。 【关键】第（1）问：，，故 是首项 、公比 的等比数列，。 第（2）问：设 为 的前 项和。写出 后乘 错位相减，得 ，即 。 第二段 ，两段相加即得 。 【易错】第一，错位相减时乘的是 （公比），相减后左边是 不是 。第二，中间等比段是 共 项，和是 。第三， 的项数也是 ，与 对齐。 【答案】 是首项为 、公比为 的等比数列，； 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【切入点】 逐项算就能看出规律 ——前两项特殊，从第三项起 与 交替，按组求和。 【关键】、、、、、……，故 时奇数项为 、偶数项为 。 ，，，且 后 单调不减，故最小正整数 ，选 B。 【易错】第一， 是负的，负号别丢。第二，进入循环从 开始，前两项 与 要单独计入。第三， 从 起「不减」（两个相邻项一加 ），所以 恰好对应 ，不会出现在更小的 。 【答案】 变式5-2（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【切入点】 里两项系数相反 ——把 拆成 加一个摆动项，摆动项构成公比 的等比数列，求和时分开算。 项： 时 ， 故 ，正确。 项：由 ，且 ，故 是首项 、公比 的等比数列，正确。 于是 。 项：，与选项不符，错误。 项：分组求和。 那段的和是 ；摆动段 的前 项和， 为偶数时为 、 为奇数时为 。两项相加后与选项相符，正确。故选 ABD。 【易错】第一，配的是 ，不是 。第二，摆动项公比 ，求和要分奇偶，不能直接套等比公式。第三， 用「两项一组」算最快：每组 。 【答案】 变式5-3（单选·★★☆☆☆） 已知等比数列满足：。设，记数列的前项和为，则 = （ ） A. 149 B. 153 C. 155 D. 157 【切入点】 ——前一项是等比、后一项是对数；等比的对数恰好是等差，于是两段分组求和。 【关键】，代回得 、，故 。 于是 ，，选 B。 【易错】第一， 是因为分子整体比分子整体，公比提出来正好是一次方。第二，，从 开始而不是 。第三，等比段 共 项，和是 。 【答案】 变式5-4（填空·★★★☆☆） 已知数列满足，，则 = ________。 【切入点】 是分式型 ——设 ，代入后会出现 ，再配常数成等比。 【关键】由 得 ，即 ；，故 、。 求和得 。 【易错】第一，配的是 ，加 不是减 。第二，，故 的通项是 ，不是 。第三，等比段首项是 （对应 ），求和后出现 。 【答案】 变式5-5（解答·★★★★★） 已知数列 的首项 ，且满足 （）。（1）证明：数列 是等比数列；（2）记数列 的前 项和为 ，求 。 【切入点】 是分式递推 ——取倒数后 ，配常数即成等比；第（2）问的 拆成两段求和。 【关键】第（1）问：，两边同减 得 。 首项 ，故 是首项与公比都为 的等比数列。 故 、。 第（2）问：，前一段是等差数列、后一段要错位相减，两段相加得 。 【易错】第一，配常数解 得 ，故凑的是 。第二，首项 与公比相同，所以 而不是 次。第三， 那段是前 个奇数之和 ，不要当成 。 【答案】 是首项 、公比 的等比数列，； 例6（填空·★★★★☆） 设数列是公差为的等差数列，为公比为的等比数列，若，，，记数列的前项和为，则 = _____。 【切入点】、、 ——三个条件能解出 与 ，待求和是「等差 ＋ 等比」直接分组。 【关键】、，消去 得 ， 故 、。 于是 ，代入得 。 【易错】第一，等差段前 项和是 ，系数是 不是 。第二，等比段和是 ，因为 。第三， 有两根，靠 取 。 【答案】 变式6-1（填空·★★★★☆） 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，…，以此类推，若该数列的前（）项和为2的整数幂，则符合条件的的最小值为______。 【切入点】 是按组长短递增 ——第 组有 项、组内是 到 ，先写清组结构再定位 。 【关键】第 组的和为 ；前 组共 项、总和 。 前 组共 项，和为 ；再补第 组的前 项 ，其和为 。 此时 ，前 项和为 ，恰是 的整数幂，且 满足；比它更小的 凑不出 的幂，故最小值为 。 【易错】第一，组的项数是 ，不是 。第二，前 组共 项，这是定位 的三角数。第三， 用来排除更小的解，漏掉会得到偏小的答案。 【答案】 变式6-2（解答·★★★★☆） 已知数列 和 满足 （），数列 的前 项和为 。若 ，求 。 【切入点】 意味着 —— 等差则 等比，故 是「等差 ＋ 等比」，直接分组。 【关键】，故 。 。 所以 。 【易错】第一， 要化成 ，才能用公比 求和。第二，等比段首项是 ，故和为 。第三，奇数项和 ，不是 。 【答案】 变式6-3（单选·★★★★☆） 已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和 = （ ） A. 402 B. 404 C. 408 D. 412 【切入点】在 与 之间插入 个数 ——新数列的前 项由「原数列若干项」与「插入的项」混合组成，先数清插入了多少项，再分组求和。 【关键】；前 项之间共插入 项，故前 项中前 个原项与 个插入项之外，还剩 个来自第 次插入。 ，选 C。 【易错】第一，插入的项数按 递增，前四次是 。第二，插入的每一项都是 ，所以插入部分的和等于插入个数。第三，原数列前 项和是 ，加 才是 。 【答案】 四 并项与绝对值求和 一、并项求和：把相邻几项捆成一组。 若 （或连续三项之和）是 的一次式或常数，就把两项捆成一组，先算组和、再乘组数，最后处理余下的零头。 ★ 判断标志：递推或通项里出现「」，或数列在正负之间规律摆动。 ★ 组数算完一定要看有没有余项：总项数为奇时余一项，为偶时不余。 二、绝对值的三步走。 第一步求出 并找出正负分界点（解 ）；第二步分段：分界前取相反数、分界后取原值；第三步两段分别求和再相加。 ★ 分界点常由等差数列的零点给出，如 的零点是 ，故 为负、 为正。 三、奇偶分讨。 数列的奇数项、偶数项各自成等差或等比时，分开写成两个和，再按 的奇偶合并。 ★ 求前 项和时两段各 项；求前 项和时奇数项 个、偶数项 个 —— 这一步差一位是本节最常见的错。 四、插项型：先数清插入个数。 在 与 之间插入若干个数时，新数列的前 项由「原数列若干项」和「插入的项」混排，要先算出第 段之前一共占了多少项。 ★ 插入的项若全是同一个数，插入部分的和等于「插入个数 × 该数」，不必逐项加。 五、写完回头核项数。 并项型核「组数 × 每组项数 ＋ 余项 = 总项数」；绝对值型核「负段项数 ＋ 正段项数 = 总项数」；插项型核「原项数 ＋ 插入总数 = 目标项数」。 ★ 这三条核对能挡住九成的错，比重新算一遍快得多。 例7（解答·★★★★★） 已知是等差数列，其前项和为，，。是各项均为正数的等比数列，，。（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和；（3）在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和。 【切入点】第（1）问是等差、等比基本量；第（2）问 按奇偶分段，奇数项是分式（可裂项）、偶数项是等差；第（3）问是插项型，要先数清每段插了几个。 第（1）问：、，得 、，故 ；、， 故 、。 第（2）问：奇数项 ，偶数项 ；前 项中两类各 项，分别求和后相加，得 。 第（3）问：在 与 之间插入 个 。前 段共插 项；前 项减去原数列的前若干项，定位到第几段，再算「插入部分的和 ＋ 原数列部分的和」，得 。 所以 ，；前 项和为 ；前 项和为 。 【易错】第一， 里的 ，故 、，别把它当成 。第二，第（2）问两类项各 个（共 项），不是各 个。第三，第（3）问插入的数是 ，随 变号又变值，不能当成常数处理。 【答案】，；前 项和为 ；前 项和为 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若数列满足，，则 = （ ） A. 155 B. 156 C. 203 D. 204 【切入点】 是「相邻两项之和」型 ——两项一捆，每组的和是等差；再注意 是奇数，最后一组会多出一项。 【关键】把 换成 相减得 ，故奇数项、偶数项各自成公差 的等差数列。 由 得 、，故 。 于是原式等于 ，即 。 前 组之和为 ，加 得 ，选 A。 【易错】第一，组和是 首项 、公差 ，共 组不是 组。第二， 项是奇数，最后单独剩 ，必须加。第三， 用奇数项公差算： 与 之间隔 个公差 。 【答案】 变式7-2（多选·★★★★☆） 已知数列中，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 满足，且的所有的和为1225 C. 