第4讲数列求和提高专项训练-2027届高三数学一轮复习

数列求和 裂项相消、分组并项与错位相减 裂项相消 裂项相消的关键是把通项改写成差，而这个改写有时不是现成的。遇到 这种「用两个项表示」的通项，先把 的通项代进去，看它变成什么形状：分母是 的一次式相乘时，差分的系数由两个因式之差决定；分母的因式差里含参数时，这个参数就是拆分时分母要放的那个常数。 通项里带「与 无关的因子」时，裂项要连因子一起处理。比如通项是「某个数的 次幂」乘上一个分式，这个幂可以留在外面当公因子，也可以并进相邻两项的差里 —— 哪种能消就看指数与分母的搭配。判断的办法只有一个：把猜出来的差写出来，通分回去，与原通项逐项对照，缺什么补什么。 除分式之外，还有两族值得记住的裂项。一族是根式： 有理化之后就是 。另一族是三角式：可以写成 ，靠的是正切的和差角公式。这两族的共同点是先把通项「约」成差，再求和。 由和式反求通项是裂项题的常见前置步骤。等式一边是 或者一串项的和，另一边是 的表达式时，把 换成 再写一遍，两式相减，左边就只剩下了第 项。这一步与「由前 项和求通项」是同一条式子，区别只在于求和号里放的是 还是别的量。 最后一步必须回代检验。相减得到的通项通常只在 时成立，而求和时若把它套在 上，头一项就可能与真实值差一截 —— 那样整个和都会跟着错。所以通项写完之后，用 单独算一遍，两边对得上才开始求和。 例1（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前n项和为，，。（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和。 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。 变式1-2（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足。（1）求数列，的通项公式；（2）已知数列满足：，求数列的前n项和。 例2（解答·★★★★☆） 已知数列满足。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）令，求数列的前n项和。 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，。（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前n项和。 变式2-2（解答·★★★★★） 已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，。（1）求和的通项公式；（2）若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值。 例3（解答·★★★★☆） 已知数列为等差数列，且满足。若，求数列的前项和。 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知数列中，，设为前n项和，。（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和 分组、并项与错位相减 错位相减的流程是固定的，但每一步都容易出小错。设通项是「一次式乘等比」，先写出两行：第一行是不乘公比的 ，各项按 的顺序排开；第二行是乘了公比的 ，各项统一往后错一位。两行相减时，对齐的是指数相同的项，不是位置相同的项 —— 错位相减这个名字说的就是这件事。 相减之后中间那一段是等比数列；求这一段的和时，首项与项数都要数清：错位相减会消掉第一项与最后一项中的一项，中间剩下的项数比原来的项数少一。整段算完之后，两边同除以 ，注意 这个前提在题目里通常已经给足。 「一次式乘等比」的和有固定的形状：结果一定形如「 再加上一个常数」。算完可以用 代回去验一眼 —— 把 与首项比，两边对得上基本就不会错。这个形状也可以反过来用：题目给出 的表达式时，两侧同乘以 或者两边作差，就能把通项还原出来。 并项求和的要点是配对之后要能算。通项里带 时，相邻两项往往一正一负，先加起来再看；如果加起来不整齐，就改成把奇数项与偶数项各自成列。配对的组数要按总项数的奇偶分情况，项数为奇数时最后会多出一项，这一项不能漏。 有一类题的求和要先求通项。题干给的是相邻两项的递推关系，通项往往要分奇偶写，或者写成「某一项加上一个等比数列」的形状。通项分段时，求和也要跟着分段 —— 把奇数项的和与偶数项的和分别算出来，再加起来。这时候最好把两组各自的首项、项数、公比都在纸上列清楚，否则很容易把某一组算成 项而实际是 项。 例4（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和为，且。数列是公比为3的等比数列，且。（1）求数列和数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。 变式4-1（解答·★★★★☆） 已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，。（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和。 变式4-2（解答·★★★★☆） 已知数列，，。（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和。 变式4-3（解答·★★★★☆） 已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，。（1）求数列和的通项公式；（2）若为递增数列，，求数列的前项和。 例5（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和，等比数列满足，。（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和。 例6（解答·★★★★☆） 已知数列的首项为，且满足。（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和。 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和为，且，。（1）求的通项公式；（2）保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列求和 裂项相消、分组并项与错位相减 裂项相消 裂项相消的关键是把通项改写成差，而这个改写有时不是现成的。遇到 这种「用两个项表示」的通项，先把 的通项代进去，看它变成什么形状：分母是 的一次式相乘时，差分的系数由两个因式之差决定；分母的因式差里含参数时，这个参数就是拆分时分母要放的那个常数。 通项里带「与 无关的因子」时，裂项要连因子一起处理。比如通项是「某个数的 次幂」乘上一个分式，这个幂可以留在外面当公因子，也可以并进相邻两项的差里 —— 哪种能消就看指数与分母的搭配。判断的办法只有一个：把猜出来的差写出来，通分回去，与原通项逐项对照，缺什么补什么。 除分式之外，还有两族值得记住的裂项。一族是根式： 有理化之后就是 。另一族是三角式：可以写成 ，靠的是正切的和差角公式。这两族的共同点是先把通项「约」成差，再求和。 由和式反求通项是裂项题的常见前置步骤。等式一边是 或者一串项的和，另一边是 的表达式时，把 换成 再写一遍，两式相减，左边就只剩下了第 项。这一步与「由前 项和求通项」是同一条式子，区别只在于求和号里放的是 还是别的量。 最后一步必须回代检验。相减得到的通项通常只在 时成立，而求和时若把它套在 上，头一项就可能与真实值差一截 —— 那样整个和都会跟着错。所以通项写完之后，用 单独算一遍，两边对得上才开始求和。 例1（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前n项和为，，。（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和。 【切入点】第 (2) 问要和的通项是 ，分母是等差数列的相邻两项之积。先由两个条件把等差数列定下来，再把它拆成倒数之差。 【关键】设首项为 、公差为 。由 得 ，即 ；由 得 ，即 。两式联立解得 ，，故 。 【关键】。两个因式相差 ，所以拆成 。累加得 。 【易错】系数 与「因式之差 」是同一个数，拆完要通分回去验一眼分子是否为 。求和后剩下的两项是 的正部与最后一项的负部： 使正部恰好是 ；写成 就错了。 【答案】； 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。 【切入点】条件写成了 的样子，这本质上是「已知前 项和求通项」。先求出 ，再处理分式的求和。 【关键】由 得 （），两式相减得 ；取 得 ，与 一致，故 。 【关键】，累加得 。 【易错】条件里给的是「前 项之和等于 」，它与「」是一回事，但套公式时别忘了 要单独验。裂项的系数是 ，写成 会让结果整体放大一倍。 【答案】； 变式1-2（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足。（1）求数列，的通项公式；（2）已知数列满足：，求数列的前n项和。 【切入点】第 (2) 问要和的通项里同时出现 与 ，一个是等比、一个是裂项结构。先把两个数列都定下来，再找这个通项能拆成什么样的差。 【关键】由 得 ，又 得 ，所以公差 、，。由 取 得 ； 时两式相减得 ，即 ，所以 。 【关键】，两个分式通分后分子正是 。于是累加时前后相消，。所以 ，；。 【易错】猜这个差的时候要拿 先试：，而拆出来的两项在 处正好相等，差为 ，对得上。若系数没配平，通分回去会多一个常数因子。求和后剩下的负部是 ，别漏掉。 【答案】，； 例2（解答·★★★★☆） 已知数列满足。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）令，求数列的前n项和。 【切入点】三问串成一条链：先证相邻两项的差成等比，再由差累加出通项，最后取对数得到一个更简单的数列再求和。每一步都要用上前面一步的结果。 【关键】设 。由 得 ，又 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列，即 。于是 。 【关键】，，累加得 。所以 ，。 【易错】证明等比数列必须先交代 ，否则公比无从谈起。累加时求和号的上标是 （第 项要累加 个差），写成 会多出一项 。最后一步取对数用的是 ，别把底数 与真数里的 混掉。 【答案】证明见解析；； 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，。（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前n项和。 【切入点】要和的通项是 ，前一半是分式、后一半是乘积。两半互不干扰，分别求和再相加即可。 【关键】由 得 ；由 得 ，所以 、，。由 取 得 ； 时两式相减得 ，即 ，所以 。 【关键】，前 项和为 。又 ，这是公比为 的等比数列，前 项和为 。所以 。 【易错】等比那一半的公比是 的平方，即 ，不是 ；首项是 ，写成 会整体差一个 倍。分式那一半的首项是 ，而 在 处正是 ，对得上。 【答案】，； 变式2-2（解答·★★★★★） 已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，。（1）求和的通项公式；（2）若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值。 【切入点】第 (2) 问要和的通项是 ，分母是两项乘积的平方。先把 求出来，再看它能不能拆成两个倒数平方之差。 【关键】设等差数列首项为 、正项等比数列公比为 。由 与 得 ，。消去 得 ，由 取 ，从而 。所以 ，。 【关键】，累加得 。又 ，所以 。 【关键】由 得 ，即 。因 为正整数，故 ， 的最小值为 。 【易错】拆分的系数是 ：两个平方倒数相减，通分后的分子是 ，而待求式的分子是 ，正好是它的一半。解 时先因式分解再定范围，直接开方会丢掉负根那一侧。 【答案】，； 的最小值为 例3（解答·★★★★☆） 已知数列为等差数列，且满足。若，求数列的前项和。 【切入点】条件 把「下标翻倍」的项与原来的项连在一起。取 就能得到 ，再结合 定出公差。 【关键】在 中取 ，得 。于是公差 ，。（代回验一遍：，而 ，两边一致。） 【关键】。累加得 。所以 。 【易错】分母相差 ，所以系数是 而不是 。相邻两项的下标跳了一格，消完之后剩下的是 与 两项，中间不会「多剩一半」—— 这一点写出来数一遍就放心了。 【答案】 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知数列中，，设为前n项和，。（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和 【切入点】要和的通项是 。分母是相邻两个余弦之积，分子是一个定角的正弦 —— 这正是正切差角公式拆出来的形状。 【关键】由 与 求通项：取 得 ，故 ； 时把 与 相减，得 。取 得 ，取 得 ，，可见 （）。 【关键】，，所以 。由正切差角公式 ，所以 ，累加得 。 【易错】把 直接当成 这一步要先确认 对 也成立（本题成立）。用差角公式时分子应当是 ，套成 的差角会得到另一个式子。 【答案】； 分组、并项与错位相减 错位相减的流程是固定的，但每一步都容易出小错。设通项是「一次式乘等比」，先写出两行：第一行是不乘公比的 ，各项按 的顺序排开；第二行是乘了公比的 ，各项统一往后错一位。两行相减时，对齐的是指数相同的项，不是位置相同的项 —— 错位相减这个名字说的就是这件事。 相减之后中间那一段是等比数列；求这一段的和时，首项与项数都要数清：错位相减会消掉第一项与最后一项中的一项，中间剩下的项数比原来的项数少一。整段算完之后，两边同除以 ，注意 这个前提在题目里通常已经给足。 「一次式乘等比」的和有固定的形状：结果一定形如「 再加上一个常数」。算完可以用 代回去验一眼 —— 把 与首项比，两边对得上基本就不会错。这个形状也可以反过来用：题目给出 的表达式时，两侧同乘以 或者两边作差，就能把通项还原出来。 并项求和的要点是配对之后要能算。通项里带 时，相邻两项往往一正一负，先加起来再看；如果加起来不整齐，就改成把奇数项与偶数项各自成列。配对的组数要按总项数的奇偶分情况，项数为奇数时最后会多出一项，这一项不能漏。 有一类题的求和要先求通项。题干给的是相邻两项的递推关系，通项往往要分奇偶写，或者写成「某一项加上一个等比数列」的形状。通项分段时，求和也要跟着分段 —— 把奇数项的和与偶数项的和分别算出来，再加起来。这时候最好把两组各自的首项、项数、公比都在纸上列清楚，否则很容易把某一组算成 项而实际是 项。 例4（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和为，且。数列是公比为3的等比数列，且。（1）求数列和数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。 【切入点】要和的通项是 ，一个等差数列乘一个等比数列。这种形状只能走错位相减：把 写一遍、再乘公比写一遍，两式相减。 【关键】由 得 （），而 也符合，故 ；又 、公比为 ，所以 。于是 。 【关键】写两行：；两边乘 得 。两式相减（指数相同的项对齐）：。 【关键】，所以 ，两边同除以 得 ，即 。 【易错】相减时对齐的是指数：第一行的 项要与第二行的 项对上，按位置对齐会把整段错开。中间等比段求和时，项数是 项（从 到 ），首项是 而不是 。最后可以用 验算：，而 ，对得上。 【答案】，； 变式4-1（解答·★★★★☆） 已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，。（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和。 【切入点】要和的通项是 ，等差乘等比，走错位相减。只是两个数列的公差与公比都是 ，先把通项化成指数形，能省不少事。 【关键】由 、 与两个数列的公差公比都是 ：设 ，则 ；设 ，则 。代入得 、，解得 。所以 ，。 【关键】。公比为 ，用错位相减（两式相减时用 ）：，，两式相减后整理得 。 【易错】公比小于 时，错位相减用 更顺，因为中间那段等比的和收敛式好写。指数 在 较大时为负指数，验算时取 ：，而 ，对得上。 【答案】，； 变式4-2（解答·★★★★☆） 已知数列，，。（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和。 【切入点】要和的通项是 ，而 本身是一个常数加一个等比。把它乘开之后通项变成「」加「 乘等比」两块，两块分别求和即可。 【关键】由 得 ，又 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列，，即 。 【关键】，所以 。后一段用错位相减（公比 ）得 ，于是 。 【易错】 里的 是下标、不是常数，不能把它提到求和号外面。拆成「 的和」与「 乘等比的和」两块之后，第一块用等差数列求和公式，第二块才用错位相减，两块的处理方式不同，别混着算。 【答案】证明见解析，； 变式4-3（解答·★★★★☆） 已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，。（1）求数列和的通项公式；（2）若为递增数列，，求数列的前项和。 【切入点】第 (2) 问在 递增的前提下要求 的前 项和，等差乘等比，走错位相减。先把两个数列的通项从条件里解出来。 【关键】由 得 ；由 得 。设 ，再由 、 逐一代入，结合 递增可得 、。 【关键】。写两行：，，相减得 ，所以 。 【易错】求 时 给出 ，要按题干「 为递增数列」筛掉负值那一支。错位相减后 里的等比段是 ，共 项、首项为 ，写成从 开始会多一项。验算 ：，而 ，对得上。 【答案】，； 例5（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和，等比数列满足，。（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和。 【切入点】通项是 ，其中 是等差数列、 是等比数列，仍然是等差乘等比，走错位相减。只是这里的等差项带着 ，算的时候要把它一起带进去。 【关键】由 得 （），而 也符合，故 。由 、 得公比 ，所以 。于是 。 【关键】写两行：；两边乘 得 。两式相减得 。 【关键】，所以 ，两边同乘 得 。 【易错】 乘上 之后指数是 而不是 —— ，这一步弄错整段都会跟着偏。用 验算：，而 ，对得上。 【答案】，； 例6（解答·★★★★☆） 已知数列的首项为，且满足。（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和。 【切入点】递推式是 ，相邻两项相加等于一个与 有关的量。这类递推把两项合并看：考察 这个差，看它每走一步会变成什么。 【关键】设 ，则 。又 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列。 【关键】由上得 ，即 。于是 。前一半是 ；后一半当 为偶数时为 、当 为奇数时为 。所以 （ 为偶数），（ 为奇数）。 【易错】把 写成 之后， 那一项的部分和必须分奇偶：偶数项一正一负抵消、奇数项会多出一个 。只写一个式子会漏掉一半的情形。验算： 时 ，而 ，对得上。 【答案】证明见解析；（ 为偶数），（ 为奇数） 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和为，且，。（1）求的通项公式；（2）保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求。 【切入点】第 (2) 问把数列「撑开」了：在每一对相邻项之间插入若干个 ，得到一个更长的数列。要算它前 项的和，关键是先数清原数列有几项进到了这 项里。 【关键】由 与 ：，，，可见 （逐项验算：，故 ，对一切 成立）。 【关键】原来第 与第 项之间插 个 。算到原来的第 项为止，项数为 。取 得 ，所以前 项正好是「原来的前 项」加上「 个 」。于是 。 【易错】插进去的 一共有 个（不是 个），因为第 项之后还没开始插。数项数时用「」这个式子试 ，比逐项数靠谱得多。 【答案】； 学科网（北京）股份有限公司 $