第5章 二次函数 单元复习过关卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年九上单元复习过关卷—二次函数 数 学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共24分） 1．若二次函数的图象只经过三个象限，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 2．已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．已知当时，二次函数的最小值为，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 6．二次函数的自变量与函数值的部分对应值表如下所示： 则关于的方程的一个根的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（        ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，．若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（24分） 9．二次函数的顶点坐标是______． 10．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______． 11．抛物线的顶点坐标为______． 12．如果抛物线的图像向右平移5个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 13．如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 14．已知二次函数，当时，y的取值范围是_________． 15．2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用长20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区，且留如图所示的两个1米宽的小门．设长为x米，宣传区的面积为S米，则S的最大值是________． 16．如图，杂技团进行表演时，一位杂技演员从跷跷板的右端A点精准地跳向人梯顶端的椅子B点．若将杂技演员的身体视为一个质点，其运动轨迹构成了抛物线的一部分．当演员距离起跳点A的水平移动长度为2.5时，达到了抛物线轨迹的最高点，此时的高度为4.75．已知起跳点A到原点О的距离为1．由于表演场地的限制，人梯到起跳点A的水平距离固定为4，那么，为了确保杂技演员能跳到人梯顶端的椅子B点，人梯的高度应该是_______． 三、解答题（72分） 17．在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中m为常数． (1)当抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； (2)当抛物线与直线只有一个交点时，求该抛物线的表达式． 18．随着人工智能的迅速发展，某AI企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税48.4万元．若每年保持相同的增长率，求该企业这两年缴税的年平均增长率． 19．已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 0 1 2 3 4 2 2 20．已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 21．东湖公园有一座抛物线形的拱门，如图，以拱门底部所在的直线为x轴、以拱门的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，测得拱门的跨度AB是4m，拱门的最高处离地面4m． (1)求这条抛物线的解析式； (2)一辆宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过，能否顺利通过？通过计算作出判断． 22．某粮店经销一种玉米胚芽油，进价为每桶30元．当售价为每桶40元时，每天可售出60桶；市场调查表明，售价每上涨1元，每天的销售量就减少2桶． (1)设每桶售价上涨元，用含的代数式表示该粮店每天的销售利润（元）； (2)若粮店要求每天的销售利润达到750元，且要尽量让利给顾客，求每桶售价应定为多少元． 23．定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． (1)点和点B在抛物线上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12，求b，c的值； (2)点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”．若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标． 24．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标． (2)若D是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值． (3)已知H是抛物线上的一点，连接，若，直接写出点H的坐标． 试卷第10页（共19页） 试卷第1页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九上单元复习过关卷—二次函数 数 学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共24分） 1．若二次函数的图象只经过三个象限，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过配方得到二次函数的顶点式，结合开口方向、对称轴及增减性，分情况讨论图象经过的象限，确定的取值范围． 【详解】解：， ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，顶点在轴上方或在轴上，抛物线与轴无交点或只有一个交点， 图象只经过第一、二象限，不符合题意， 当时，抛物线与轴有两个不同交点，顶点在第三象限， 图象经过第三象限.若，则当时，， ∵抛物线在对称轴右侧随的增大而增大， ∴当时，，图象不经过第四象限，共经过第一、二、三象限，符合题意， 若，则当时，，结合足够大时， 可知图象经过第四象限，共经过四个象限，不符合题意， 综上，.选项中只有符合该范围． 2．已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用抛物线的增减性与对称性判断各选项正误． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线． ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；纵坐标相等的两点横坐标相等或互为相反数． ∵若，则或．∴A错误． ∵若且，则．∴B错误． ∵，两点均在对称轴右侧，随的增大而增大．∴，C错误． ∵，两点均在对称轴左侧，随的增大而减小．∴，D正确． 3．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平移前后抛物线顶点坐标的变化求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，顶点坐标变为． ∴所得抛物线的解析式为． 4．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 5．已知当时，二次函数的最小值为，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由二次函数顶点纵坐标小于，可知给定区间不包含对称轴，分区间在对称轴左、右两侧两种情况讨论求解． 【详解】解：将配方得 ∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ∴区间不包含对称轴， 分两种情况： ①当，即时，区间在对称轴左侧，随增大而减小， ∴当时，取最小值，代入得， 解得或， ∵， ∴ ②当，即时，区间在对称轴右侧，随增大而增大， ∴当时，取最小值，代入得， 解得或， ∵， ∴ 综上，的值为或． 6．二次函数的自变量与函数值的部分对应值表如下所示： 则关于的方程的一个根的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数图象与轴交点和方程根的对应关系，通过函数值由负变正的自变量区间确定根的范围． 【详解】解：当时，． 当时，． ∵，二次函数的图象是开口向上的抛物线， ∴在范围内，存在使得． 即方程的一个根的取值范围为． 7．某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定抛物线顶点坐标及与轴交点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由题意知抛物线顶点为，设表达式为． ∵水面跨度为，对称轴为轴， ∴抛物线过点． 将代入得． 解得． ∴表达式为． 8．如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，．若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或， 则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与只有一个交点时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 二、填空题（24分） 9．二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】将二次函数通过配方转化为，从而得到顶点坐标． 【详解】解： ， ∴二次函数的顶点坐标为． 10．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据开口向上的二次函数的性质，点离对称轴越远对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：由二次函数解析式可得，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 由开口向上的二次函数，点离对称轴越远，对应的函数值越大， ∵， ∴． 11．抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【详解】解：二次函数的顶点式为，该形式下抛物线的顶点坐标为， 对比题目中的抛物线，可得，， 因此该抛物线的顶点坐标为． 12．如果抛物线的图像向右平移5个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 【答案】 【答案】5 【分析】根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，再利用对称轴是轴的条件求解. 【详解】解：将抛物线向右平移5个单位后，根据“左加右减”的平移规律，得到平移后的解析式为. ∵ 平移后抛物线的对称轴是轴，顶点式的对称轴为，对称轴轴即. ∴ . ∴ . 13．如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】找出二次函数图象在一次函数图象的上方部分即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，当时，则x的取值范围是或． 14．已知二次函数，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【分析】求出在内，二次函数的增减性，进而求出最大值与最小值，由此即可得． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴当时，的最小值为0，最大值为9， ∴． 15．2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用长20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区，且留如图所示的两个1米宽的小门．设长为x米，宣传区的面积为S米，则S的最大值是________． 【答案】108 【分析】根据题意表示出的长，根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，求出x的取值范围，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设长为x米，则米， 由题意得，， ∵墙长20米，且矩形的边长为正数， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为108． 16．如图，杂技团进行表演时，一位杂技演员从跷跷板的右端A点精准地跳向人梯顶端的椅子B点．若将杂技演员的身体视为一个质点，其运动轨迹构成了抛物线的一部分．当演员距离起跳点A的水平移动长度为2.5时，达到了抛物线轨迹的最高点，此时的高度为4.75．已知起跳点A到原点О的距离为1．由于表演场地的限制，人梯到起跳点A的水平距离固定为4，那么，为了确保杂技演员能跳到人梯顶端的椅子B点，人梯的高度应该是_______． 【答案】 【分析】根据题意确定抛物线顶点坐标为，起跳点A坐标为，设抛物线顶点式解析式，代入点A求出系数，最后将代入解析式求解． 【详解】解：由题意可知，起跳点A在y轴上，且， ∴点A的坐标为， ∵当演员距离起跳点A的水平移动长度为时，达到了抛物线轨迹的最高点，此时的高度为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵人梯到起跳点A的水平距离固定为， ∴点B的横坐标为4， 当时，， ∴人梯的高度应该是． 三、解答题（72分） 17．在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中m为常数． (1)当抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； (2)当抛物线与直线只有一个交点时，求该抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）联立抛物线和直线解析式，然后根据题意得到，求出即可求出该抛物线的表达式． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ， ∴抛物线的表达式为． （2）解：令， 整理得，， ． ∵抛物线与直线只有一个交点， ，即， 解得， ∴抛物线的表达式为． 18．随着人工智能的迅速发展，某AI企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税48.4万元．若每年保持相同的增长率，求该企业这两年缴税的年平均增长率． 【答案】 该企业这两年缴税的年平均增长率为 【分析】设年平均增长率为x，根据2023年与2025年的缴税额，利用二次增长的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该企业这两年缴税的年平均增长率为x， 根据题意，得 解得 ， ∵ 年平均增长率为正数 ∴不符合题意，舍去 答：该企业这两年缴税的年平均增长率为． 19．已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 【答案】(1) 解：列表， 0 1 2 3 4 2 2 描点，连线，函数图象，如下图： (2)或 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可得，当时，或． 20．已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）①将，代入抛物线，将其改写为顶点式，进而得到顶点坐标； ②先根据平移规律得到新抛物线的表达式，再将点代入，得到h关于n的表达式，最后根据n的取值范围求出h的取值范围； （2）先确定抛物线的对称轴，再结合已知条件分情况讨论，根据二次函数的单调性求出b、c的值，进而得到抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：当，时，抛物线， 则抛物线的顶点坐标为； ②解：由①知抛物线， 将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线为：， 将点代入新抛物线得：，即， 由于， 则当时，有最小值，最小值为1， 当时，， 当时，， 因此，h的取值范围为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， 则 即当时，；时，， 代入抛物线得， 解得或（舍去）， 则该抛物线的表达式为． 21．东湖公园有一座抛物线形的拱门，如图，以拱门底部所在的直线为x轴、以拱门的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，测得拱门的跨度AB是4m，拱门的最高处离地面4m． (1)求这条抛物线的解析式； (2)一辆宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过，能否顺利通过？通过计算作出判断． 【答案】(1)这条抛物线的解析式为． (2)宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，不能顺利通过拱门． 【分析】（1）根据题意得，，拱门的顶点为，可设这条抛物线的解析式为，代入拱门的顶点解出即可得这条抛物线的解析式． （2）当宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，车的左边对应的横坐标为，右边对应的横坐标为1，计算出此时拱门的高度，再跟车顶离地面3.2m比较即可判断此箱式货车能不能顺利通过拱门． 【详解】（1）解：如图， 根据题意得：，，拱门的顶点为， ∴可设这条抛物线的解析式为， ∴，解得：， ∴， ∴这条抛物线的解析式为． （2）解：如图， 由（1）得：这条抛物线的解析式为， 当宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，车的左边对应的横坐标为，右边对应的横坐标为1， 当时，， ∴此时拱门的高度为3米， ∵车顶离地面3.2m， ∴宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，不能顺利通过拱门． 22．某粮店经销一种玉米胚芽油，进价为每桶30元．当售价为每桶40元时，每天可售出60桶；市场调查表明，售价每上涨1元，每天的销售量就减少2桶． (1)设每桶售价上涨元，用含的代数式表示该粮店每天的销售利润（元）； (2)若粮店要求每天的销售利润达到750元，且要尽量让利给顾客，求每桶售价应定为多少元． 【答案】(1) (2)45元 【分析】（1）根据每天的销售利润每桶的利润销售量列式求解即可； （2）根据（1）所求建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或． 当时，售价为45元；当时，售价为55元． ∵要尽量让利给顾客， ∴售价应定为每桶45元 23．定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． (1)点和点B在抛物线上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12，求b，c的值； (2)点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”．若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标． 【答案】(1)， (2)点的横坐标为，点的横坐标为 【分析】（1）根据“黄金搭档点”的定义求出，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）得抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，则点的纵坐标为，点的纵坐标为，再结合点M，N的纵坐标相等，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12， ∴， ∵点和点B在抛物线上， ∴， 解得； （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 设点的横坐标为，则点的横坐标为，则点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点M，N的纵坐标相等， ∴， 解得， ∴， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 24．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标． (2)若D是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值． (3)已知H是抛物线上的一点，连接，若，直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为4 (3)点H的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式可得顶点坐标； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设，如图，过点作轴的垂线交于点，则，进而得，再由的面积为：，根据二次函数的性质求最值； （3）分两种情况讨论：当点H在上方时，连接，由得，则，代入抛物线的解析式求出对应的值即可；当点在下方时，交x轴于点，设，由得，在中由勾股定理求出值，即可得点的坐标，然后由待定系数法求出直线解析式，联立直线解析式和抛物线的解析式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴抛物线的顶点M的坐标为； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入、， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∵D是直线上方抛物线上的一动点， ∴ ， ∴的面积为：， ∵， ∴当，的面积有最大值，为4； （3）解：分以下两种情况： 当点H在上方时，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴； 当点在下方时，交x轴于， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 把点代入得：， 解得：， 所以直线解析式为， ∴点的坐标满足：， 解得：（舍去）或， ∴， 综上所述，若，点的坐标为或． 试卷第10页（共19页） 试卷第1页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 $