满足的的取值集合为 D. 若，则 【切入点】 是抽象递推 ——取 就能把右边化成 的倍数，由 定出偶数项全为 。 项：取 得 ，故 ；由 递推得 ，即 ，，正确。 项：进一步可得 、，满足「前 项和等于 」的 只在 或 时出现，这些 之和与选项所给 不符，错误。 项： 的奇数项为 、偶数项为 ，故 等于前 项中奇数项的个数；令其为 ，得 或 ，正确。 项： 为偶数时 ，； 为奇数时 ，故 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 是推出「偶数项全零」的前提，没有它就断不了链。第二， 的和数的是奇数项的个数，不是项数本身。第三， 里 取 或 ，与 的 相乘后恰好都变成 。 【答案】 变式7-3（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 若，则的最大值为1214 D. 的前36项和为1226 【切入点】分段递推： 是 的倍数时回跳一项、否则加 ——把下标按 分组，每组三项的规律相同，求和时三项一并。 项：，故 是首项 、公差 的等差数列，，正确。 项：由 得 、，三列都递增、无周期，错误。 项：、、，故使 恒成立的 最大为 ，正确。 项：每三项之和为 ，化简得 ；前 项即 到 ，总和 ，错误。故选 AC。 【易错】第一， 来自「 是 的倍数，回跳一项」，这一步是分组的基础。第二， 项的 要在 （等于 ）之后再看 回跳，所以还能再多两项。第三， 项前 项对应 组，不是 组。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列求和 数列 · 专题篇 一 裂项相消 一、裂项的本质：把一项拆成两项之差。 若 ，则 ——中间各项两两抵消，只剩首尾，这就是「望远镜」结构。 ★ 判断能不能裂项，只看一件事：拆开后相邻项的符号相反、数值相同，能一正一负消掉。 二、四个必备模板。 ；。 ；。 ★ 模板里那个 最容易漏：分母两因式相差 ，前面就得乘 。 三、先求通项，再裂项。 很多题的通项藏在条件里：由 与 的关系、由前 项积、由递推式先求出 ，再看 能否裂项。 ★ 求通项时别忘验 ；分段给出的 （奇偶不同）要分开求和再合并。 四、等差乘等比也能裂项。 这类，除了错位相减，还可以设 ，比较系数定出 、 后裂项。 ★ 这是错位相减的替代路线，计算量小但设系数要有耐心。 五、裂完检查三件事。 一是首项有没有留下、末项剩到第几项；二是符号， 与反过来的结果差一个负号；三是把 、 代回原式核对前两项。 六、三个高频陷阱。 其一，分母两因子相差 时，裂项后要乘 ；相差 就乘 ，这一步漏掉整题全错。 其二，分段给出的 （奇偶不同）不能整体裂项，要把奇数项、偶数项分别求和再相加，且两段的项数都要算准。 其三，求通项时用 或 ，都只在 成立，首项必须回代原条件单独求。 ★ 这三条占了本节错题的一大半：系数、分段、首项。每做完一道就回头核这三处，比重新算一遍省时。 例1（解答·★★★★☆） 已知等差数列满足。数列的各项均为正数，，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。 变式1-1（填空·★★★★☆） 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解，例如，故的前项和。已知数列满足，则 = ___________；记数列的前项和为，则 = ___________。 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-3（多选·★★★☆☆） 数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和等于 变式1-4（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 变式1-5（多选·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，，，则时，最大 C. 若数列满足，，则 D. 若，则数列的前项和小于 例2（单选·★★★★☆） 已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知正项等差数列的前项和为，，公差为，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 变式2-2（多选·★★★☆☆） 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 变式2-3（填空·★★★★☆） 已知是等差数列，，。（1）求的通项公式和；（2）已知为正整数，记集合的元素个数为数列。若的前项和为，设数列满足，，求的前项的和。 二 错位相减 一、认准形态：等差乘等比。 中 等差、 等比时，通项是「一次式乘 」的形式，这类只能用错位相减（或一等比裂项）。 ★ 判别口诀：系数随 线性变化、幂次随 指数变化 ——两者同时出现就是它。 二、四步走。 第一步写出 ；第二步两边乘公比 ，并整体后移一位对齐同类项；第三步两式相减，中间同类项合并成一段等比；第四步把这段等比求和，再解出 。 ★ 相减时把「 的第二项」对准「 的第一项」，错位对齐才不会漏项。 三、减完的形状。 ，即 。 这是 、 的标准结果；若 是 ，减完的中间段会比这个多几项，按同样的结构写即可。 ★ 记住「最后一项总是 」这个尾巴，它是判断有无算漏的标志。 四、 必须单独算。 上面每一步都除了 ， 时不能这样变形。 时 是常数列， 退化成等差数列求和，直接套公式。 ★ 题面写「」就放心用；没写的先验 是否与条件矛盾。 五、两个替代方案。 其一是待定系数裂项：设 ，比系数定 、。 其二是先分组：若式子能拆成「等比 ＋ 等差」，两段分别求和再相加，比错位更快。 ★ 三个方法结果必定相同，选计算量最小的那个；考场上优先错位，因为步骤固定不易错。 六、三项自查。 做完回头核三处：一是首项有没有算进去（ 时常数项要单独看）；二是末项的指数是 还是 ；三是分母的 乘了几次。 ★ 最省事的验算：把 代进结果，它必须等于 。这一条能挡住绝大多数符号与项数的错误。 例3（解答·★★★★★） 已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）。（1）求的前n项和；（2）设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y.（ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：；（ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 为等比数列 B. 为递增数列 C. 的前项和 D. 的前项和 变式3-3（填空·★★★★☆） 已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________。 变式3-4（多选·★★★★☆） 对于数列，设区间内偶数的个数为，则称数列为的“数列”，则（ ） A. 若数列是数列的“数列”，则 B. 若数列是数列的“数列”，则是常数列 C. 若数列是数列的“数列”，则是等比数列 D. 若数列是数列的“数列”，则数列的前项的和为 例4（解答·★★★★☆） 已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，。（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和。 三 分组求和 一、什么时候分组。 通项是「等差 ＋ 等比」的混合形态时，既不能整体错位也不能裂项，只能拆成两段分别求和再相加。 ★ 判别：把 拆开写，两段各自能直接套公式，就是分组型。 二、两段的项数相同。 拆成两段后，每一段的项数都等于原数列的项数 ，不是各占一半。 ★ 这是本节最常见的错处：等差段算了 项、等比段只算 项。 三、分段给出的 按奇偶拆。 题面直接写「 为奇数取 、 为偶数取 」的，求前 项和时奇数项与偶数项各 个；求前 项和时奇数项 个、偶数项 个。 ★ 差一位的问题几乎每道分段题都会出现，写完先数一遍两段各有几项。 四、先把通项求出来再分组。 条件给递推或给 的，先用构造等比求出 ，再看它是「等差 ＋ 等比」还是分段形态。 ★ 有时通项本身还要再拆一层，例如 时， 要拆成「错位段 ＋ 等差段」，各用各的方法。 五、按组长短递增的数列。 形如 的数列，第 组有 项、组内是 到 ，组和为 ，前 组共 项。 ★ 求前 项和时，先用三角数定位 落在第几组、组内第几项，再算「整组和 ＋ 余项」，不要逐项累加。 六、分组与错位常同时出现。 有的题拆开后一段是等差、一段是等差乘等比，后一段还要再做一次错位相减。 ★ 这时先分组、再对「难的那段」错位，两次结果相加；顺序别反，先错位会把两项混在一起。 例5（解答·★★★★☆） 在数列中，。（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和。 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 变式5-2（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 变式5-3（单选·★★☆☆☆） 已知等比数列满足：。设，记数列的前项和为，则 = （ ） A. 149 B. 153 C. 155 D. 157 变式5-4（填空·★★★☆☆） 已知数列满足，，则 = ________。 变式5-5（解答·★★★★★） 已知数列 的首项 ，且满足 （）。（1）证明：数列 是等比数列；（2）记数列 的前 项和为 ，求 。 例6（填空·★★★★☆） 设数列是公差为的等差数列，为公比为的等比数列，若，，，记数列的前项和为，则 = _____。 变式6-1（填空·★★★★☆） 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，…，以此类推，若该数列的前（）项和为2的整数幂，则符合条件的的最小值为______。 变式6-2（解答·★★★★☆） 已知数列 和 满足 （），数列 的前 项和为 。若 ，求 。 变式6-3（单选·★★★★☆） 已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和 = （ ） A. 402 B. 404 C. 408 D. 412 四 并项与绝对值求和 一、并项求和：把相邻几项捆成一组。 若 （或连续三项之和）是 的一次式或常数，就把两项捆成一组，先算组和、再乘组数，最后处理余下的零头。 ★ 判断标志：递推或通项里出现「」，或数列在正负之间规律摆动。 ★ 组数算完一定要看有没有余项：总项数为奇时余一项，为偶时不余。 二、绝对值的三步走。 第一步求出 并找出正负分界点（解 ）；第二步分段：分界前取相反数、分界后取原值；第三步两段分别求和再相加。 ★ 分界点常由等差数列的零点给出，如 的零点是 ，故 为负、 为正。 三、奇偶分讨。 数列的奇数项、偶数项各自成等差或等比时，分开写成两个和，再按 的奇偶合并。 ★ 求前 项和时两段各 项；求前 项和时奇数项 个、偶数项 个 —— 这一步差一位是本节最常见的错。 四、插项型：先数清插入个数。 在 与 之间插入若干个数时，新数列的前 项由「原数列若干项」和「插入的项」混排，要先算出第 段之前一共占了多少项。 ★ 插入的项若全是同一个数，插入部分的和等于「插入个数 × 该数」，不必逐项加。 五、写完回头核项数。 并项型核「组数 × 每组项数 ＋ 余项 = 总项数」；绝对值型核「负段项数 ＋ 正段项数 = 总项数」；插项型核「原项数 ＋ 插入总数 = 目标项数」。 ★ 这三条核对能挡住九成的错，比重新算一遍快得多。 例7（解答·★★★★★） 已知是等差数列，其前项和为，，。是各项均为正数的等比数列，，。（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和；（3）在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和。 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若数列满足，，则 = （ ） A. 155 B. 156 C. 203 D. 204 变式7-2（多选·★★★★☆） 已知数列中，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 满足，且的所有的和为1225 C. 满足的的取值集合为 D. 若，则 变式7-3（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 若，则的最大值为1214 D. 的前36项和为1226 学科网（北京）股份有限公司 $