第40课时　数列求和专项训练-2027届高三数学一轮复习

第40课时　 数列求和 1．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于(　　) A．13　　　　　　　　　 B．10 C．9 D．6 2．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为(　　) A．2n－1 B．n·2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2 3．若数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和S10为(　　) A. B. C. D. 4．已知等差数列{an}的公差d＝1，且a3，a5＋1，2a6成等比数列，则数列{(－1)n＋1an}的前2 025项和为(　　) A．－1 013 B．－505 C．505 D．1 013 5．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　) A．(3n－1)2 B．(9n－1) C．9n－1 D．(3n－1) 6．(2025·天津)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(　　) A．48 B．112 C．80 D．144 7．Sn＝＋＋…＋＝________． 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高斯，我们把取整函数y＝[x]，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.9]＝1，[－1.3]＝－2.已知等差数列{a}满足an>0，a＝3，a＝5，则＝________． 9．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝则数列{an}的前2 025项和为________． 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3，Sn－1＋Sn＋Sn＋1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)． (1)求a3，a4的值； (2)求{an}的前3n项和S3n. 11．已知数列{an}是公比为2的等比数列，数列{bn}是等差数列，a1＝b3，a2＝b5，a3＝b8＋1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝an＋，求数列{cn}的前n项和Sn. 12．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前32项和为________． 13．在数列{an}中，已知a1＋＋＋…＋＝2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)在数列{an}中的a1和a2之间插入1个数x11，使a1，x11，a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21，x22，使a2，x21，x22，a3成等差数列；…；在an和an＋1之间插入n个数xn1，xn2，…，xnn，使an，xn1，xn2，…，xnn，an＋1成等差数列，这样可以得到新数列{bn}：a1，x11，a2，x21，x22，a3，x31，x32，x33，a4，…，an，设数列{bn}的前n项和为Sn，求S55(用数字作答)． 14．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，ai和bi是下表第i行中的数(i＝1，2，3)，且a1，a2，a3中的任何两个数不在同一列，b1，b2，b3中的任何两个数也不在同一列． 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 3 4 第二行 5 6 7 8 第三行 9 10 11 12 (1)请问满足题意的数列{an}和{bn}各有多少个？写出它们的通项公式(无需说明理由)； (2)若{bn}的公比为整数，且a1＋b1＝6.数列{cn}满足anan＋1cn＋(an－3)bn＋1＝0，求{cn}的前n项和Sn. 15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n＋2，求b1，b2，并证明数列{bn}是等比数列； (2)记cn＝a2n＋3，求满足c1＋c2＋c3＋…＋cn<100的所有正整数n的值． 16．设Sn为数列{an}的前n项和，且an是Sn和8的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，证明：≤Tn<. 17．设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<. 18．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，n∈N*. (1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Sn. 19．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋. (1)证明：是等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设m为整数，且对任意n∈N*，m≥＋＋…＋恒成立，求m的最小值． 参考答案 1．答案　D 解析　∵an＝＝1－， ∴Sn＝n－＝n－1＋. 而＝5＋，∴n－1＋＝5＋.∴n＝6. 2．答案　D 解析　由题知该数列的通项为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1， ∴Sn＝－n＝2n＋1－2－n. 3．答案　B 解析　∵bn＝＝＝－， ∴S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝. 4．答案　D 解析　因为a3，a5＋1，2a6成等比数列，所以(a5＋1)2＝a3×2a6，则(a1＋5)2＝(a1＋2)×2(a1＋5)，解得a1＝1或a1＝－5，当a1＝－5时，a6＝0，与a3，a5＋1，2a6成等比数列矛盾，不符合题意，当a1＝1时，an＝1＋n－1＝n，(－1)n＋1an＝(－1)n＋1n，其前2 025项和为1－2＋3－4＋…－2 024＋2 025＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 023－2 024)＋2 025＝1 012×(－1)＋2 025＝1 013，故D正确．故选D. 5．答案　B 解析　因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．则当n≥2时，an＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*)． 则数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列，a＋…＋a＝＝(9n－1)．故选B. 6．答案　C 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9，显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，所以|an|＝所以{|an|}的前12项和为＋＝80.故选C. 7．答案　 解析　设通项an＝＝＝，∴Sn＝＝＝. 8．答案　8 解析　根据题意得a＝n＋2，即an＝，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝10－，所以原式＝[10－]＝8. 9．答案　14 580 解析　由题意得a2＝6，a3＝12，a4＝5，a5＝10，a6＝3＝a1，∴{an}是周期为5的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝36，2 025÷5＝405，则a1＋a2＋…＋a2 025＝405×36＝14 580. 10．答案　(1)a3＝5，a4＝7　(2)9n2 解析　(1)Sn－1＋Sn＋Sn＋1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)①， 在①中令n＝2，得S1＋S2＋S3＝3×22＋2，于是3a1＋2a2＋a3＝14，由a1＝1，a2＝3，得a3＝5. 在①中令n＝3，得S2＋S3＋S4＝3×32＋2，于是3a1＋3a2＋2a3＋a4＝29， 由a1＝1，a2＝3，a3＝5，得a4＝7. (2)当n≥2时，用n＋1代替①中的n得Sn＋Sn＋1＋Sn＋2＝3(n＋1)2＋2(n≥1，n∈N*)②， 由②－①得an＋an＋1＋an＋2＝6n＋3，n≥2，又易知a1＋a2＋a3＝9＝6×1＋3，故an＋an＋1＋an＋2＝6n＋3，n∈N*， 所以S3n＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a3n－2＋a3n－1＋a3n)＝6(1＋4＋7＋…＋3n－2)＋3n＝6×＋3n＝9n2. 11．答案　(1)an＝2n，bn＝n－1　(2)2n＋1－1－ 解析　(1)设数列{bn}的公差为d， 则解得 ∴an＝2·2n－1＝2n，bn＝0＋(n－1)·1＝n－1， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n，数列{bn}的通项公式为bn＝n－1. (2)由题可知cn＝2n＋＝2n＋－， 则Sn＝21＋22＋…＋2n＋－＋－＋…＋－＝＋1－＝2n＋1－2＋1－＝2n＋1－1－. 12．答案　528 解析　当n为奇数时，an＋1－an＝2n－1，an＋2＋an＋1＝2n＋1，两式相减得an＋2＋an＝2；当n为偶数时，an＋1＋an＝2n－1，an＋2－an＋1＝2n＋1，两式相加得an＋2＋an＝4n，所以前32项和S32＝(a1＋a3＋a5＋…＋a31)＋(a2＋a4＋…＋a32)＝2×8＋4(2＋6＋…＋30)＝16＋4××8＝528. 13．答案　(1)an＝2n　(2)14 337 解析　(1)因为a1＋＋＋…＋＝2n， 当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝2(n－1)， 两式作差，可得＝2，所以an＝2n，n≥2， 当n＝1时，a1＝2×1＝21，满足上式， 所以an＝2n. (2)依题意，可知an，xn1，xn2，…，xnn，an＋1成等差数列，xn1＋xn2＋…＋xnn＝·n＝·n＝·n＝3n·2n－1， 又因为a10在数列{bn}中是第10＋1＋2＋…＋9＝55(项)， 则有S55＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[x11＋(x21＋x22)＋…＋(x91＋x92＋…＋x99)]＝(2＋22＋…＋210)＋3×(1×20＋2×21＋…＋9×28)，又2＋22＋…＋210＝＝2(210－1)＝211－2，令T＝1×20＋2×21＋…＋9×28①，则2T＝1×21＋2×22＋…＋9×29②，①－②得－T＝20＋21＋22＋…＋28－9×29＝－9×29＝－8×29－1，T＝8×29＋1，故S55＝(211－2)＋3×(8×29＋1)＝14 337. 14．答案　(1)见解析　(2)2－ 解析　(1)由题意知满足题意的数列{an}有4个，它们的通项公式分别为an＝5n－4，an＝5n－3，an＝3n，an＝3n＋1. 满足题意的数列{bn}有2个，它们的通项公式分别为bn＝3×2n－1，bn＝4×. (2)因为等比数列{bn}的公比为整数，故由(1)知bn＝3×2n－1，b1＝3， 又a1＋b1＝6，所以a1＝3，所以数列{an}的通项公式为an＝3n. 由anan＋1cn＋(an－3)bn＋1＝0得9n(n＋1)cn＋(3n－3)×3×2n＝0， 所以cn＝＝＝＝－， 所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝－＋－＋…＋－＝2－. 15．答案　(1)b1＝5，b2＝10，证明见解析　(2)1，2，3，4 解析　(1)由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝8，所以b1＝5，b2＝10. 证明如下：因为＝＝＝＝2， 所以数列{bn}是首项为5，公比为2的等比数列． (2)由(1)知bn＝5×2n－1，所以cn＝5×2n－1＋1， 所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝5×20＋5×21＋…＋5×2n－1＋n＝5×＋n＝5(2n－1)＋n＝5×2n＋n－5， 易知函数y＝5×2x＋x－5单调递增，且c1＋c2＋c3＋c4＝79<100<c1＋c2＋c3＋c4＋c5＝160， 所以满足条件的所有正整数n的取值为1，2，3，4. 16．答案　(1)an＝2n＋2　(2)证明见解析 解析　(1)因为an是Sn和8的等差中项， 所以an＝，即Sn＝2an－8①. 当n＝1时，S1＝2a1－8，得a1＝8. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－8②， ①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，得an＝2an－1，即＝2， 所以数列{an}是以8为首项，2为公比的等比数列． 所以an＝8×2n－1＝2n＋2. (2)证明：因为bn＝log2an＝log22n＋2＝n＋2， 所以＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝－. 由于n≥1，得0<≤，得≤－<，所以≤Tn<. 17．答案　(1)an＝，bn＝n·　(2)证明见解析 解析　(1)∵a1，3a2，9a3成等差数列， ∴6a2＝a1＋9a3， ∵{an}是首项为1的等比数列，设其公比为q， 则6q＝1＋9q2，∴q＝，∴an＝a1qn－1＝， ∴bn＝＝n·. (2)证明：由(1)知an＝，bn＝n·， ∴Sn＝＝－×， Tn＝1×＋2×＋…＋n·，① ∴Tn＝1×＋2×＋…＋n·，② ①－②得Tn＝－n， ∴Tn＝－×－·， ∴Tn－＝－×－·－＝－·<0，∴Tn<. 18．答案　(1)证明见解析，an＝　(2)1＋ 解析　(1)证明：因为1－an＋1＝1－＝，且1－a1＝≠0， 所以＝＝1＋， 即－＝1， 又＝2，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以＝n＋1，所以an＝. (2)由(1)知an＝，所以bn＝(－1)n＝(－1)n＋1， 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－＋－…＋(－1)n＋1＝1＋. 19．答案　(1)证明见解析，an＝　(2)9 解析　(1)证明：由已知得－＝， 所以是首项为1，公差为的等差数列． 所以＝1＋(n－1)＝. 故{an}的通项公式是an＝. (2)由(1)得＝＝6. 设Sn＝＋＋…＋， 则Sn＝6 ＝6＝9－－. 易知{Sn}为递增数列，且Sn<9. 所以符合题设条件的m的最小值为9. 学科网（北京）股份有限公司 $