第31讲 等比数列及其前n项和 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第31讲 等比数列及其前n项和 第31讲 等比数列及其前n项和 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解等比数列的定义，掌握通项公式与等比中项，能熟练完成基本量运算； 2．掌握前 项和公式，养成"先讨论 、再用 公式"的习惯； 3．掌握下标积性质与片段和性质，能在选择题、填空题中避免繁杂计算； 4．能处理等差与等比的交汇问题，以及增长率、复利等实际应用问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 基本量的运算 选择题、填空题 第3~5题、第13题 易 用 直接跳，不必先求 等比数列的判定 解答题 第17~19题 中 定义法看比值为常数，务必说明各项不为 下标积性质与片段和性质 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中 先把下标"凑成相等"，再整体代换 前 项和公式与 的讨论 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 先单独验证 ，再解 的方程 等差与等比的交汇 解答题 第17~19题 中偏难 用等比中项列方程，注意公比为正时的符号取舍 增长率与实际应用 选择题、解答题 第6~8题、第19~20题 中 先写出"第 年"的表达式，再套求和公式 命题规律分析 等比数列与等差数列并列为数列章的两大支柱，在试卷中的位置与等差数列相当，但符号陷阱更多：公比可能为负、公比可能为 、求和公式要分段。近年命题有三个高频落点：一是"等距三项成等比"与"下标积"性质的直接应用（第4~6题）；二是"由 求 并判定等比"" 型参量"（第7~8题、第14题）；三是与等差数列交汇的"子列成等差/等比"（第17~19题）。本讲重点突破三处： 与 的讨论时机、由 反推时的符号取舍、用 的"指数式 + 常数"结构识别等比数列。抓住这三处，等比数列的选择题与填空题就能又快又准。 考点1 等比数列的基本量与前 $n$ 项和 知识点1 定义、通项公式与中项 （非零常数） 为等比数列，且各项均不为 ；通项 。 若 ，， 成等比数列，则 ；对任意三项有 。反向由 求 时，，符号要靠其他条件确定。 【易错清单】 1．公比 可以是负数， 相同的两个数列（ 与 ）通项并不相同； 2．由 反求 时若没有"各项为正"的条件，答案必须带正负号； 3．等比数列中任何一项都不能为 ，首项自然也不能为 。 知识点2 前 项和公式 时 ； 时 。 当 较小（如 ）时，直接写 更省事，且自动包含 的情形，不必分类讨论。 若 型，则 为等比数列 （即 ）。 【易错清单】 1．用 前必须先确认 ，否则分母为 ； 2． 与 完全相同，别把分母的符号搞乱； 3．求公比时得到 的根不要随意舍去，它往往正好是一个有效解。 考点2 等比数列的性质与判定 知识点3 下标积性质与片段和性质 下标积性质：若 ，则 ；特别地 时 。 片段和性质：，，， 成等比数列，公比为 （当这些片段和均不为 时）；由此得 。 【易错清单】 1．下标积性质只对下标和相等成立， 与 并不相等； 2．公比为 时片段和会出现 ，此时片段和性质失效，需回到通项逐项处理； 3．由 判定等比时，必须补上"各项不为 "这一条。 知识点4 等比数列的判定方法 定义法：验证 是与 无关的非零常数；中项法：验证 且各项不为 ；前 项和法：（，，） 等比。 【易错清单】 1．只验证前三项不够，必须对任意 说明； 2．用定义法时要强调"比值与 无关"，而不是"恰好算出两个相等的比值"； 3．由 判定时，若 中还多一个常数项，则不是等比数列。 【题型1 基本量的运算（跳步求项）】 【例1】已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先由 求出公比，再跳到 。 【解答过程】由 得 。 所以 。故选C。 【多解·巧解】本题有一条完全不用求 的捷径：，， 下标等距，三者成等比数列。于是由 直接得 ，两步并一步，还避开了开三次方。更一般地，等比数列中等距的三项必成等比，这个结论在选择题里极其好用：看到 、、 或 、、 这类下标，就直接写"中间项的平方等于两端之积"。 【易错提醒】① 求出 后用 ，却把 算成 （ 应为 ）；② 把 当成 直接得 ；③ 忘记 中指数是 。检验方法：由 、 逐项写出 ，与已知 、 吻合。 【变式1-1】已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】由 得 ，再用 定号。 【解答过程】由 ，， 成等比数列得 ，故 或 。 又 ，而 ，，故 。 所以 。故选A。 【变式1-2】已知等比数列 中，，，则其前 项和 ____________。 【答案】 【解题思路】先求公比，再逐项相加。 【解答过程】由 得 。 故 。 【变式1-3】已知等比数列 的各项均为正数，，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】两式相除直接得公比。 【解答过程】由 得 ，故 。 又 ，即 ，得 。 所以 。 【题型2 等比数列的判定与证明】 【例2】已知数列 的各项均为正数，，，且 （）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 与前 项和 。 【答案】(1) 证明见解析； (2) ，。 【解题思路】把中项式化为"相邻两项之比相等"，再用定义判定。 【解答过程】(1) 因为各项均为正数，由 得 。 故 是与 无关的常数。 又 ，所以 对任意 成立。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列。 (2) ， 。 【多解·巧解】还有一条很有启发性的路：取对数把乘法变成加法。令 ，则 化为 ，即 是等差数列。由 、 得 ，于是 。这条路的妙处在于：等比与等差通过取对数互相对应，很多等比问题取对数后会变成熟悉的等差问题，计算量骤减。 【易错提醒】① 由 直接下结论而忘记说明"各项均为正数"，没有这一条就无法保证比值有意义（各项非零）；② 只验证 就下结论，缺少对任意 的说明；③ (2) 中把 写成 时，分子分母同负得正，符号容易写反成 。 【变式2-1】已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先认出公比，再套公式。 【解答过程】(1) 由 知 是首项为 、公比为 的等比数列， 故 。 (2) 。 【变式2-2】已知数列 的前 项和 ，判断 是否为等比数列，并说明理由。 【答案】是等比数列，公比为 。 【解题思路】先求通项，再用定义判断。 【解答过程】。 当 时，。 时 ，符合，故 。 因为 为常数，所以 是等比数列，公比为 。 【变式2-3】已知数列 的各项均为正数，，，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】由等距三项求公比，注意公比为正。 【解答过程】由条件知 是等比数列。设公比为 ， 则 ，故 或 。 又各项均为正数，故 。 所以 。 【题型3 等比数列性质的应用（凑下标）】 【例3】已知等比数列 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用下标积性质把乘积"凑"到同一项上。 【解答过程】由下标积性质，， 故 ，得 。 又 ，故 。故选B。 【多解·巧解】本类题只有一个动作：把下标都凑到同一个和上。已知的三个下标 平均数是 ，且 ，所以连乘积等于 ；所求的两个下标 ，所以乘积等于 。记住一句口诀："下标之和相等，则对应项之积相等"，它是等差数列"下标和相等则和相等"的乘法版本，两者结构完全对称。 【易错提醒】① 把 算成 之外的东西，凑错下标；② 由 得 后直接选A（把所求当成 本身）；③ 忽略公比为负的可能——本题恰好结果与符号无关，但若题目问 且未说明各项为正，就要考虑 的两种符号。 【变式3-1】已知等比数列 的各项均为正数，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】用下标积性质，再用"各项为正"定号。 【解答过程】由 得 ，故 或 。 又各项均为正数，故 。故选A。 【变式3-2】已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用片段和性质，三段和成等比数列。 【解答过程】由片段和性质，，， 成等比数列。 又 ，，公比为 ， 故 ，。 【变式3-3】已知等比数列 中，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用下标积把连乘积化为 。 【解答过程】由 得 ， 故 ，得 。 【题型4 前 项和公式与 的讨论】 【例4】已知等比数列 的前 项和为 ，，，则公比 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】直接写 ，避免用分式公式。 【解答过程】。 由 得 ，即 。 因式分解得 ，故 或 。故选C。 【多解·巧解】解这类题最稳的写法是直接展开 ，而不是套 。原因有二：一是 在 时也成立，自动涵盖 的情形，无需分类讨论；二是展开后得到的是普通一元二次方程，比处理分式方程省事得多。如果非要用求和公式，就必须先单独验证 ：本题 时 ，舍去，才能继续。"先写 的展开式"这一招，能同时解决 的讨论与分式运算两个麻烦。 【易错提醒】① 直接用 求解，却没有先排除 （虽然本题 不满足，但过程不完整）；② 因式分解时把 分解成 ，符号出错；③ 只写出 而漏掉 ——公比为负的等比数列是完全合法的，不要凭直觉舍去负根。 【变式4-1】已知等比数列 的前 项和为 ，，，则公比 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】展开 列方程，注意 也是解。 【解答过程】，即 ， 得 ，故 或 。故选C。 【变式4-2】已知等比数列 中，，，则其前 项和 ____________。 【答案】 或 【解题思路】由 得 ，再分别求和。 【解答过程】由 得 或 。 当 时，； 当 时，。 故 或 。 【变式4-3】已知数列 的前 项和 ，若 是等比数列，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】用" "的结构特征定常数。 【解答过程】若 是等比数列且公比 ，则 ， 即 可写成 的形式，其常数项与 的系数互为相反数。 这里 ，故需 ，即 。 此时 ，，确为等比数列。 【题型5 等差与等比的交汇】 【例5】已知等差数列 的公差为 ，且 ，， 成等比数列。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用等比中项列方程，展开后常数项与二次项会自动抵消。 【解答过程】(1) ，。 由 ，， 成等比数列得 ， 即 。 展开得 ，故 ，。 所以 。 (2) 。 【多解·巧解】展开这类方程有个固定规律：二次项必然抵消，常数项也常一起抵消。本题 ，所以可以跳过 的书写，直接算一次项与常数项，一步得到 。养成"先判断哪些项会抵消"的习惯，能显著减少计算量，也避免在长式子中抄错符号。 【易错提醒】① 把 写成 （把 记成 ）；② 展开 时漏掉中间项 ，直接得 ；③ 忘记用"成等比"应当列 ，而错列成 （那是等差中项）。分清"中项的平方"与"中项的两倍"是等差、等比交汇题的第一道关卡。 【变式5-1】已知等比数列 中，，且 ，， 成等差数列，则公比 ____________。 【答案】 【解题思路】用等差中项列方程，因式分解时按 分组。 【解答过程】由 ，， 成等差数列得 。 代入 得 ， 即 。 分组分解：。 因为 ，故 。 【变式5-2】已知等差数列 的公差不为 ，，且 ，， 成等比数列。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用等比中项列方程，注意舍去 的根。 【解答过程】(1) 由 得 ， 即 ，故 ， 或 。 又公差不为 ，故 ，。 (2) 。 【变式5-3】已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ，则 的前 项和为 ____________。 【答案】 【解题思路】先由 求 ，再取对数得等差数列。 【解答过程】（），且 ，故 。 于是 ， 的前 项和为 。 【题型6 等比数列的实际应用】 【例6】某企业今年的利润为 万元，计划今后每年的利润比上一年增长 20%。 (1) 写出第 年（今年为第 年）利润 的表达式； (2) 求前 年的总利润（，结果保留到万元）。 【答案】(1) ； (2) 约 万元。 【解题思路】把"每年增长 20%"翻译成"公比为 的等比数列"。 【解答过程】(1) 每年利润是上一年的 倍， 故 是首项为 、公比为 的等比数列， 。 (2) 。 故前 年的总利润约为 万元。 【多解·巧解】实际应用题的关键只有一句翻译："比上一年增长 " 公比 。确定公比后，剩下的就是套公式，与纯数学题无异。计算时可以先估算以自检：，所以 ，与精确值 接近，说明数量级没算错。先估算、后精算是应对应用题的好习惯，能在第一时间发现"小数点移错了一位"这类错误。 【易错提醒】① 把公比写成 而不是 ——增长 20% 后是原来的 倍，这是本类题最常见的低级错误；② 分母 为负数，处理时容易把结果算成负数；③ 第 年的表达式是 而不是 ，把第 年代入检验即可发现。 【变式6-1】已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，则其前 项和首次超过 时， ____________。 【答案】 【解题思路】求和后解指数不等式，用相邻的两次幂夹逼。 【解答过程】。 