精品解析：上海交通大学附属中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

交附 （2026.10） 1. 已知集合有三个元素，则实数的取值范围是______． 2. 已知集合满足 ，则符合条件的集合的个数有__________． 3. 已知集合，集合，则______． 4. 若，的最小值是__________． 5. 若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 6. 若关于的二次方程的两个实根分别为，且满足，则的值为________ ． 7. 已知全集，，，，则_____. 8. 若命题甲“”和命题乙“或”中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是______. 9. 已知，，则代数式的取值范围为__________． 10. 已知，且，则的取值范围为_________． 11. 已知，集合中恰含有4个整数，则的取值范围是__________． 12. 已知，，，且，则的最小值为__________． 13. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ） A. 假设三内角都不大于60度 B. 假设三内角都大于60度 C. 假设三内角至多有一个大于60度 D. 假设三内角至多有两个大于60度 14. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 15. 集合有6个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为，则（ ） A. B. C. D. 16. 若存在，，当时，成立，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 17. 求解下列关于的不等式，并写出不等式的解集： （1）． （2）． 18. 已知集合，． （1）当时，求，． （2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 19. 如图，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，记的面积为． （1）设，试用表示，并求的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 20. 已知二次函数，一次函数． （1）若时，的解集为，求：关于的不等式的解集． （2）若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求：实数的取值范围． （3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 21. 设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数，若存在非空集合，…，，…使，且满足如下两个条件，则称，…，，…为集合的维伴随拆分：①对，，②对，若，均有．（附注：允许） （1）若．请写出一个集合的维伴随拆分． （2）若．证明：集合不存在维伴随拆分． （3）若集合存在维伴随拆分，求：的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交附 （2026.10） 1. 已知集合有三个元素，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】集合有三个元素,根据集合元素的互异性, 有,即, ,即, ,即. 综上,x的取值范围是. 2. 已知集合满足 ，则符合条件的集合的个数有__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得集合里面必有这两个元素，而又是的真子集， 故集合可以由固定元素，再并上的任意一个真子集构成， 的真子集个数有个，故符合条件的集合的个数有 3. 已知集合，集合，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，集合，所以． 4. 若，的最小值是__________． 【答案】7 【解析】 【详解】由绝对值不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为7 5. 若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 【答案】①③④ 【解析】 【详解】因为，，所以，，所以，故①成立； 取，，，，代入②，可知②不成立； 因为，由不等式的可加性知，所以③成立； 由知，，由不等式的可加性知，所以④成立． 6. 若关于的二次方程的两个实根分别为，且满足，则的值为________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的二次方程的两个实根分别为， 可得， 因为，可得， 即，解得或. 即实数的值为或. 故答案为：或. 7. 已知全集，，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先用列举法写出全集，然后再根据交集和补集的定义得到集合中含有元素1，3，5，不含4，6，8，对于0，2，7，9利用反证法即可证明集合不含0，2，7，9即可求得. 【详解】由题意得， 可得集合中含有元素3， 可得中含有元素4，6，8，集合中不含元素4，6，8， ，集合含有元素1，5，集合中含元素1，5， 对于元素0，假设集合中含有元素0，则由可知不含元素0， 则必含元素0，与矛盾，同理可得集合中不含元素2，7，9， 综上所述：，故. 故答案为： 8. 若命题甲“”和命题乙“或”中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲、乙命题均为假命题，则， 可得，所以若甲、乙命题至少有一个是真命题，则或. 故答案为： 9. 已知，，则代数式的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，， 所以，. 所以，即. 所以代数式的取值范围为. 10. 已知，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：将题设条件化成关于和的方程，利用基本不等式将放大得到关于的一元二次不等式，求解即得；方法二：先将所求式整理成，利用“乘1”法和基本不等式即可求得的取值范围. 【详解】方法一：由去分母，可得，整理得（*）， 因，，即，当且仅当时等号成立， 由（*）可得，即，解得或（不合题意舍去）， 故的取值范围为； 方法二：因为，所以， 而， 当且仅当时等号成立，由，解得， 当时，取得最小值为， 此时取得最小值为. 即的取值范围为. 故答案为：. 11. 已知，集合中恰含有4个整数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由集合非空得到的下界，再设集合中最小整数为，根据最小整数、4个整数对应的最大整数的限制列不等式组，分类讨论的取值求交集即可。 【详解】首先集合非空，故，解得。 设集合中最小的整数为（）： 最小整数为等价于； 集合恰含4个整数，故最大整数为，等价于。 对分类讨论： ① 当时： 由得； 由得，解得。 两者交集为，符合题意。 ② 当时： 由得； 由得，解得。 两者交集为，符合题意。 ③ 当时： 由得； 由得，与无交集，无解。 ④ 当时，，与矛盾，无解。 综上，的取值范围是。 12. 已知，，，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由，把化成，利用不等式求其最小值，从而得，再结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当且仅当且时， 取得最小值，最小值为. 13. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ） A. 假设三内角都不大于60度 B. 假设三内角都大于60度 C. 假设三内角至多有一个大于60度 D. 假设三内角至多有两个大于60度 【答案】B 【解析】 【详解】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”． 14. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 【答案】C 【解析】 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（药剂在右盘）称得的药剂为克， 第二次操作（药剂在左盘）称得的药剂为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 15. 集合有6个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所有非空子集分4类，从而得到非空子集中所有元素的乘积之和. 【详解】集合的所有非空子集可以分为以下几种情况， ①含元素0的子集，共有个，这些子集中所有元素的乘积为0， ②不含元素0，含有元素，且含有其他元素的子集，共有个， ③不含元素0，不含元素，但含有其他元素的子集，共有个， 其中②和③，除了元素外，其他元素均一一对应，则乘积互为相反数，故两者和为0； ④只含有元素的子集，只有1个，此时所有元素的乘积为， 综上，. 16. 若存在，，当时，成立，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过二次函数在区间端点和中点的取值构造绝对值不等式推导的下界，再验证等号可取得出最小值. 【详解】设，， 分别代入得： 所以， 由绝对值不等式性质得 则，即，解得. 验证等号成立条件：取，此时， 当时，的取值范围为，满足，故可取. 因此的最小值为. 17. 求解下列关于的不等式，并写出不等式的解集： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） ①当时，解集为； ②当时，解集为； ③当时，解集为； ④当时，解集为； ⑤当时，解集为 【解析】 【分析】(1)将分式不等式转化为一元二次不等式组进行求解，注意分母不能为零； (2)对含参数的一元二次不等式，先因式分解，再对参数分类讨论，比较方程两根大小，结合二次函数图像写出对应解集. 【小问1详解】 等价于解得， 所以该不等式的解集为. 【小问2详解】 ，因式分解得， 当时，原不等式化为，解得， 当时，方程的两根为，，且， 即或， 当时，， 当时，即，解集为， 当时，即，，无解，解集为， 当时，即，解集为， 综上： ①当时，解集为， ②当时，解集为， ③当时，解集为， ④当时，解集为， ⑤当时，解集为. 18. 已知集合，． （1）当时，求，． （2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由可得，， 则，， 由可得，，则. 当时，， 则. 【小问2详解】 由是的必要非充分条件可知，是的真子集， 若全落在内，则， 若全落在内，则， 综上. 19. 如图，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，记的面积为． （1）设，试用表示，并求的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，S取得最小值，为2000. 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围； （2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 依题意，得，所以，即，得， 所以，， 所以，解得； 【小问2详解】 由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，S取得最小值，为2000. 20. 已知二次函数，一次函数． （1）若时，的解集为，求：关于的不等式的解集． （2）若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求：实数的取值范围． （3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解集得到二次函数零点，利用韦达定理解出参数，再求解新的一元二次不等式； （2）令，问题化为，上，分类讨论并结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （3）根据已知有恒成立，进而有，则，应用换元法并应用基本不等式求最值． 【小问1详解】 当，解集为， 则， 所以，．不等式即， 因式分解，解得或， 所以不等式解集为． 【小问2详解】 由的解集为， 则，得，故， 令，， 且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即， ②当，即时， 只需，即，不符合条件， ③当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以，则， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为． 21. 设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数，若存在非空集合，…，，…使，且满足如下两个条件，则称，…，，…为集合的维伴随拆分：①对，，②对，若，均有．（附注：允许） （1）若．请写出一个集合的维伴随拆分． （2）若．证明：集合不存在维伴随拆分． （3）若集合存在维伴随拆分，求：的最小值． 【答案】（1） （2）证明：假设集合存在维伴随拆分， 即存在非空集合，满足， 且两两交集为空集，两两交集为空集， 因为，所以只能取1或2，其中， 不妨设，， 其中， 若，则，此时，不合题意； 若，则，此时，不合题意； 若或，则，此时，不合题意； 所以假设不成立，所以集合不存在维伴随拆分. （3） 【解析】 【分析】（1）根据2维伴随拆分的定义和集合，得到集合的2维伴随拆分； （2）假设集合存在3维伴随拆分，由，得到只能取1或2，分类讨论，得出矛盾，即可得证； （3）设中元素最少的集合为，根据14维伴随拆分的定义，化简得到，进而求得其最小值，得到答案. 【小问1详解】 解：若，则存在非空集合，满足， 条件①对，； 条件②对，若，均有． 取，可得， 满足，，且若，均有， 所以是集合的其中一个2维伴随拆分； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：不妨设中元素最少的集合为， 且若，， 记，由，可得， 由条件②知：对，可得 ， 于是 ， 当时，有，则，所以； 当时，， 综上可得，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $