数列专题第4讲等比数列的通项与性质讲义-2027届高三数学一轮复习

等比数列的通项与性质 数列 · 专题篇 一 基本量与通项公式 一、通项公式与四个量。 。、、、 四个量里，任意知道三个就能定出第四个；题给的条件越多，越要先想「能不能消掉 」。 二、作商：相邻两项之比就是 。 条件写成「 等于某个数」这种「相邻两项之和」时，把后一组和除以前一组和： ，一组条件就能把 直接读出来。 三、消元：两个条件相除，先干掉 。 条件里 与 同时出现时，把两式写成 与 的形式，相除得 ，这是只含 的方程。 ★ 相减也能消 ，但往往得不到齐次式；相除是等比题的第一选择。 四、 的多解要按题设取舍。 会解出 ， 也可能有正负两解。取舍只看题面三句话： 「各项均为正数」⇒ 且 ；「递增」⇒ 时 、 时 ；「递减」恰相反。 ★ 只写「等比数列」而没限制符号时， 的两个解都要留着 —— 选项里带 的，往往就是在考这一点。 五、解答题的两问结构。 第（1）问一般由两个条件定 与 （常是 这类两次方程）；第（2）问把 的范围代回，用 把 写成 的函数，再看这个函数在区间上的单调性。 ★ 用 作桥最省事：，后面所有量都化成一个 的式子。 例1（单选·★☆☆☆☆） 设为等比数列，且，则 = （ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 96 【切入点】给的是 与 两组相邻项之和，后一组正好是前一组的 倍 —— 相除就把 拿到手，根本不用求 。 【关键】，而 ，故 。 再由 ，选 D。 【易错】第一， 与 相差 个公比（下标差 ），不是 个。第二， 是整组的倍数，不是单项的差，别写成 。第三， 而不是 ，这是本题最常见的算错点。 【答案】D 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 已知单调递减的等比数列满足，，则 = （ ） A. 6 B. C. D. 【切入点】给的是 与 两个单项 ——相隔一项，平方关系直接给出 ，再用「单调递减」定 的符号。 【关键】由 得 ，故 。若 ，各项正负交替，不是单调数列，舍去；故 。 于是 ，选 A。 【易错】第一， 会得到 ，但「递减」这个条件把 排除掉了，选项 B 就是给不取舍的人准备的。第二， 时数列是 ，绝对值递减但符号交替，不叫单调递减。第三， 与 只差一个 ，不是 。 【答案】A 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「在 与 之间插入 个数」——插入后一共 项，首项 、末项 ，中间隔了 个公比。 【关键】，即 ，故 ，得 ，选 A。 【易错】第一，插入 个数后是 项，公比个数是 ，不是 。第二， 是奇次幂，符号与 一致，只能取负根。第三，，别算成 的其它次幂。 【答案】A 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【切入点】两个条件都含 ，且第二个条件里的 能拆出因式 —— 与第一个条件相除， 与 一起消掉。 【关键】；。两式相除得 ，故 ，选 C。 【易错】第一， 要主动拆，不拆就只能联立二次方程，白算一遍。第二，相除后得到的是 而不是 ，还要再移项变号。第三， 满足两个条件，此时 ，可代回验一遍。 【答案】C 变式1-4（单选·★★☆☆☆） 已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则 = （ ） A. B. 4 C. D. 2 【切入点】条件 里三个和都能用 型写出，而 已知 —— 直接代入就是 的一元二次方程。 【关键】，，。代入得 ，整理得 ，故 或 。 题设 ，取 ，选 D。 【易错】第一，，别把 漏乘进去。第二，右边 的 常常被漏掉，漏了就解不出整数根。第三， 是方程的另一个根，靠 舍去。 【答案】D 变式1-5（单选·★★☆☆☆） 已知正项等比数列中，，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件都是「两项之差」，且 与 都能提出公因式 —— 相除得一个只含 的分式方程。 【关键】，。相除得 。 故 ，得 或 。 代入第一式得 ，即 ，与「正项」矛盾，舍去；故 、。 于是 ，选 D。 【易错】第一，相除前要先约掉 ，这要求 （ 时左边为 ，不合题意）。第二，两个根里 会让 ，必须用「正项」这条题设排掉。第三， 与 差 个公比。 【答案】D 例2（解答·★★★★☆） 已知公比为的等比数列的前项和为，且。（1）若，求；（2）若，求的取值范围。 【切入点】条件只有 一条等式，却要问 与 ——把 拆成 ，后面所有量都写成一个 的式子。 【关键】第（1）问：由 得 ；又 即 ， 故 ，得 或 。 第（2）问：。令 ，则 。 当 时 ， 在 上递增，故 ；当 时 ，同理 ，故 。 所以 或 ； 的取值范围是 。 【易错】第一， 两边能约掉 ，前提是 （等比数列首项必不为零）。第二， 是「 或 」，不是「」。第三，端点 与 取不到，区间必须用开区间。 【答案】 或 ； 的取值范围是 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知等比数列，其公比，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【切入点】 是一个齐次分式 ——分子分母同除 后只剩 ，化成 的形式，基本不等式就位。 【关键】、、，故原式化为 。 因 ，由基本不等式 ，等号当 时成立。最小值为 ，选 B。 【易错】第一，分子分母的次数要对齐： 是 的 次与 次，除以 才对称。第二，基本不等式要求两项都为正， 这条题设不能丢。第三，等号条件 即 是有解的，所以最小值确实取得到。 【答案】B 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 记正项等比数列的前项和为，且，，则 = （ ） A. 243 B. 81 C. 27 D. 9 【切入点】 已知， 直接展开成 ——先解 ，再用通项跳到 。 【关键】，即 ，得 或 。题设「正项」故 ，取 。 于是 ，选 A。 【易错】第一，，别套成 再算一遍，容易出错。第二， 会让 ，与「正项」矛盾。第三， 与 差 个公比，是 不是 。 【答案】A 变式2-3（填空·★★★☆☆） 某公园有4条同心圆环步道，其长度构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为__________。 【切入点】四条步道长度成等比、公比 ——最短是 、最长是 ，题目给的「差 」正好是这两者之差。 【关键】，故 。 于是最长步道 ，即最长步道为 m。 【易错】第一，四条步道对应 到 ，最长是 ，不是 。第二， 里的 来自 ，别写成 。第三，题目问的是最长步道，不是首项 。 【答案】 二 等比中项与判定 一、等比中项的定义。 若 、、 成等比数列，则 ， 叫做 与 的等比中项。 ★ 这里 、 必须同号，否则 不存在（实数范围内）。 二、中项只定绝对值，符号另判。 只能推出 ，正负两个值都要先写上，再用题设定夺。 取舍的三条常用依据：「各项为正」⇒ 取正；「递增」且首项为正 ⇒ 公比大于 ，中项取大；「递减」则恰相反。 ★ 题面只说「等比数列」时， 的两个值都必须留在答案里 —— 选择题里带 的选项就是为这个准备的。 三、判定要用定义，不用中项式。 证 是等比数列，标准写法是 （ 为非零常数，且 ）。 用 判定的前提是每一项都不为零，且还要排除正负交替（ 恒为同一个数）。 ★ 检验一个「三个数成等比」的命题，最省事的反例是让公比取 或 ：此时会出现若干项为零或相等，直接推翻结论。 四、 与「 成等比」不等价。 「 成等比」⇒ 一定成立（必要性）；但 推不出成等比：取 、、， 成立，而 不是等比数列（公比不存在）。 所以 是「 成等比」的必要不充分条件。 ★ 补上「 均不为零」之后，两者才等价。 五、三数成等比的对称设法。 已知三数成等比且给和与积时，设成 、、，三数之积等于 立刻定出 ；再解和式得 与 一对。 ★ 这一步与等差的「对称设元」是同一套路，区别只在等差设 、、，等比设 、、。 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知等比数列中，，则 = （ ） A. 8 B. 16 C. D. 32 【切入点】、、 下标连续 —— 就是 与 的等比中项，一步出结果。 【关键】，故 。 题面只说是等比数列，没有给正负限制，两个值都成立，选 C。 【易错】第一，中项公式给的是 ，开方后必须带正负号，只写 就丢了 的那一支。第二，取 、，则 、、，说明负根确实存在。第三， 的算术平方根是 ，别写成 或 。 【答案】C 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 在等比数列中，，，则 = （ ）。 A. B. 567 C. 451 D. 699 【切入点】 的下标 是偶数，正好等于 —— 乘积就是 ；再用 定 。 【关键】，故 。若 ，由 得 ，即 ，无实数解，舍去。 故 ，代回得 ，即 ，。，选 B。 【易错】第一， 两个值都要试，负值会让 ，这是本题设的关卡。第二， 与 相差 个公比，用 而不是 。第三， 的正负不影响 ，故不必分 与 讨论。 【答案】B 变式3-2（填空·★★☆☆☆） 已知递减的等比数列，前三项的积为216，前三项的和为19，则 = ___________。 【切入点】「前三项的积」与「前三项的和」—— 这是对称设法的标准信号。设三项为 、、 不好用，直接设 、、 更顺，因为积能凑成 。 【关键】，故 ，即 。 又 ，即 ，整理得 ，故 或 。 数列递减且各项为正，取 ，即 ，此时 。故 。 【易错】第一，三数之积是 ，开立方得 ，不是 。第二， 的两个根互为倒数，要靠「递减」选出小于 的那个。第三， 与 差 个公比，。 【答案】 例4（单选·★★☆☆☆） “”是“成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】判断两个命题的推出关系 ——先看「 ⇒ 成等比」能不能举出反例，再看「成等比 ⇒ 」是否恒成立。 【关键】充分性：取 、、，则 成立，但 中后项与前项的比无意义，不是等比数列，充分性不成立。 必要性：若 、、 成等比，设公比为 ，则 、，，恒成立。 故 是「 成等比」的必要不充分条件，选 B。 【易错】第一，反例里的三项不能都取非零 ——非零时 确实能推出成等比，反例必须靠零。第二，「充分」「必要」的方向别弄反：条件在前面、结论在后面。第三，等比数列的项可以含零吗 —— 不可以，但 这个等式本身允许零，两者的差别正在这里。 【答案】B 变式4-1（多选·★★★☆☆） 已知，，，成等比数列，则下列三个数一定可以构成等比数列的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【切入点】四个选项都是「由 拼出的三个数」，统一设 、、、 后代进去看比值是否为常数。 【关键】 项：、、，后项比前项都等于 ，且三项均不为零，成等比。 项：，，，比值同为 ，成等比。 项取 时 ，不成等比； 项取 时三项全为 ，同样不成。故选 BD。 【易错】第一，「成等比」要求每一项都不为零，所以举反例时优先让公比取 或 ，这时和差会出现零。第二， 项的比值是 ，不是 ，平方之后公比的符号被抹掉了，仍是常数。第三，、 只在特殊 下失效，但「一定可以」要求对一切 成立，故都错。 【答案】BD 变式4-2（填空·★★☆☆☆） 已知成等比数列，且，若，则 = __________。 【切入点】三个数成等比，给了和 、积 ——积能一步定出中间项，再回到「和为 」解两端。 【关键】、、 成等比，故 ，于是 ，得 。 再由 与 ，得 、 是方程 的两根，即 或 。 由 知 、，故 。 【易错】第一， 这一步只对三项成等比成立，四项就不成立了。第二， 的两根是 与 ，要靠 定谁是谁，不然答案可能是 。第三， 也可由 与 直接验：。 【答案】 三 下标积性质与对称设元 一、下标和相等的两项之积相等。 若 ，则 。证明只用通项：两边都是 ，次数相同。 ★ 最常用的特例是 ，即 ；「」「」都是它。 二、遇到「和与积混给」就设 与 。 条件里同时出现 与 时，先用积换成 ，于是 、 成了一元二次方程的两根，解出来再定 。 ★ 这一招把「两个未知量」变成「两根」，韦达定理直接给出和与积，省掉联立。 三、前 项积 的两条换算。 ；奇数项时更好用：（中间项的奇数次幂）。 给两个 的值（如 、）时，作商 ，得到的是「相邻两项之积」，再配合下标和性质往前推。 ★ 与 别混： 是积， 是和；求 时用乘、用商，绝不能用求和公式。 四、取对数：积变和。 各项为正时，令 ，则 是等差数列。 于是 ，把乘积条件翻译成下标和的等式。 ★ 见到「」「」这类问法，先把对数拆开看下标，比硬算 快得多。 五、判据收口。 本节四类题的识别特征：① 给两项之积问第三项 ⇒ 下标和性质；② 给和与积 ⇒ 韦达；③ 给 ⇒ 作商或 ；④ 给对数 ⇒ 换成等差再算。 例5（填空·★★☆☆☆） 在正项等比数列中，已知，，则其公比为______。 【切入点】 的下标 ——积就是 ，先把 定下来；剩下的 直接给出 。 【关键】，正项数列故 。由 得 。 于是 ，正项故 ，即 。 【易错】第一， 的下标是 ，不是 。第二， 与 差 2 个公比，所以 而不是 。第三，开方后 ，「正项」这条题设把负根排掉了。 【答案】 变式5-1（填空·★★☆☆☆） 已知为递减的等比数列，且，，则公比 = ______。 【切入点】 的下标 ——换成 ，与 凑成和与积，两根一出， 就到手了。 【关键】，故 、 是 的两根，即 或 。 数列递减，故 、，、，得 。 【易错】第一，递减数列里下标大的反而小，所以是 、，别弄反。第二， 求出的是 ，开方后还有 一支，靠递减舍掉。第三，若把两根弄反，会算出 ，那是递增数列的情形。 【答案】 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 在等比数列中，，，则 = （ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 【切入点】 时每项都是 的幂，把 全部写成 的幂，指数相加就得到 的方程。 【关键】、、，代入得 。因 ，两边约去 得 。 于是 ，选 B。 【易错】第一， 的指数是 ，不是 。第二， 的指数是 ，系数 要留在右边。第三，本题根本不需要解出 ， 正好等于 ，一步到位。 【答案】B 变式5-3（填空·★★☆☆☆） 已知等比数列的各项都是正数，，则 = ______。 【切入点】问的是 ，条件给的是 ——下标 ，取对数后正好把积变成 的两倍。 【关键】，正项故 。 于是 。 【易错】第一， 开方后是 ，「各项都是正数」把负值排掉。第二， 而不是 ，对数与幂次别混。第三，本题不必求出 与 ，只靠下标和性质一步到位。 【答案】 例6（单选·★☆☆☆☆） 已知为等比数列，，，则 = （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 17 【切入点】、、 三项下标成等差， 是等比中项 —— 先算出 ，再借公比把符号定死。 【关键】，故 。 又 ，而 、，故 必须为正，即 ，选 A。 【易错】第一，这一题与前一讲的「」正好相反：那题只给两项、没给后一项的符号，两个解都要留；本题给了 ， 的符号就被锁定了。第二， 里 恒正，所以 与 同号，这是定号的依据。第三，， 的平方根是 。 【答案】A 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，则 = （ ） A. 27 B. 9 C. 3 D. 【切入点】给的是两个前 项积 、 ——作商 ，得到相邻两项之积，再用下标和性质铺开。 【关键】。 六项可按「下标和为 」两两配对：。 故 ，选 A。 【易错】第一， 是积不是和，千万别套 。第二， 而不是 ，作商消掉的是前两项。第三，六项配成三组，每组之积都是 ，所以是 不是 。 【答案】A 变式6-2（多选·★★★☆☆） 已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则数列是递减数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则数列是递增数列 【切入点】 把 与 绑在一起：，故 ——四个选项其实都在问「 在这个区间时数列怎么走」。 【关键】 恒成立。 项： 时 ，故 ，递减，正确。 项： 时 ，故递增，选项说递减，错误。 项： 时 ，但 为负、，递减，选项说递增，错误。 项： 时 ，，递增，正确。故选 AD。 【易错】第一， 恒正，所以 的符号决定整列的符号，别只看 。第二，递增递减要比较 与 ，不能只比较 与 —— 时结论会反过来。第三， 项最容易判错： 却递减，这正是「首项为负」造成的。 【答案】AD 变式6-3（单选·★★★☆☆） 已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【切入点】四个选项各考一条性质：中项的双解、递增与公比的关系、 的最值、下标和性质的逆命题。逐个验。 【关键】 项： 得 ，不必然为 ，错。 项： 即 ， 时要求 ，错。 项：，由基本不等式不小于 ；又 保证 ，等号取不到，故严格大于 ，正确。 项：下标和性质的逆命题不成立 ——取常数列 ，则任意 都成立，但 未必等于 ，错。故选 C。 【易错】第一， 项是「积相等」推「下标和相等」，方向反了；正确的只有「下标和相等 ⇒ 积相等」。第二， 项的不等号要「严格大于」，若漏掉 就只能写「不小于 」（可取等）。第三， 项忽略了 的情形，这是判断题里最常见的坑。 【答案】C 四 等比与等差的交汇判定 一、两句翻译。 「三个数成等差」译成 ；「三个数成等比」译成 （三项均不为零）。交汇题的骨架永远是：一条式子来自等差，一条来自等比，联立解出基本量。 ★ 翻译时优先选下标跨度大的两个条件，跨得越大，方程里 的次数越高、越好约。 二、两类常见入口。 第一类：数列 本身是等差，又说它的某三项「成等比」—— 此时把三项都写成 ，代入 后 会两边抵消，只剩 与 的一次关系。 第二类：数列本身是等比，又说它的某三项（或含新数列的项）「成等差」—— 把三项都写成 ，代入 后约掉 ，得 的方程。 ★ 两类都是「先统一成基本量，再约掉首项」，区别只在约 还是约 。 三、 的方程常是二次，两根要按题设筛。 约完 后典型形态是 或 ，一根为正一根为负；「正项」「各项为正」筛掉负根，「递增」要求 、「递减」要求 。 四、双数列交汇：各算各的基本量。 题里同时出现 （等差）与 （等比）时，先分别用等差、等比的公式把各自的基本量算出来，再用「」这类桥把两边接上。 ★ 桥一般架在某一项上；过桥后问的是对数、比值还是新数列，照常算即可，不必回头再动另一个数列。 五、等差中项与等比中项的混用。 「 是 、 的等比中项」译成 ；「 是 、 的等差中项」译成 。两句都只给一个等式，联立即可。 ★ 注意等比中项允许负数： 时 、 同号即可，不必都为正。 例7（填空·★★☆☆☆） 已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为______。 【切入点】数列本身是等比，条件说「、、 成等差」——把三项都写成 与 的式子， 会整体约掉。 【关键】三项为 、、，成等差即 。，两边同除 得 ，即 。 解得 或 。正项数列要求 ，故 。 【易错】第一，「成等差」是中间项的 倍等于两边之和，写成 就错了。第二，约 前要说明 ，等比数列首项不能为零。第三， 会让 与 异号，「正项」这条题设把它排掉。 【答案】 变式7-1（填空·★★☆☆☆） 等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则 = ______。 【切入点】公差已知为 ，只剩 一个未知量 ——把 、、 全用 表示，代进 就是一个一元一次方程。 【关键】、、，成等比即 。 展开：，故 ，即 。 【易错】第一， 与 差 个公差，所以是 不是 。第二，展开后 两边抵消，这时候不要急着用求根公式。第三，右边常数 、左边 ，两者之差 正好等于 。 【答案】 变式7-2（填空·★★★☆☆） 已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则 = ______。 【切入点】问的是 ，而这两个数只差一个公差 —— 先由等比条件求出 与 的比例，比值就出来了。 【关键】、、，成等比即 。 展开：，即 。公差 ，约去 得 。 于是 。 【易错】第一， 是题面明写的，它就是用来除 的许可。第二，本题不必求出 与 的具体值，只要求出它们的比，算具体值反而多绕一圈。第三， 与 差 个公差，所以分子是 。 【答案】 变式7-3（填空·★★☆☆☆） 设正项等比数列的公比为，若，，成等差数列，则 = ______。 【切入点】数列是等比、条件说三项成等差 ——三项都写成 ， 约掉后只剩 的二次方程。 【关键】三项为 、、，成等差即 。，两边同除 得 。 解得 或 。正项数列要求 ，故 。 【易错】第一，中间项是 ，它的 倍是 ，这个系数最容易写漏。第二， 时 ，与「正项」矛盾。第三， 的根是 与 ，不是 与 。 【答案】 例8（解答·★★★★☆） 已知数列 是公差不为 的等差数列，其前 项和为 ，且 ，，， 成等比数列。求数列 的通项公式。 【切入点】一条条件来自求和（），一条来自等比（）——把三条项都写成 ，等比那条会给出 与 的比例。 【关键】，即 。 又 、、 成等比，故 。展开得 ，即 。 公差 ，两边约去 得 。代入 得 ，故 、。 故 。 所以 。 【易错】第一， 约 时必须以 为前提，否则会漏掉 这一支（本题题面已排除）。第二， 与 差 个公差、 差 个，下标减 再乘 。第三， 里的系数是 。 【答案】 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 【切入点】两个数列各给一条信息：等差那边给 ，等比那边给首项 —— 桥是 ，先各自算出这两项，再接上求公比。 【关键】（奇数项之和等于项数倍的中间项），故 、，即 。 ，故 、，于是 。 ，选 B。 【易错】第一， 只对等差成立，别拿 硬算（那要多两个未知量）。第二， 与 差 个公比， 不是 。第三，底数 小于 ，对数与真数同向变化被反转，结果为负。 【答案】B 变式8-2（多选·★★★☆☆） 设5个正实数组成公差大于0的等差数列，记其首项为a，公差为d，且这5个数中有3个数组成等比数列，则的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【切入点】五个数排成等差，从中任取三个都可能成等比 ——把「选哪三项」逐组列举，每组都给出一个 ，最后与选项比对。 【关键】五项为 、、、、（、）。取 、、：，化简得 ，即 。 取 、、：，化简得 ，即 。 其余各组或得 、或得 ，与题设矛盾。故 可能为 或 ，选 BC。 【易错】第一，容易漏掉「、、」这一组，因为它跨了四项、看起来不像；这一组正是 的来源。第二，、、 这一组解出 ，而题设 ，必须剔除。第三，选项里有 与 ，它们是另外几组算错时的干扰项。 【答案】BC 变式8-3（解答·★★★★☆） 已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列。（1）求的通项公式；（2）探究的单调性，并求其最值。 【切入点】第（1）问两个条件都是关于 与 的线性式；第（2）问 是等比，把 移过去就得到 的解析式，再做差看单调性。 【关键】第（1）问：；又 。联立解得 、，故 。 第（2）问：， 是公比为 的等比数列，故 ，即 。 作差：。当 时差为负，当 时差为正，故 。 所以 ； 先单调递减后单调递增，最小值为 ，无最大值。 【易错】第一，第（1）问 要按 、 展开，写成 会算错。第二， 是首项，公比 从第二项起乘，所以是 不是 。第三，最小值在 处取到：，代 或 都不是最小。 【答案】； 先单调递减后单调递增，最小值为 ，无最大值 学科网（北京）股份有限公司 $