由 得 。 又 ，，故首次超过时 。 【变式6-2】已知等比数列 中，，，数列 满足 ，则 的前 项和为 ____________。 【答案】 【解题思路】分组求和：等比部分与等差部分分别求和。 【解答过程】由 得 ，故 。 的前 项和为 ； 。 所以 的前 项和为 。 【变式6-3】已知等比数列 中，，，则公比 ____________。 【答案】 【解题思路】两式相除直接得 。 【解答过程】两式相除得 。 即 ，故 。 一、单选题 1．（★★）已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】直接用通项公式。 【解答过程】。故选C。 2．（★★）已知等比数列 中，，，则公比 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 。 【解答过程】，故 。故选A。 3．（★★）已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 ，其中 。 【解答过程】由 得 。故选B。 4．（★★）已知等比数列 的前 项和 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】作差求通项。 【解答过程】。故选B。 5．（★★）已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接用求和公式。 【解答过程】。故选A。 6．（★★★）已知等比数列 的前 项和为 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 求 ，再用 。 【解答过程】由 得 ，故 。 又 。 （等价地：，，片段和公比为 ，故 ，。） 故选B。 7．（★★★）已知数列 的前 项和 ，若 是等比数列，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 化成 的形式，常数项与 的系数互为相反数。 【解答过程】。 等比数列的 必形如 ，常数项与 的系数 互为相反数，故 ，即 。 检验： 时 ，， 时 ，且 ， 故 ，确为公比 的等比数列。故选A。 8．（★★★）已知等比数列 中，，其前 项和 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】由 列出关于 的方程，解出 后再求 ，注意 也可能。 【解答过程】由 得 ， 即 ，故 或 。 当 时，；当 时，。 故 或 。故选C。 二、多选题 9．（★★）已知等比数列 中，，，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】求出通项与前 项和后再逐项判断。 【解答过程】，A 正确； ，B 正确； ，C 正确；，D 错误。 故选ABC。 10．（★★）已知等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．公比 可以为 　D．等比数列的各项均不为 【答案】ABD 【解题思路】逐项按定义与公式判断。 【解答过程】A 中 时数列为常数列，，正确； B 中是 时的标准公式，正确； C 中若 ，则 ，与"各项不为 "矛盾，错误； D 中等比数列任何一项都不能为 ，正确。 故选ABD。 11．（★★★）已知等比数列 的前 项和为 ，，，则下列说法正确的是（　　） A．　B． 或 　C．若 ，则 　D．若 ，则 【答案】BCD 【解题思路】由 列方程得 的两个值，再按 的符号分别计算。 【解答过程】由 得 ， 即 ，故 或 ，A 错误、B 正确； 若 ，则 ，，C 正确； 若 ，则 ，，D 正确。 故选BCD。 12．（★★★）已知等比数列 中，，，则下列说法正确的是（　　） A．公比 或 　B．　C．若 ，则 　D．若 ，则 【答案】ACD 【解题思路】由 得 ，再分两个符号分别计算。 【解答过程】由 得 或 ，A 正确； 当 时 ，当 时 ，故 B 错误； 若 ，则 ，，C 正确； 若 ，则 ，，D 正确。 故选ACD。 三、填空题 13．（★★）已知等比数列 中，，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】直接用求和公式。 【解答过程】。 14．（★★）已知等比数列 中，，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】等距三项成等比。 【解答过程】由 ，， 成等比数列得 ， 故 。 15．（★★★）已知等比数列 的各项均为正数，，且其前 项和 ，则公比 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】把 写成关于 的二次不等式，再用"各项均为正数"缩小范围。 【解答过程】，即 ，解得 。 又各项均为正数，故 。 所以 。 16．（★★★）已知等比数列 的各项均为正数，，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先由等距两项求 与 ，再求 ，最后求下标为奇数的三项之和。 【解答过程】由 得 ，又各项均为正数，故 ，从而 。 故 ，， 所以 。 四、解答题 17．（★★）已知等比数列 中，，。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先求公比，再求首项，最后套公式。 【解答过程】(1) 由 得 。 又 ，故 。 (2) 。 【多解·巧解】求 这一步可以省掉——直接用 ：，，于是 。更快的办法是观察数列本身： 的前 项和是 ，这是最常用的等比数列求和结论，可以直接记住。考场上对 、 或 这类常见数列，直接写出 能为后面的计算抢出时间。 【易错提醒】① 把 算成 （误以为 ），导致通项整体放大 倍；② 用 时把分母写成 ，得到 这种负数结果；③ 忘记题目未说明 ，但本题由 已得 ，自然满足，不必额外讨论——只有当公比无法唯一确定时，才需要讨论 。 18．（★★）已知等比数列 的前 项和为 ，，。 (1) 求 与 ； (2) 令 ，求 的前 项和 。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】(1) 先求公比；(2) 取对数后化为等差数列求和。 【解答过程】(1) 由 得 ，故 。 。 (2) ， 故 。 【多解·巧解】(2) 体现了"取对数"这一通用桥梁：，所以等比数列取对数后必成等差数列。这条对应关系可以双向使用：看到 成等差，就知道 成等比；看到 成等比，就知道 成等差。在选择题中，利用这一点往往能一眼看出答案。 【易错提醒】① (2) 中把 算成 （对数的性质用错）；② 求和时把首项当成 而不是 ，得到 ；③ 忘记 要求 ，本题 ，条件自动满足。检验：，公式给出 ，一致。 19．（★★）已知等比数列 中，，，数列 满足 ，求 的前 项和。 【答案】 【解题思路】分组求和：等比部分与等差部分分别求和后相加。 【解答过程】由 得 ，故 。 的前 项和为 ； 。 故 的前 项和为 。 【多解·巧解】分组求和的原则是"能分就分"：通项 由"等比型"与"等差型"两部分拼成，分别求和即可，完全不需要新技巧。做完后必用 检验：，公式给出 ，一致；再用 检验：，公式给出 ，一致。求和题用前两项验证是性价比最高的自检手段。 【易错提醒】① 把 算成 （漏乘首项 ），导致等比部分的和少一半；② 求和时把 写成 ；③ 把 的和写成 。这里容易与 (本期第 18 题) 的 混淆，求和前先看清首项是 还是 。 20．（★★★）已知等比数列 中，，其前 项和 。 (1) 求公比 与通项 ； (2) 求前 项和 。 【答案】(1) 时 ， 时 ； (2) 或 。 【解题思路】由 列关于 的方程，解出两个公比后分别求 。 【解答过程】(1) 由 得 ， 即 ，故 或 。 当 时，；当 时，。 (2) 当 时，； 当 时，。 故 或 。 【多解·巧解】本题的"坑"在于 并不唯一： 只给出一个二次方程，解得 与 都符合。只要题目没有附加"各项均为正数"或""一类的条件，就必须保留两个公比。求 时也可用片段和性质： 相差 倍，当 时 ，得 ，比代公式更快。 【易错提醒】① 只解出一个公比（例如漏掉 ），导致 (1)(2) 都少一个答案；② 把 代入 时符号算错，把 误算成 ；③ (2) 中误以为 （只有 时才成立），而本题 。自检： 时逐项相加 ，与公式一致。 21．（★★★）已知等比数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，，。 (1) 求 与公比 ； (2) 求 。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】用 求公比，再用片段和性质求 。 【解答过程】(1) ，由 得 ， 又各项均为正数，故 。再由 得 。 (2) 由片段和性质 ，，， 成等比数列，公比为 ， 故依次为 ，所以 。 （也可直接代公式：。） 【多解·巧解】(2) 用片段和性质只需一句"各段和成等比、公比 "，就能顺次得到 ，连求和公式都不必写。注意片段和之间的公比是 （ 为每段的项数），本题每段 项，故公比为 。 【易错提醒】① 写 时把公比写成 ——后半段 相对前半段 平移了 项，应是 ；② 由 得 后忽略"各项均为正数"而多留一个答案；③ (2) 中把片段和的公比误当成 ，得到 的错误数列。自检：，，均与已知相符。 22．（★★★）已知数列 的前 项和 。 (1) 求 ，并判断 是否为等比数列； (2) 令 ，求数列 的前 项和 。 【答案】(1) ，是等比数列； (2) 。 【解题思路】(1) 作差求通项后用定义判断；(2) 取对数后 为等差数列。 【解答过程】(1) 。 当 时，，且 时 符合， 故 。又 为常数，所以 是等比数列。 (2) ，故 。 【多解·巧解】(1) 可以"看结构"直接判断： 恰是 的形式（，），故 必为等比数列，公比为 ，首项 ，通项 ——识别 的结构能省掉整段作差。(2) 中 ，把等比数列转化为等差数列，是"取对数"这一招的典型用法。 【易错提醒】① 把 算成 ——首项是 不是 ：代 检验， 正确， 错误；② (1) 中作差时把两个 漏掉或符号算错，得到 之类的错误结果；③ (2) 中把首项当成 ，求和得 。看到 还是 ，先代 确认首项。 23．（★★★）已知等比数列 的各项均为正数，，。 (1) 求 ； (2) 令 ，求数列 的前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 令 换元求公比；(2) 通项为"等差 乘等比 "，用错位相减法。 【解答过程】(1) ，，由 得 。 令 ，得 ，即 ，故 ，。 又各项均为正数，故 ，。 (2) ，。 两边乘 得 。 两式相减得 ， 所以 。 【多解·巧解】(1) 中方程只含 的偶次幂，换元 后立即变成一元二次方程，再结合"各项为正"定号，是处理偶次方程的标准套路。(2) 通项是"等差数列乘等比数列"，用错位相减：乘公比、错位、相减，中间 项成等比——相减时宁可多写两行也别漏项。结果务必代 检验：，公式给出 ，一致。 【易错提醒】① (1) 中由 直接写 而不说明"各项均为正"，过程不完整；② (2) 中错位相减后把等比部分的首项数成 ，漏掉 ；③ (2) 中直接对 用等比求和公式（误以为 是等比），而 并非等比数列，必须用错位相减。 24．（★★★）已知等比数列 的各项均为正数，，。 (1) 求公比 与通项 ； (2) 令 ，求数列 的前 项和 ； (3) 若不等式 对任意 恒成立，求正整数 的最大值。 【答案】(1) ，； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 由条件列方程求 ；(2) 取对数后裂项相消；(3) 求 的最小值后定 。 【解答过程】(1) ，，由 得 ，即 ， 故 或 ；又各项均为正数，故 ，。 (2) ，，故 ， 所以 。 (3) 因为 随 增大而增大，所以 的最小值为 。 要使 对一切 恒成立，需 ，即 ， 故正整数 的最大值为 。 【多解·巧解】(2) 中 是裂项相消的标准型，直接拆成 。(3) 是"恒成立求参数范围"的又一形态：这里 递增且能取到最小值 ，恒成立 阈值 左端的最小值，故 ，得 ，最大值 。注意与"左端只有上确界"的情形区分：左端能取到最小值时，等号可以成立。 【易错提醒】① (1) 中由 得 或 后，忽略"各项均为正数"而保留 ；② (2) 中把 写成 （因为 ，不是 ）；③ (3) 中只验证 而不说明 随 递增、最小值在 处取得。自检：， 时 取等，成立； 时 ，不成立。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第31讲 等比数列及其前n项和 第31讲 等比数列及其前n项和 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解等比数列的定义，掌握通项公式与等比中项，能熟练完成基本量运算； 2．掌握前 项和公式，养成"先讨论 、再用 公式"的习惯； 3．掌握下标积性质与片段和性质，能在选择题、填空题中避免繁杂计算； 4．能处理等差与等比的交汇问题，以及增长率、复利等实际应用问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 基本量的运算 选择题、填空题 第3~5题、第13题 易 用 直接跳，不必先求 等比数列的判定 解答题 第17~19题 中 定义法看比值为常数，务必说明各项不为 下标积性质与片段和性质 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中 先把下标"凑成相等"，再整体代换 前 项和公式与 的讨论 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 先单独验证 ，再解 的方程 等差与等比的交汇 解答题 第17~19题 中偏难 用等比中项列方程，注意公比为正时的符号取舍 增长率与实际应用 选择题、解答题 第6~8题、第19~20题 中 先写出"第 年"的表达式，再套求和公式 命题规律分析 等比数列与等差数列并列为数列章的两大支柱，在试卷中的位置与等差数列相当，但符号陷阱更多：公比可能为负、公比可能为 、求和公式要分段。近年命题有三个高频落点：一是"等距三项成等比"与"下标积"性质的直接应用（第4~6题）；二是"由 求 并判定等比"" 型参量"（第7~8题、第14题）；三是与等差数列交汇的"子列成等差/等比"（第17~19题）。本讲重点突破三处： 与 的讨论时机、由 反推时的符号取舍、用 的"指数式 + 常数"结构识别等比数列。抓住这三处，等比数列的选择题与填空题就能又快又准。 考点1 等比数列的基本量与前 $n$ 项和 知识点1 定义、通项公式与中项 （非零常数） 为等比数列，且各项均不为 ；通项 。 若 ，， 成等比数列，则 ；对任意三项有 。反向由 求 时，，符号要靠其他条件确定。 【易错清单】 1．公比 可以是负数， 相同的两个数列（ 与 ）通项并不相同； 2．由 反求 时若没有"各项为正"的条件，答案必须带正负号； 3．等比数列中任何一项都不能为 ，首项自然也不能为 。 知识点2 前 项和公式 时 ； 时 。 当 较小（如 ）时，直接写 更省事，且自动包含 的情形，不必分类讨论。 若 型，则 为等比数列 （即 ）。 【易错清单】 1．用 前必须先确认 ，否则分母为 ； 2． 与 完全相同，别把分母的符号搞乱； 3．求公比时得到 的根不要随意舍去，它往往正好是一个有效解。 考点2 等比数列的性质与判定 知识点3 下标积性质与片段和性质 下标积性质：若 ，则 ；特别地 时 。 片段和性质：，，， 成等比数列，公比为 （当这些片段和均不为 时）；由此得 。 【易错清单】 1．下标积性质只对下标和相等成立， 与 并不相等； 2．公比为 时片段和会出现 ，此时片段和性质失效，需回到通项逐项处理； 3．由 判定等比时，必须补上"各项不为 "这一条。 知识点4 等比数列的判定方法 定义法：验证 是与 无关的非零常数；中项法：验证 且各项不为 ；前 项和法：（，，） 等比。 【易错清单】 1．只验证前三项不够，必须对任意 说明； 2．用定义法时要强调"比值与 无关"，而不是"恰好算出两个相等的比值"； 3．由 判定时，若 中还多一个常数项，则不是等比数列。 【题型1 基本量的运算（跳步求项）】 【例1】已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式1-2】已知等比数列 中，，，则其前 项和 ____________。 【变式1-3】已知等比数列 的各项均为正数，，，则 ____________。 【题型2 等比数列的判定与证明】 【例2】已知数列 的各项均为正数，，，且 （）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 与前 项和 。 【变式2-1】已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求 。 【变式2-2】已知数列 的前 项和 ，判断 是否为等比数列，并说明理由。 【变式2-3】已知数列 的各项均为正数，，，且 ，则 ____________。 【题型3 等比数列性质的应用（凑下标）】 【例3】已知等比数列 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知等比数列 的各项均为正数，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式3-2】已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 ____________。 【变式3-3】已知等比数列 中，，则 ____________。 【题型4 前 项和公式与 的讨论】 【例4】已知等比数列 的前 项和为 ，，，则公比 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式4-1】已知等比数列 的前 项和为 ，，，则公比 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式4-2】已知等比数列 中，，，则其前 项和 ____________。 【变式4-3】已知数列 的前 项和 ，若 是等比数列，则实数 ____________。 【题型5 等差与等比的交汇】 【例5】已知等差数列 的公差为 ，且 ，， 成等比数列。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 。 【变式5-1】已知等比数列 中，，且 ，， 成等差数列，则公比 ____________。 【变式5-2】已知等差数列 的公差不为 ，，且 ，， 成等比数列。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 。 【变式5-3】已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ，则 的前 项和为 ____________。 【题型6 等比数列的实际应用】 【例6】某企业今年的利润为 万元，计划今后每年的利润比上一年增长 20%。 (1) 写出第 年（今年为第 年）利润 的表达式； (2) 求前 年的总利润（，结果保留到万元）。 【变式6-1】已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，则其前 项和首次超过 时， ____________。 【变式6-2】已知等比数列 中，，，数列 满足 ，则 的前 项和为 ____________。 【变式6-3】已知等比数列 中，，，则公比 ____________。 一、单选题 1．（★★）已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知等比数列 中，，，则公比 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知等比数列 的前 项和 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知等比数列 的前 项和为 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知数列 的前 项和 ，若 是等比数列，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知等比数列 中，，其前 项和 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 二、多选题 9．（★★）已知等比数列 中，，，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）已知等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．公比 可以为 　D．等比数列的各项均不为 11．（★★★）已知等比数列 的前 项和为 ，，，则下列说法正确的是（　　） A．　B． 或 　C．若 ，则 　D．若 ，则 12．（★★★）已知等比数列 中，，，则下列说法正确的是（　　） A．公比 或 　B．　C．若 ，则 　D．若 ，则 三、填空题 13．（★★）已知等比数列 中，，，则 ____________。 14．（★★）已知等比数列 中，，，则 ____________。 15．（★★★）已知等比数列 的各项均为正数，，且其前 项和 ，则公比 的取值范围是 ____________。 16．（★★★）已知等比数列 的各项均为正数，，，则 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知等比数列 中，，。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 。 18．（★★）已知等比数列 的前 项和为 ，，。 (1) 求 与 ； (2) 令 ，求 的前 项和 。 19．（★★）已知等比数列 中，，，数列 满足 ，求 的前 项和。 20．（★★★）已知等比数列 中，，其前 项和 。 (1) 求公比 与通项 ； (2) 求前 项和 。 21．（★★★）已知等比数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，，。 (1) 求 与公比 ； (2) 求 。 22．（★★★）已知数列 的前 项和 。 (1) 求 ，并判断 是否为等比数列； (2) 令 ，求数列 的前 项和 。 23．（★★★）已知等比数列 的各项均为正数，，。 (1) 求 ； (2) 令 ，求数列 的前 项和 。 24．（★★★）已知等比数列 的各项均为正数，，。 (1) 求公比 与通项 ； (2) 令 ，求数列 的前 项和 ； (3) 若不等式 对任意 恒成立，求正整数 的最大值。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $