第27讲 等比数列及其前n项和讲义-2027届高三数学一轮复习

第27讲 等比数列及其前n项和 内 容 导 航 知识点1 等比数列 知识点2 等比数列的前n项和公式 知识点3 等比数列及其前n项和的性质 知识点4 等比数列基本量的计算 知识点5 等比数列中的单调性与最值问题 题型1 等比中项及其性质 题型2 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 题型3 等比数列通项公式的应用 题型4 数列的函数特性 题型5 求等比数列的前n项和 题型6 等比数列前n项和的性质 题型7 数列的求和 题型8 数列递推式 题型9 数列与函数的综合 题型10 数列与不等式的综合 题型11 数列与向量的综合 知 识 点 通 关 知识点1 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 知识点2 等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 知识点3 等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 知识点4 等比数列基本量的计算 方法技巧 知三求二方程法 将所有已知条件统一转化为关于首项和公比的方程（组），结合通项公式与前项和公式列方程求解；计算中优先用整体代换简化运算，务必单独验证的特殊情况，避免漏解；涉及与混合条件时，利用和拆分求解。 知识点5 等比数列中的单调性与最值问题 方法技巧 符号公比分类法 单调性由首项的符号与公比的范围共同决定：或时数列递增，反之递减；时数列为摆动数列，无单调性。 最值问题结合项的正负分界点与增减性判断，也可借助对应函数的单调性分析，注意为正整数的约束。 考 点 演 练 题型1 等比中项及其性质 【典例1】已知数列{an}为正项等比数列，若a3＝16，a5＝1，则a4＝（　　） A．±4 B．4 C．﹣4 D．2 【变式1】在等比数列{an}中，若a1+a3＝3，a5+a7＝12，则a3+a5＝（　　） A．6 B．9 C．15 D．81 题型2 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 【典例1】已知等比数列的第二项为9，公比q＝9，则an＝（　　） A．9n﹣1 B．2n+5 C．2n D．2n﹣2 【变式1】已知等比数列{an}的前n项积为Tn，且，，则T8＝（　　） A．16 B．4 C．2 D．1 题型3 等比数列通项公式的应用 【典例1】已知数列{an}为等比数列，若a3＝1，a9＝64，则a5＝（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 【变式1】在等比数列{an}中，若a5＝3，a8a10＝81，则（　　） A．3 B． C．9 D．27 题型4 数列的函数特性 【典例1】已知数列{an}的通项公式为，则an取到最大值时n的值是（　　） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【变式1】已知无穷数列{an}的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（s≠t），满足ai＝as+at，则（　　） A．{an}可能为常数列 B．{an}可能为等差数列 C．{an}不可能为等比数列 D．{an}可能为递减数列 题型5 求等比数列的前n项和 【典例1】已知数列{an}是等比数列，公比q＞0，前n项和为Sn，满足，且S1+S3＝2S2+1，则q＝（　　） A． B．4 C． D．2 【变式1】记正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝13，则a6＝（　　） A．243 B．81 C．27 D．9 题型6 等比数列前n项和的性质 【典例1】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝﹣4，S10＝4，则S15＝ 　 　 ． 【变式1】已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6﹣3S3＝4，则S9﹣S6的最小值为　 　 ． 题型7 数列的求和 【典例1】将正整数N分解为两个正整数k1，k2的积，即N＝k1•k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如6＝1×6＝2×3，2×3即为6的最优分解，当k1，k2是N的最优分解时，定义φ（N）＝|k1﹣k2|，则数列{φ（5n）}的前100项和为（　　） A．549﹣1 B．550﹣1 C．550﹣2 D．549﹣2 【变式1】定义“下凹数列”满足下列2个条件：①；②an+1﹣an＜an+2﹣an+1．设Sn为下凹数列{an}的前n项和，已知a1＝1，a2＝2，若Sn≤100，则n的最大值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 题型8 数列递推式 【典例1】已知数列{an}满足，则an的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 【变式1】若，数列{an}的前n项和为Sn，且，2Sn＝nan+1，则（　　） A．76 B．38 C．19 D．0 题型9 数列与函数的综合 【典例1】已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＝2，，则（　　） A．a1＜a2 B．a1＜a3 C．a2＞a3 D．a4＞a2 【变式1】如图，点列{An}，{Bn}分别在某个锐角的两边上，且|AnAn+1|＝|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|＝|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*（P≠Q表示P与Q不重合）．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　） A．{dn}是等差数列 B．{dn2}是等差数列 C．{Sn}是等差数列 D．{Sn2}是等差数列 题型10 数列与不等式的综合 【典例1】已知{an}是等比数列，则“a1+a3＞a2+a4”是“{an}为单调递减数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】记Sn为数列{an}的前n项和，已知2an＝an﹣1+an+1（n≥2），a1＝9，S9＝45．当Sn最大时，n＝（　　） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 题型11 数列与向量的综合 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，记，．设点An∈Pn，点Bn∈Qn，给出如下结论： ①任意a，b＞0，存在A1，A2，…，An．对任意正整数n，为大于零的常数． ②任意a，b＞0，存在B1，B2，…，Bn．对任意正整数n，为大于零的常数． 下列选项中，判断正确的是（　　） A．命题①成立，命题②成立 B．命题①成立，命题②不成立 C．命题①不成立，命题②成立 D．命题①不成立，命题②不成立 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，已知An，Bn是圆x2+y2＝n2上两个动点，且满足（n∈N*），设An，Bn到直线的距离之和的最大值为an，若数列的前n项和Sn＜m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．在公差为2的等差数列{an}中，a3，a4，a7成等比数列，则{an}的前7项和为（　　） A．3 B．5 C．9 D．21 2．已知Tn为等比数列{an}的前n项积，若an＞0，a4a6＝9，且a10＝4，T14＝（　　） A．614 B．127 C．1214 D．367 3．已知{an}为等比数列，a3＝2，a7＝32，则a5＝（　　） A．8 B．12 C．16 D．17 4．数列{an}为单调递减的等比数列，且a3+a5＝13，a2a6＝36，则公比q＝（　　） A． B． C． D． 5已知数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}的前n项积，且，则T6＝（　　） A．27 B．9 C．3 D． 6．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于﹣21，则该等比数列的第4项等于（　　） A．16 B．8 C．﹣4 D．﹣8 7．已知等比数列{an}的首项为1，公比为e，则数列{lnan}（n∈N*）的前10项和为（　　） A．15 B．35 C．45 D．55 8．已知数列{an}是等比数列，若a1＝﹣2.7，，，则Sn＝　 ． 9．已知数列{an}是等比数列且各项均为实数，若a2＝2，a6＝32，则a4＝　 ． 10．数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，则“k≥﹣2”是“{an}为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 11．已知{an}是无穷等比数列，则“对任意正整数n，都有an+2＜an”是“数列{an}是严格减数列”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 12．记Sn为数列的前n项和，则Sn最小时，n的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 13．已知等比数列{an}的公比为q，且a1＞0，则“q＞0”是“数列{an}为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝4，S8＝12，则a13+a14+a15+a16＝（　　） A．24 B．32 C．36 D．108 15．已知首项为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且﹣S2，S4，3S3成等差数列，则S4＝（　　） A． B．4或 C． D． 16．设f（n）＝3+33+35+37+…+32n+1（n∈N*），则f（n）＝（　　） A． B． C． D． 17．若正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6﹣2S3＝5，则a7+a8+a9的最小值为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 18．记等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝S3，a2＝1，则a8＝（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 19．已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1a5”是“Sn既无最大值也无最小值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a4﹣a2＝6，a5﹣a3＝12，则（　　） A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1 21．记正项等比数列{an}的前n项积为Tn，若a10＝8，，则下列结论正确的是（　　） A． B．当Tn取得最小值时，n＝9 C．{an}是递增数列 D．使Tn＞1的n的最小值为17 22．如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图（1）中阴影三角形的个数为1，记为a1，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为a2，以此类推，a3＝9，a4＝27，…，数列{an}构成等比数列．设{an}的前n项和为Sn，若Sn＝an+40，则n＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 23．若数列{an}满足，则a2026＝　 ． 24．已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）和f′（x）的定义域均为R，若f（x）﹣f（﹣x）＝2x，f′（x）+f′（2﹣x）＝0，f（0）＝0，，则（　　） A．﹣66 B．﹣56 C．﹣38 D．28 25．已知函数，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，则“{an}为递增数列”是“4≤a＜5”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 26．已知平行四边形ABCD中，Mn（n∈N*）为边BC上的一列点，连接AMn交BD于Pn（n∈N*），点Pn满足，其中数列{an}的首项为1，数列{bn}满足bn，数列{bn}的前n项和为Sn，实数λ满足λ＜Sn对n∈N*恒成立（　　） A．{an+1}是等比数列 B． C． D． 27．在平面四边形ABCD中，点D为动点，△ABD的面积是△BCD面积的3倍，又数列{an}满足a1＝3，恒有，设{an}的前n项和为Sn，则（　　） A．{an}为等比数列 B．a4＝﹣81 C．为等差数列 D． 28．已知数列{an}中，a1＝1，向量（﹣1，an+1﹣an），（n+1，1），且． （1）求{an}的通项公式； （2）设向量（），，求数列{•}的前n项和Sn． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 等比数列及其前n项和 内 容 导 航 知识点1 等比数列 知识点2 等比数列的前n项和公式 知识点3 等比数列及其前n项和的性质 知识点4 等比数列基本量的计算 知识点5 等比数列中的单调性与最值问题 题型1 等比中项及其性质 题型2 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 题型3 等比数列通项公式的应用 题型4 数列的函数特性 题型5 求等比数列的前n项和 题型6 等比数列前n项和的性质 题型7 数列的求和 题型8 数列递推式 题型9 数列与函数的综合 题型10 数列与不等式的综合 题型11 数列与向量的综合 知 识 点 通 关 知识点1 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 知识点2 等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 知识点3 等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 知识点4 等比数列基本量的计算 方法技巧 知三求二方程法 将所有已知条件统一转化为关于首项和公比的方程（组），结合通项公式与前项和公式列方程求解；计算中优先用整体代换简化运算，务必单独验证的特殊情况，避免漏解；涉及与混合条件时，利用和拆分求解。 知识点5 等比数列中的单调性与最值问题 方法技巧 符号公比分类法 单调性由首项的符号与公比的范围共同决定：或时数列递增，反之递减；时数列为摆动数列，无单调性。 最值问题结合项的正负分界点与增减性判断，也可借助对应函数的单调性分析，注意为正整数的约束。 考 点 演 练 题型1 等比中项及其性质 【典例1】已知数列{an}为正项等比数列，若a3＝16，a5＝1，则a4＝（　　） A．±4 B．4 C．﹣4 D．2 【答案】B 【解答】解：数列{an}为正项等比数列，若a3＝16，a5＝1， 则， 因an＞0，故a4＝4． 故选：B． 【变式1】在等比数列{an}中，若a1+a3＝3，a5+a7＝12，则a3+a5＝（　　） A．6 B．9 C．15 D．81 【答案】A 【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 若a1+a3＝3，a5+a7＝12，则，则q2＝2， 故． 故选：A． 题型2 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 【典例1】已知等比数列的第二项为9，公比q＝9，则an＝（　　） A．9n﹣1 B．2n+5 C．2n D．2n﹣2 【答案】D 【解答】解：由等比数列的第二项为9，公比q＝9， 可得，则an+1﹣an＝2， 故{an}是以2为公差的等差数列， 因为，所以a2＝2，所以an＝2+（n﹣2）×2＝2n﹣2． 故选：D． 【变式1】已知等比数列{an}的前n项积为Tn，且，，则T8＝（　　） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：因为等比数列{an}的前n项积为Tn，且，， 所以a4a52， 故T8＝a1a2...a7a8＝（a4a5）4＝16． 故选：A． 题型3 等比数列通项公式的应用 【典例1】已知数列{an}为等比数列，若a3＝1，a9＝64，则a5＝（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 【答案】B 【解答】解：由数列{an}为等比数列，a3＝1，a9＝64， 可得，解得q＝±2， 则． 故选：B． 【变式1】在等比数列{an}中，若a5＝3，a8a10＝81，则（　　） A．3 B． C．9 D．27 【答案】A 【解答】解：等比数列{an}中，若a5＝3，a8a10＝a5a13＝81， 则a13＝27，9， 则q4＝3． 故选：A． 题型4 数列的函数特性 【典例1】已知数列{an}的通项公式为，则an取到最大值时n的值是（　　） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】B 【解答】解：因为， 当n≤1012时，2n﹣2025＜0，因此an＞1； 当n≥1013时，2n﹣2025＞0，因此an＜1， 因此an的最大值一定出现在n≤1012中，排除C、D， 在n≤1012时，n增大，2n﹣2025（负数）增大，减小，增大， 因此an随n增大而增大，所以n＝1012时，an取到最大值， 验证：，是所有项中的最大值， 故n＝1012． 故选：B． 【变式1】已知无穷数列{an}的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（s≠t），满足ai＝as+at，则（　　） A．{an}可能为常数列 B．{an}可能为等差数列 C．{an}不可能为等比数列 D．{an}可能为递减数列 【答案】D 【解答】解：对于A，若{an}为常数列，设an＝c，显然ai＝c≠as+at＝2c，故A不符合题意； 对于B，若{an}为等差数列，易知d≤0时不符合题意， 当d＞0时，数列{an}单调递增，则an≥a1， ∴as+at＞2a1，当i＝1时，不存在正整数s，t使得a1＝as+at，故B错误； 对于C，若{an}为等比数列，设a1＞0， 若an＝an+1+an+2，则， 解得或（舍去）， 即{an}可能为等比数列，当a1＞0，时， 对正整数i，总有ai＝ai+1+ai+2，即s＝i+1，t＝i+2即可，故C错误； 对于D，由C知，{an}为等比数列，a1＞0，时，{an}单调递减， 对任意的正整数i，总有ai＝ai+1+ai+2， 即s＝i+1，t＝i+2时，即ai＝as+at，则{an}可能递减，故D正确． 故选：D． 题型5 求等比数列的前n项和 【典例1】已知数列{an}是等比数列，公比q＞0，前n项和为Sn，满足，且S1+S3＝2S2+1，则q＝（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【解答】解：因为数列{an}是等比数列，且S1+S3＝2S2+1， 若q＝1，则4a1＝4a1+1，显然不成立，所以q≠1， 所以a12（a1+a1q）+1， 因为，所以， 即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝﹣1和q＝2， 因为q＞0，所以q＝2． 故选：D． 【变式1】记正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝13，则a6＝（　　） A．243 B．81 C．27 D．9 【答案】A 【解答】解：根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，有q＞0， 若a1＝1，S3＝13，则S3＝a1+a2+a3＝1+q+q2＝13，解可得：q＝3或﹣4（舍）， 故a6＝a1q5＝35＝243． 故选：A． 题型6 等比数列前n项和的性质 【典例1】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝﹣4，S10＝4，则S15＝ 　 　 ． 【答案】﹣12． 【解答】解：因为等比数列{an}的前n项和为Sn， 所以S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等比数列， 若S5＝﹣4，S10＝4，则﹣4，8，S15﹣4成等比数列， 所以64＝﹣4（S15﹣4）， 所以S15＝﹣12． 故答案为：﹣12． 【变式1】已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6﹣3S3＝4，则S9﹣S6的最小值为　 　 ． 【答案】32 【解答】解：由等比数列的性质，S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列， 故， 当且仅当S3＝2时，等号成立，所以最小值为32． 故答案为：32． 题型7 数列的求和 【典例1】将正整数N分解为两个正整数k1，k2的积，即N＝k1•k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如6＝1×6＝2×3，2×3即为6的最优分解，当k1，k2是N的最优分解时，定义φ（N）＝|k1﹣k2|，则数列{φ（5n）}的前100项和为（　　） A．549﹣1 B．550﹣1 C．550﹣2 D．549﹣2 【答案】B 【解答】解：当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*， 5n＝52k＝5k×5k， 由正整数N分解为两个正整数k1，k2的积，即N＝k1•k2， 当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解． 可得φ（5n）＝|5k﹣5k|＝0； 当n为奇数时，设n＝2m﹣1，m∈N*， 5n＝52m﹣1＝5m﹣1×5m， 可得； 所以{φ（5n）}的前100项和为． 故选：B． 【变式1】定义“下凹数列”满足下列2个条件：①；②an+1﹣an＜an+2﹣an+1．设Sn为下凹数列{an}的前n项和，已知a1＝1，a2＝2，若Sn≤100，则n的最大值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：定义“下凹数列”满足下列2个条件：①；②an+1﹣an＜an+2﹣an+1； 设Sn为下凹数列{an}的前n项和，已知a1＝1，a2＝2， 根据下凹数列的定义，a1＝1，a2＝2，，且相邻项的差dn＝an+1﹣an严格递增， 可得d1＜d2＜d3＜⋯，且， 为使前n项和Sn尽可能小，dk应取最小的正整数差， 即d1＝1，d2＝2，d3＝3，…，以此类推， 即an+1﹣an＝n， an﹣an﹣1＝n﹣1， an﹣1﹣an﹣2＝n﹣2， ⋯ a3﹣a2＝2， a2﹣a1＝1， 上面所有式子累加法得： ， 则下凹数列{an}的前n项和Sn为： ， 由， ， ， 则满足Sn≤100的n的最大值为8． 故选：B． 题型8 数列递推式 【典例1】已知数列{an}满足，则an的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解答】解：因为， 则，n≥2， 两式相减可得，3n，即， 故an的最大值为． 故选：B． 【变式1】若，数列{an}的前n项和为Sn，且，2Sn＝nan+1，则（　　） A．76 B．38 C．19 D．0 【答案】B 【解答】解：由0，可得0＜x＜2， ， 所以函数f（x）的图象关于点（1，2）成中心对称， 所以∀x1，x2∈（0，2），若x1+x2＝2，则f（x1）+f（x2）＝4． 当n＝1时，，由2Sn＝nan+1，所以2S1＝a2，即， 当n≥2时，由2Sn＝nan+1，得2Sn﹣1＝（n﹣1）an， 两式相减得2an＝nan+1﹣（n﹣1）an， 整理得nan+1＝（n+1）an，即， 所以对任意正整数n，都有， 所以数列为常数列，故，即an， 由得数列{an}是等差数列， 所以a1+a19＝a2+a18＝⋯＝a9+a11＝2a10＝2， 故f（a1）+f（a19）＝f（a2）+f（a18）＝⋯＝2f（a10）＝4， 所以． 故选：B． 题型9 数列与函数的综合 【典例1】已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＝2，，则（　　） A．a1＜a2 B．a1＜a3 C．a2＞a3 D．a4＞a2 【答案】D 【解答】解：根据题意，a1，a2，a3，a4成等比数列，设其公比为q， 又由a1＝2，， 则，变形可得2+2q+2q2+2q3＝ln（2+2q+2q2）． 设f（x）＝2（1+x+x2+x3）﹣ln（2（1+x+x2））， 其导数 ． 因为，， ，3x2≥0， 所以f′（x）＞0在R上恒成立．所以函数f（x）在R上单调递增． 又f（﹣1）＝2（1﹣1+1﹣1）﹣ln2（1﹣1+1）＝﹣ln2＜0，f（0）＝2﹣ln2＞0． 所以函数f（x）只有1个零点，且该零点在（﹣1，0）． 所以公比﹣1＜q＜0， 依次分析选项： 对于A，a1＝2且﹣1＜q＜0，则a2＝2q＜0，故a1＞a2，故A错误； 对于B，因为，又﹣1＜q＜0，所以q2＜1，所以a1＞a3，故B错误； 对于C，因为a2＜0，a3＞0，所以a2＜a3，故C错误； 对于D，因为，且，由﹣1＜q＜0，q2＜1，所以a4﹣a2＞0，所以a4＞a2，故D正确． 故选：D． 【变式1】如图，点列{An}，{Bn}分别在某个锐角的两边上，且|AnAn+1|＝|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|＝|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*（P≠Q表示P与Q不重合）．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　） A．{dn}是等差数列 B．{dn2}是等差数列 C．{Sn}是等差数列 D．{Sn2}是等差数列 【答案】C 【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|＝a，|OB1|＝c， |AnAn+1|＝|An+1An+2|＝b， |BnBn+1|＝|Bn+1Bn+2|＝d， 由于a，c不确定， 则{dn}不一定是等差数列， {dn2}不一定是等差数列， 设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn， 由三角形的相似可得 ，， 两式相加可得，2， 即有hn+hn+2＝2hn+1， 由Snd•hn，可得Sn+Sn+2＝2Sn+1， 即为Sn+2﹣Sn+1＝Sn+1﹣Sn， 则数列{Sn}为等差数列． 故选：C． 题型10 数列与不等式的综合 【典例1】已知{an}是等比数列，则“a1+a3＞a2+a4”是“{an}为单调递减数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：根据题意，{an}是等比数列， 当a1＝1，q＝﹣1，此时该等比数列为1，﹣1，1，﹣1，…， 满足a1+a3＞a2+a4，但该数列不是递减数列，充分性不成立； 反之，若该数列为单调递减数列，必有a1＞a2且a3＞a4， 必有a1+a3＞a2+a4，必要性成立； 故“a1+a3＞a2+a4”是“{an}为单调递减数列”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式1】记Sn为数列{an}的前n项和，已知2an＝an﹣1+an+1（n≥2），a1＝9，S9＝45．当Sn最大时，n＝（　　） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【解答】解：根据题意，数列{an}满足2an＝an﹣1+an+1（n≥2），则数列{an}为等差数列， 又a1＝9，S9＝45，则有，变形可得：a9＝1； 所以公差d满足，因此an＝a1+（n﹣1）d＝10﹣n， 当1≤n＜9时，an＞0， 当n＝10时，an＝0， 当n＞10时，an＜0， 故当n＝9或10时，Sn取得最大值． 故选：C． 题型11 数列与向量的综合 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，记，．设点An∈Pn，点Bn∈Qn，给出如下结论： ①任意a，b＞0，存在A1，A2，…，An．对任意正整数n，为大于零的常数． ②任意a，b＞0，存在B1，B2，…，Bn．对任意正整数n，为大于零的常数． 下列选项中，判断正确的是（　　） A．命题①成立，命题②成立 B．命题①成立，命题②不成立 C．命题①不成立，命题②成立 D．命题①不成立，命题②不成立 【答案】A 【解答】解：因为， 所以该集合表示以原点为中心，半长轴为和半短轴为的椭圆； 又， 所以该集合表示以原点为中心，实轴沿x轴的双曲线的方程； 命题①表明，对于任意a，b＞0，存在点A1，A2，⋯，An，使得对于任意正整数n， 点积为大于零的常数， 不妨设Pn上的点， Pn+1上的点， 则 ， 为了使这个点积对于所有n都是常数， 则项acoshθcoshφ+bsinhθsinhφ必须与n无关，且表达式必须对所有n都为正， 我们可以选择θ＝φ＝0，那么和， 点积为：， 如果选择θ使得对于某个常数c，那么点积为c，一个常数． 由于cosh2θ和sinh2θ总是正的，点积对于所有n都为正．因此命题②成立． 结论命题①成立，命题②成立． 故选：A． 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，已知An，Bn是圆x2+y2＝n2上两个动点，且满足（n∈N*），设An，Bn到直线的距离之和的最大值为an，若数列的前n项和Sn＜m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由， 可得∠AnOBn＝120°，设线段AnBn的中点为∁n， 则∁n在圆上，An，Bn到直线的距离之和等于点∁n到该直线的距离的两倍． 点∁n到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和， ∴， ∴， ∴，∴， 故选：B． 过 关 验 收 1．在公差为2的等差数列{an}中，a3，a4，a7成等比数列，则{an}的前7项和为（　　） A．3 B．5 C．9 D．21 【答案】D 【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，由公差d＝2， 因为a3，a4，a7成等比数列， 所以，得，解得a1＝﹣3． 由等差数列前n项和公式，得， 因此，S7＝7×（﹣3）+42＝21． 故选：D． 2．已知Tn为等比数列{an}的前n项积，若an＞0，a4a6＝9，且a10＝4，T14＝（　　） A．614 B．127 C．1214 D．367 【答案】B 【解答】解：因为Tn为等比数列{an}的前n项积，且an＞0，a4a6＝9， 所以，解得a5＝3， 故T14＝a1a2⋯a13a14127． 故选：B． 3．已知{an}为等比数列，a3＝2，a7＝32，则a5＝（　　） A．8 B．12 C．16 D．17 【答案】A 【解答】解：由{an}为等比数列，a3＝2，a7＝32， 可得， 若该数列的公比为q，则，显然q2＞0， 所以a5＝8． 故选：A． 4．数列{an}为单调递减的等比数列，且a3+a5＝13，a2a6＝36，则公比q＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解；因为a2a6＝a3a5＝36，且{an}为单调递减的等比数列， 联立，解得a3＝9，a5＝4， 所以，故． 故选：A． 5已知数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}的前n项积，且，则T6＝（　　） A．27 B．9 C．3 D． 【答案】A 【解答】解：数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}的前n项积，且， 则， 又由等比数列性质可得：a2a5＝a1a6＝a3a4＝3， 所以T6＝a2a5•a1a6•a3a4＝3×3×3＝27． 故选：A． 6．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于﹣21，则该等比数列的第4项等于（　　） A．16 B．8 C．﹣4 D．﹣8 【答案】D 【解答】解：记该等比数列为{an}，其公比为q，且前n项和为Sn， 若q≠1，可得，，解得a1＝1，q＝﹣2， 故； 若q＝1，则显然不成立． 故选：D． 7．已知等比数列{an}的首项为1，公比为e，则数列{lnan}（n∈N*）的前10项和为（　　） A．15 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【解答】解：因为等比数列{an}的首项为1，公比为e， 所以an＝en﹣1，lnan＝n﹣1， 故该数列的前10项和为45． 故选：C． 8．已知数列{an}是等比数列，若a1＝﹣2.7，，，则Sn＝　 ． 【答案】． 【解答】解：数列{an}是等比数列， ∵a1＝﹣2.7，，， ∴由等比数列前n项和公式得： ． 故答案为：． 9．已知数列{an}是等比数列且各项均为实数，若a2＝2，a6＝32，则a4＝　 ． 【答案】8． 【解答】解：由a2＝2，a6＝32， 可得，故a4＝±8， 而a2，a4，a6同号，故a4＞0，故a4＝8． 故答案为：8． 10．数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，则“k≥﹣2”是“{an}为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解答】解：若“{an}为递增数列”， 则an﹣an﹣1＝n2+kn﹣（n﹣1）2﹣k（n﹣1）＝2n+k﹣1＞0， 则k＞﹣2n+1，（n＞1）， 故k＞﹣3， 所以“k≥﹣2”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件． 故选：A． 11．已知{an}是无穷等比数列，则“对任意正整数n，都有an+2＜an”是“数列{an}是严格减数列”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【解答】解：根据题意，若{an}是严格递减数列，显然能推出an+2＜an， 所以“对于任意的正整数n，都有an+2＜an”是“{an}是严格递减数列”必要条件； 反之，若对任意正整数n，都有an+2＜an， 即对任意的正整数n都成立， 则{an}中不可能同时含正项和负项，故q＞0， 若， 分2种情况讨论： 当an＞0，0＜q＜1时，有anq＜an，即an+1＜an，{an}是严格递减数列； 当an＜0，q＞1时，有anq＜an，即an+1＜an，{an}是严格递减数列， 所以“对于任意的正整数n，都有an+2＜an”是“{an}是严格递减数列”充分条件， 综上所述，“对任意正整数n，都有an+2＜an”是“数列{an}是严格减数列”的充要条件． 故选：C． 12．记Sn为数列的前n项和，则Sn最小时，n的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解答】解：由n为正整数，且0，可得n≤9， 由0，可得n≥10， 故Sn最小时，n的值为9． 故选：B． 13．已知等比数列{an}的公比为q，且a1＞0，则“q＞0”是“数列{an}为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：等比数列{an}的公比为q，且a1＞0，为大前提，且q＞0，且q≠1， 充分性：“q＞0”时，例如0＜q＜1，推不出“数列{an}为递增数列”，充分性不成立； 必要性：“数列{an}为递增数列”，则q＞1，可推出“q＞0”，必要性成立； 综上，“q＞0”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件， 故选：B． 14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝4，S8＝12，则a13+a14+a15+a16＝（　　） A．24 B．32 C．36 D．108 【答案】B 【解答】解：设等比数列的公比为q． S4＝4，S8＝12，则a1+a2+a3+a4＝4， ∴， 4q4＝8， ∴q4＝2， ∴． 故选：B． 15．已知首项为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且﹣S2，S4，3S3成等差数列，则S4＝（　　） A． B．4或 C． D． 【答案】D 【解答】解：由﹣S2，S4，3S3成等差数列，得2S4＝﹣S2+3S3， 若q＝1，此时S4＝4，S2＝2，S3＝3，不满足2S4＝﹣S2+3S3； 若q≠1，则， 23，即2q4﹣3q3+q2＝0， 解得或1（舍去）， 所以． 故选：D． 16．设f（n）＝3+33+35+37+…+32n+1（n∈N*），则f（n）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题可得f（n）是首先为3，公比为9的等比数列的求和， 故f（n）＝3+33+35+37+…+32n+1（9n+1﹣1）． 故选：B． 17．若正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6﹣2S3＝5，则a7+a8+a9的最小值为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【解答】解：因为{an}是正项等比数列，S6﹣2S3＝5，即S6﹣S3＝S3+5， 所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6也是等比数列，且S9﹣S6＝a7+a8+a9， 所以， 则， 当且仅当，即S3＝5取等号，所以a7+a8+a9的最小值为20，故C正确． 故选：C． 18．记等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝S3，a2＝1，则a8＝（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝S3，a2＝1， ∴S6﹣S3＝a4+a5+a6＝3a5＝0， 解得a5＝0， a2＝1，a2+a8＝2a5＝0， ∴a8＝﹣1． 故选：C． 19．已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1a5”是“Sn既无最大值也无最小值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：设公比为q（q≠0），由得， 因为a1≠0，q≠0，所以，所以q2＞1， 所以q＞1或q＜﹣1，即的充要条件为q＞1或q＜﹣1， 当a1＞0，q＞1时，， 此时， 故an+1＞an＞0，所以{an}为单调递增数列，此时Sn有最小值无最大值， 当a1＜0，q＞1时，， 此时， 故an+1＜an＜0，所以{an}为单调递减数列，此时Sn有最大值无最小值， 当q＜﹣1时， 为摆动数列， 且， 故|an+1|＞|an|，所以随着n的增大，趋向于正无穷或负无穷， 故{an}无最大值，也无最小值，此时Sn无最大值，无最小值， 所以由“a1a5”推不出“Sn既无最大值也无最小值”； 反之，当q＝1时，{an}为常数列，此时Sn无最大值或无最小值； 当q＝﹣1时，{an}有最大值，也有最小值，此时{Sn}有最大值和最小值； 当q＞1时，由上面分析若a1＞0， 则Sn有最小值无最大值， 若a1＜0，则Sn有最大值无最小值； 当0＜q＜1时，若a1＞0，则Sn有最小值无最大值， 若a1＜0，则Sn有最大值无最小值； 当﹣1＜q＜0时，若a1＞0， 则，， 当n为奇数时，Sn+1＜Sn，当n为偶数时，Sn+1＞Sn，且随着n的增大， 趋向于， 其中， 故且，故Sn有最大值S1，也有最小值S2， 若a1＜0，则，， 当n为奇数时，Sn+1＞Sn，当n为偶数时，Sn+1＜Sn，且随着n的增大， 趋向于， 其中， 故且，故Sn有最大值S2，也有最小值S1； 当q＜﹣1时，结合前述分析可知Sn无最大值，无最小值， 由此可知“Sn既无最大值也无最小值”当且仅当q＜﹣1，此时成立， 综上，“a1a5”是“Sn既无最大值也无最小值”的必要不充分条件． 故选：B． 20．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a4﹣a2＝6，a5﹣a3＝12，则（　　） A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1 【答案】B 【解答】解；设等比数列{an}的公比为q， 因为，则，解得q＝2，a1＝1， 所以． 故选：B． 21．记正项等比数列{an}的前n项积为Tn，若a10＝8，，则下列结论正确的是（　　） A． B．当Tn取得最小值时，n＝9 C．{an}是递增数列 D．使Tn＞1的n的最小值为17 【答案】ACD 【解答】解：正项等比数列{an}的前n项积为Tn，若a10＝8，，设{an}的公比为q（q＞0）， 对于A，由题意可得， 解得，A正确； 对于B，， y＝n2﹣16n是开口向上的抛物线，其对称轴为n＝8， 所以当n＝8时，Tn取得最小值，B错误； 对于C，，故{an}是递增数列，C正确； 对于D，令Tn＞1，即n2﹣16n＞0，解得n＞16或n＜0， 因为n∈N*，所以使Tn＞1的n的最小值为17，D正确． 故选：ACD． 22．如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图（1）中阴影三角形的个数为1，记为a1，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为a2，以此类推，a3＝9，a4＝27，…，数列{an}构成等比数列．设{an}的前n项和为Sn，若Sn＝an+40，则n＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：易知an＝3n﹣1，所以Sn，由3n﹣1+40，得3n﹣1＝81，所以n＝5． 故选：C． 23．若数列{an}满足，则a2026＝　 ． 【答案】3． 【解答】解：数列{an}满足， 则，…， 所以数列周期为3， 故a2026＝a3×675+1＝a1＝3． 故答案为：3． 24．已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）和f′（x）的定义域均为R，若f（x）﹣f（﹣x）＝2x，f′（x）+f′（2﹣x）＝0，f（0）＝0，，则（　　） A．﹣66 B．﹣56 C．﹣38 D．28 【答案】C 【解答】解：由已知得f′（x）+f′（﹣x）＝2， 又f′（x）+f′（2﹣x）＝0，所以f′（2﹣x）﹣f′（﹣x）＝﹣2， 令n＝﹣x得f′（2+n）﹣f′（n）＝﹣2， 又f′（0）+f′（0）＝2，所以f′（0）＝1， 又f′（1）+f′（2﹣1）＝0，所以f′（1）＝0， 又f′（2+0）﹣f′（0）＝﹣2，所以f′（2）＝﹣1． 故{f′（n）}是以0为首项，﹣1为公差的等差数列， 所以； 由f′（x）+f′（2﹣x）＝0得f（x）﹣f（2﹣x）＝0， 又f（x）﹣f（﹣x）＝2x，所以f（2﹣x）﹣f（﹣x）＝2x，即f（2+x）＝f（x）﹣2x， 因为f（0）＝0，f（1）， 所以f（2）＝f（0）﹣2×0＝0，f（4）＝f（2）﹣2×2＝﹣4，f（6）＝f（4）﹣2×4＝﹣12，f（8）＝f（6）﹣2×6＝﹣24， f（3）＝f（1）﹣2，f（5）＝f（3）﹣6，， 即， 所以． 故选：C． 25．已知函数，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，则“{an}为递增数列”是“4≤a＜5”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解答】解：已知函数，数列{an}满足， ①充分性证明： 若{an}为递增数列，则对于所有n∈N*，满足an+1＞an，因此f（n+1）＞f（n）． 当n＜5时（n＝1，2，3，4），f（n+1）﹣f（n）＝2a﹣2n﹣1＞0成立， n＝1：， n＝2：， n＝3：， n＝4：需要满足f（4）＜f（5），因此﹣42+8a﹣19＜a5﹣4⇒a＜5， 当n≥5，f（n）＝an﹣4，要使f（n）在n≥5时单调递增，则a＞1． 因此，若数列{an}递增，则， 综上所述不满足充分性； ②必要性证明： 若4≤a＜5，则，由①知当时{an}为递增数列， 因此“4≤a＜5”能满足“数列{an}递增”， 综上所述满足必要性； 因此“{an}为递增数列”是“4≤a＜5”的必要不充分条件． 故选：B． 26．已知平行四边形ABCD中，Mn（n∈N*）为边BC上的一列点，连接AMn交BD于Pn（n∈N*），点Pn满足，其中数列{an}的首项为1，数列{bn}满足bn，数列{bn}的前n项和为Sn，实数λ满足λ＜Sn对n∈N*恒成立（　　） A．{an+1}是等比数列 B． C． D． 【答案】ABD 【解答】解：点Pn满足， 且Mn，B，C三点共线，可得an+1＝2an+1， 即有an+1+1＝2（an+1）， 则数列{an+1}是首项和公比均为2的等比数列，故A正确； 由等比数列的通项公式，可得an+1＝2n，即an＝2n﹣1，故B正确； bn， 则Sn＝1...1，故C错误； 由Sn＝1是定义域N*上的增函数，即有Sn的最小值为S1， 由λ＜Sn对n∈N*恒成立，可得λ，故D正确． 故选：ABD． 27．在平面四边形ABCD中，点D为动点，△ABD的面积是△BCD面积的3倍，又数列{an}满足a1＝3，恒有，设{an}的前n项和为Sn，则（　　） A．{an}为等比数列 B．a4＝﹣81 C．为等差数列 D． 【答案】BCD 【解答】解：如图，连接AC交BD于E，则，即AE＝3EC， 所以⇒⇒． 设，又， 所以⇒⇒⇒， 又a1＝3⇒， 故为首项是1，公差为的等差数列，C正确； 则⇒， 故，B正确； 又常数， 则{an}不是等比数列，A不正确； ， Sn＝a1+a2+a3+…+an＝（1﹣4）30﹣[（n+1）﹣4]3n ＝（3﹣n）3n﹣3，D正确． 故选：BCD． 28．已知数列{an}中，a1＝1，向量（﹣1，an+1﹣an），（n+1，1），且． （1）求{an}的通项公式； （2）设向量（），，求数列{•}的前n项和Sn． 【答案】（1）an； （2）Sn． 【解答】解：（1）数列{an}中，a1＝1，向量（﹣1，an+1﹣an），（n+1，1），且， 可得•（n+1）+an+1﹣an＝0，即an+1﹣an＝n+1， 可得an＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+...+（a2﹣a1）+a1＝n+（n﹣1）+...+2+1， 即{an}的通项公式为：an； （2）向量（），， 可得••ann+1＝2（）+n+1， 故Sn＝2（1）+2（）+...+2（）+2+3+...+（n+1） ＝2（1） ． 学科网（北京）股份有限公司 $