第5章 二次函数 单元培优卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 2026~2027学年九年级数学《二次函数》单元培优卷，整合2023-2026年多地中考真题，覆盖二次函数图象性质、平移、最值、动态几何及实际应用，适配单元复习培优，提升综合解题能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|17小题|二次函数平移（题1）、顶点与对称轴（题2）、区间最值（题4）、图象与系数关系（题6-10）|结合中考真题，注重概念辨析与数形结合| |填空题|8小题|过定点问题（题18）、新定义“Y函数”（题23）、几何图形与函数综合（题20）|融入创新情境，考查知识迁移能力| |解答题|15小题|解析式求解（题26）、动态几何与函数最值（题27）、实际应用（题35销售利润）、存在性问题（题32菱形判定）|强调综合应用，体现数学建模与逻辑推理，契合中考命题趋势|

2026~2027学年第一学期九年级数学《二次函数》单元培优卷 一．选择题（共17小题） 1．（2026•徐州）在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 2．（2026•甘孜州）对于抛物线y＝3（x﹣5）2﹣4，以下说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5 C．顶点坐标为（5，4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小 3．（2026•台湾）已知坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+5）2﹣20的图形，甲、乙两人提出以下看法： 【甲】此函数图形上某个点的y坐标为﹣15； 【乙】此函数图形上某个点的y坐标为25． 对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（　　） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4．（2024•乐山）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 5．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2 6．（2023•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论： ①abc＞0； ②b＝2a； ③3a+c＝0； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2． 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 9．（2023•宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（　　） A．点（1，2）在该函数的图象上 B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8 C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x的左侧 10．（2023•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．点（﹣2，0）在函数图象上 11．（2023•大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 12．（2023•大庆）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y（m2）与点P的运动时间t（s）之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．12m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2 13．（2023•枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 14．（2023•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2023•丹东）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2023•呼和浩特）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论： ①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等． ②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2时，0． ③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则m或m． ④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2023•鞍山）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC，BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 18．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为　 　 ． 19．（2026•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）经过（1，0），（0，2）两点．下列五个结论： ①抛物线不经过第三象限； ②将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则m＝1； ③b＜﹣2； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的整数根，则满足条件的整数a的值只有一个； ⑤对于函数，若，则当x＜1时，y随x的增大而增大． 其中正确的是　 　 （填写序号）． 20．（2026•苏州）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝　 　 ． 21．（2024•淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝ 　 　 ． 22．（2023•泰州）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 　 　 .（填一个值即可） 23．（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数yx2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 　 　 ． 24．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　 　 ． 25．（2023•无锡）二次函数y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m），有下列结论： ①该函数图象过定点（﹣1，2）； ②当m＝1时，函数图象与x轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧； ④当1＜m时，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，x2＜0，则y1＞y2． 其中，正确结论的序号为 　 　 ． 三．解答题（共15小题） 26．（2025•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线l：y＝x﹣1与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接MB、MD，设点M的纵坐标为n，当MB＝MD时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90°后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 27．（2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D（0，﹣1），连接BC，DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； （3）M，N是抛物线上的两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为G，H．是否存在点M，N，使得以M，N，G，H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 28．（2025•德州）已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+n（m，n为常数）过点（1，5）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）． ①求该抛物线的解析式； ②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，求t的取值范围； （2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，此时抛物线y＝x2+（2m+3）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长． 29．（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A，C．直线x＝t与两个图象G1，G2分别交于点M，N，与x轴交于点P． （1）求b，c的值． （2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值． （3）设点M，N到直线AC的距离分别为m，n．当m+n＝4时，对应的t值有　 　 个；当m﹣n＝3时，对应的t值有　 　 个；当mn＝2时，对应的t值有　 　 个；当1时，对应的t值有　 　 个． 30．（2025•湖南）如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA，点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当PB＞QC时，求证：x1+x2＞2； ②当PB＞RD时，求证：x1+x3＜2； （3）如图，若，延长PB交x轴于点T，射线QT、TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO，．记t＝R1Q1﹣ON，试探究：当x1为何值时，t有最大值？并求出t的最大值． 31．（2024•枣庄）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m． （1）求m的值； （2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围． 32．（2024•绥化）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCPtan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答） （3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标． 33．（2024•广元）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标； （3）作抛物线F关于直线y＝﹣1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 34．（2024•威海）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2． （1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）： ①x1+x2　 　 x3+x4；②x1﹣x3　 　 x2﹣x4；③x2+x3　 　 x1+x4． （2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围； （3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，求b的值． 35．（2024•青岛）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园： 第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园： 第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图： （1）A樱桃园第x天的单价是 　 　 元/盒（用含x的代数式表示）； （2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本） （3）①y2与x的函数关系式是 　 　 ； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？ （4）这15天中，共有 　 　 天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大． 36．（2024•无锡）已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由； （3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2024•内江）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值． 38．（2024•牡丹江）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为 　 　 ． 39．（2024•呼和浩特）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，m）． （1）若m＝1，则b＝　 　 ，通过配方可以将其化成顶点式为 　 　 ； （2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0且2x1+2x2≤5，比较y1与y2的大小关系，并说明理由； （3）若b＝0，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y＝kx交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接AF，CF．求证：CF2CE． 40．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 2026~2027学年第一学期九年级数学《二次函数》单元培优卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共17小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B C B B B D C B D 题号 12 13 14 15 16 17 答案 C C C A B B 一．选择题（共17小题） 1．（2026•徐州）在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 【答案】B 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将函数y＝（x﹣1）2+4的图象向左平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝（x+2﹣1）2+4＝（x+1）2+4， 再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2+4﹣1＝（x+1）2+3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 2．（2026•甘孜州）对于抛物线y＝3（x﹣5）2﹣4，以下说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5 C．顶点坐标为（5，4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】根据所给二次函数解析式，结合二次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为抛物线的解析式为y＝3（x﹣5）2﹣4， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为（5，﹣4），当x＞5时，y随x的增大而增大， 所以只有B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2026•台湾）已知坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+5）2﹣20的图形，甲、乙两人提出以下看法： 【甲】此函数图形上某个点的y坐标为﹣15； 【乙】此函数图形上某个点的y坐标为25． 对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（　　） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】B 【分析】根据题意，将y＝﹣15和y＝25分别代入函数解析式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 当y＝﹣15时， ﹣（x+5）2﹣20＝﹣15， 则（x+5）2＝﹣5， 此方程无解， 所以此函数图形上不存在纵坐标为﹣15的点， 故甲错误； 当y＝25时， ﹣（x+5）2﹣20＝25， 则（x+5）2＝﹣45， 此方程无解， 所以此函数图形上不存在纵坐标为25的点， 故乙错误， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．（2024•乐山）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于t的不等式组即可解决问题． 【解答】解：因为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，﹣1）． 因为1﹣（﹣1）＝3﹣1， 所以x＝﹣1和x＝3时的函数值相等． 因为﹣1≤x≤t﹣1，当x＝﹣1时，函数取得最大值， 所以t﹣1≤3， 又因为当x＝1时，函数取得最小值， 所以t﹣1≥1， 所以1≤t﹣1≤3， 解得2≤t≤4． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2 【答案】B 【分析】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案． 【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标， 关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标， 如图： 由图可知，x1＜x3＜x4＜x2， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． 6．（2023•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论： ①abc＞0； ②b＝2a； ③3a+c＝0； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2． 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据图象特征可判断①，根据对称轴可判断②，根据抛物线与x轴的交点即对称轴确定抛物线与x轴的另一个交点后可判断③，将方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解看作y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点可判断④，由点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称可判断⑤． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确， ∵x1， ∴b＝﹣2a，故②错误， ∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＝0，故③正确， 方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看作y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点， ∵﹣k2≤0， ∴当y＝﹣k2过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k2＝0有两个相等的实数根，故④错误， ∵点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称， ∴y1＝y2，故⑤正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 7．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①根据函数的图象特征即可得出结论． ②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论． ③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得出解析式，再求出t的值即可得出结论． ④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出y得取值范围． 【解答】解：①∵直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax+bx﹣3相交于点A，B， ∴由图象可知：当﹣2＜x＜3时，直线y1＝mx+n在抛物线y2＝ax+bx﹣3的上方， ∴y1＞y2， ∴①正确． ②由图象可知：抛物线y2＝ax+bx﹣3有两个交点， ∴方程ax2+bx﹣3＝0有两个不相等的实数根． ∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解， ∴②正确． ③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 当x＝﹣1时，t1＝0， 当x＝4时，t2＝5， ∴t1＜t2， ∴③正确． ④由③可知（﹣2，5）与点（4，5）关于对称轴为直线x对称， ∴对称轴为直线x1． 将x＝1代入抛物线解析式得y＝﹣4， ∴当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5． 当﹣2＜x＜3时，﹣4≤y＜5． ∴④错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，利用数形结合的思想是解决此类问题的关键． 8．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】D 【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴kx＝ax2﹣a， ∴ax2﹣kx﹣a＝0， ∴， ∴， 当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限， 当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限， 综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 9．（2023•宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（　　） A．点（1，2）在该函数的图象上 B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8 C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x的左侧 【答案】C 【分析】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将a＝1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为（2，﹣1），据此可对选项B进行判断；令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据a＞0得，据此可对选项C进行判断． 【解答】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a ∵a≠0， ∴y＝2﹣2a≠2， ∴点A（1，2）不在该函数的图象上， 故选项A不正确； ②当a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）， 即当x＝2时，y＝﹣1＜0， 故得选项B不正确； ③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0， ∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0， ∴该函数的图象与x轴一定有交点， 故选项C正确； ④∵该抛物线的对称轴为直线：， 又∵a＞0， ∴， ∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧， 故选项D不正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与x轴有无交点的方法． 10．（2023•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．点（﹣2，0）在函数图象上 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负；利用对称轴为直线x＝1，可得出2a+b与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），再结合对称轴为直线x＝1，可得出另一个交点坐标． 【解答】解：A：由二次函数的图形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A错误． B：因为二次函数的对称轴是直线x＝1，则1，即2a+b＝0．故B正确． C：因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C错误． D：因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），且对称轴为直线x＝1，所以它与x轴的另一个交点的坐标为（﹣1，0）．故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键． 11．（2023•大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，结合当0≤x≤3时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【解答】解：由二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣1可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线x1． 又1﹣0＜3﹣1， 所以当x＝3时，函数取得最大值， y＝32﹣2×3﹣1＝2． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键． 12．（2023•大庆）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y（m2）与点P的运动时间t（s）之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．12m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2 【答案】C 【分析】首先根据题意知道AB：BC＝1：，设AB＝a，则BC，从而可用a和t表示出△PBQ的面积，即为图2中二次函数的关系式；再根据图象可知顶点纵坐标为3，根据顶点公式可求出a的值，从而得到了AB和BC的值；最后再根据∠ABC＝120°这一条件，求出平行四边形的高，从而得到面积． 【解答】解：由题意可知：AB：BC＝1：，设AB＝a，则BC， 如图，过点P作PE垂直于CB的延长线于点E， ∵PA＝t，则PB＝a﹣t，BQ， 在Rt△PBE中，∠PBE＝180°﹣∠ABC＝60°， ∴PE， 则y，化简得：y． 由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为3， ∴3， ∴a2＝16， ∵a为正数， ∴a＝4， ∴AB＝4，则BC， 如图，过点A作AF垂直于CB的延长线于点F， 在Rt△ABF中，∠ABF＝60°， ∴AF， ∴S▱ABCD＝BC×AF24 （m2）． 故答案为：C． 【点评】本题属于运动综合题，将动点问题的函数图象与解三角形、图形面积结合起来考查．解题的关键是审清题意，找出平行四边形两邻边的关系，并通过设参数的形式列出动点的函数关系式，并对照函数图象上已知的顶点纵坐标求出平行四边形的边长，从而求出平行四边形面积． 13．（2023•枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负； ②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围； ③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小； ④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x＝﹣1，得到3a+c＞0，即6a+2c＞，因为a＞0，所以得出11a+2c＞0； ⑤化简不等式，用a表示b，根据a＞0及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：①根据图象可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴1，即b＝﹣2a． ∴b＜0， ∴abc＞0． 故①错误． ②方程ax2+bx+c＝0，即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点， 根据图象已知一个交点﹣1＜x1＜0，关于x＝1对称， ∴另一个交点2＜x2＜3． 故②正确． ③∵对称轴是直线x＝1， ∴点（，y2）离对称轴更近， ∴y1＞y2， 故③错误． ④∵1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+c， 根据图象，令x＝﹣1， y＝a+2a+c＝3a+c＞0， ∴6a+2c＞0， ∵a＞0， ∴11a+2c＞0， 故④正确． ⑤m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣2am≥a﹣2a， am2﹣2am≥﹣a， 即证：m2﹣2m+1≥0， m2﹣2m+1＝（m﹣1）2， ∴m为任意实数，m2﹣2m+1≥0恒成立． 故⑤正确． 综上②④⑤正确， 故选：C． 【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考查学生在函数图象中数形结合的能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值． 14．（2023•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝﹣1和经过点C（﹣3，0），再结合抛物线的对称性即可解决问题． 【解答】解：因为二次函数的图象过点C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1， 所以由抛物线的对称性可知，点（1，0）也在抛物线上． 将（1，0）代入二次函数解析式得， a+b+c＝0． 故①正确． 因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， 所以，即b﹣2a＝0． 又a+b+c＝0， 则将a＝﹣b﹣c代入b﹣2a＝0得， 2c+3b＝0． 故②正确． 因为﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1， 所以点A离对称轴更近． 则当a＞0时，y1＜y2； 当a＜0时，y1＞y2． 故③错误． 由ax2+bx+c＝k（x+1）得， ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0． 又a+b+c＝0，2c+3b＝0， 得． 则（b﹣k）2﹣4a（c﹣k） ＝（）2﹣4×（）（c﹣k） ． 又k＞0， 所以0． 即该方程有两个不相等的实数根． 故④正确． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据抛物线的对称轴及经过定点得出a，b，c的关系是解题的关键． 15．（2023•丹东）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【解答】解：根据所给函数图象可知， a＞0，b＞0，c＜0， 所以abc＜0， 故①错误． 因为抛物线y＝ax2+bx的图象可由抛物线y＝ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到， 所以抛物线y＝ax2+bx的增减性与抛物线y＝ax2+bx+c的增减性一致． 则当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 又x1＜x2，且x1+x2＜﹣2， 若x2＜﹣1， 则E，F两点都在对称轴的左侧， 此时y1＞y2． 故②错误． 作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC， 此时PC+PD的值最小． 将A（﹣3，0）代入二次函数解析式得， 9a﹣3b+c＝0， 又， 即b＝2a， 所以9a﹣6a+c＝0， 则c＝﹣3a． 又抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c）， 则点C坐标为（0，﹣3a）， 所以点C′坐标为（0，3a）． 又当x＝﹣1时，y＝﹣4a， 即D（﹣1，﹣4a）． 设直线C′D的函数表达式为y＝kx+3a， 将点D坐标代入得， ﹣k+3a＝﹣4a， 则k＝7a， 所以直线C′D的函数表达式为y＝7ax+3a． 将y＝0代入得， x． 所以点P的坐标为（，0）． 故③正确． 将方程ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4整理得， ax2+bx+c＝2b﹣4， 因为方程没有实数根， 所以抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2b﹣4没有公共点， 所以2b﹣4＜﹣4a， 则2b﹣4＜﹣2b， 解得b＜1， 又b＞0， 所以0＜b＜1． 故④错误． 所以正确的有③． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据所给函数图象得出a，b，c的正负及巧妙利用抛物线的对称性和增减性是解题的关键． 16．（2023•呼和浩特）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论： ①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等． ②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2时，0． ③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则m或m． ④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据二次函数的对称轴为x，可得x＝3，再由3即可判断结论①； ②将点C（2，﹣13）代入抛物线解析式可求得m＝1，即y＝x2﹣6x﹣5，当x＞3时，y随x的增大而增大．即可判断结论②； ③当x＝3时，y＝﹣5﹣9m，当x＝6时，y＝﹣5，根据若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，分两种情况：若m＞0，则﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，若m＜0，则﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，解不等式即可判断结论③； ④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小，由﹣14≤y≤n2+1，可得﹣5﹣9m＝﹣14或n2﹣6n﹣5＝n2+1，解方程即可判断结论④． 【解答】解：①二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5的对称轴为x3， ∵x1＝3+a和x2＝3﹣a关于直线x＝3对称， ∴对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等， ∴①符合题意； ②将点C（2，﹣13）代入y＝mx2﹣6mx﹣5，得﹣13＝4m﹣12m﹣5，解得m＝1． ∴函数的解析式为y＝x2﹣6x﹣5， 当x＞3时，y随x的增大而增大． ∴当x1＞x2时，y1＞y2， ∴0． ∴②不符合题意； ③∵y＝mx2﹣6mx﹣5＝m（x﹣3）2﹣5﹣9m， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3， 当x＝3时，y＝﹣5﹣9m， 当x＝6时，y＝﹣5， ∵若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个， ∴若m＞0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大， 则﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8， ∴m； 若m＜0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小， 则﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1， ∴m； ∴m或m． ∴③符合题意； ④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小， ∵﹣14≤y≤n2+1， ∴﹣5﹣9m＝﹣14， 解得：m＝1， ∴n2﹣6n﹣5＝n2+1， 解得：n＝﹣1， ∴④不符合题意； 综上所述，正确结论有①③，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 17．（2023•鞍山）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC，BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住运动过程中的关键时刻，在O点左侧，正方形由部分到全部在△OAB内以及运动到直线MN经过点O，即可解决问题． 【解答】解：在运动的第一阶段， 令HE和FG与AB的交点分别为I和K， 因为直线MN沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移， 则IE＝FK， 又AB＝4，BC，则∠BAO＝60°． 所以AI＝BK＝t，则IK＝4﹣2t，即EF＝4﹣2t． 故S． 据此可以排除掉A和D． 再继续向右运动时，正方形全部在△AOB内， 此时S＝（4﹣2t）2． 据此又可以排除掉C． 故选：B． 【点评】本题是一道动点运动的函数图象问题，能得出重叠部分的面积和直线MN运动时间t的关系式是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 18．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为m＜﹣1　 ． 【答案】m＜﹣1． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 19．（2026•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）经过（1，0），（0，2）两点．下列五个结论： ①抛物线不经过第三象限； ②将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则m＝1； ③b＜﹣2； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的整数根，则满足条件的整数a的值只有一个； ⑤对于函数，若，则当x＜1时，y随x的增大而增大． 其中正确的是　①④⑤　 （填写序号）． 【答案】①④⑤． 【分析】先代入已知点得到系数关系c＝2，b＝﹣a﹣2，再逐一判断每个结论的正误．对于①，容易判断当x＜0时，y＞0，因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与x轴的交点为（1，0）和，故存在两种平移方案；对于③，由a＞0与b＝﹣a﹣2即可判断；对于④，结合②的结论可得是不等于1的正整数，因此a＝1；对于⑤，代入可得，当x＜1时，x2﹣5x+4＞0，且随x的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（1，0），（0，2），代入得： c＝2，a+b+c＝0， 整理得：b＝﹣a﹣2， ∴y＝ax2﹣（a+2）x+2， 当x＜0时， ∵a＞0， ∴ax2＞0，﹣（a+2）x＞0， ∴y＝ax2﹣（a+2）x+2＞0， ∴抛物线不经过第三象限， 故①正确，符合题意； 将y＝0代入y＝ax2﹣（a+2）x+2，得： ax2﹣（a+2）x+2＝0， 解得：x＝1或， ∴抛物线与x轴的交点为（1，0）和， ∴向左平移m（m＞0）个单位后，交点变为（1﹣m，0）和， ∵平移后过原点， ∴m＝1或，因此m不一定等于1， 故结论②错误，不符合题意； ∵a＞0， ∴b＝﹣a﹣2＜﹣2． ∵对称轴直线x≥1，即1，且a＞0， ∴﹣b≥2a， ∴﹣b≥2（﹣a﹣2）， ∴b≥﹣4， ∴﹣4≤b≤﹣2， 故结论③错误，不符合题意； 由②可得，方程ax2+bx+c＝0的根为x＝1和， ∵方程有两个不相等的整数根，且a为正整数， ∴为不等于1的正整数，即a为2的正因数，且a≠2， ∴a＝1， 故结论④正确，符合题意； 对于⑤：∵， ∴， ∴， 设t＝x2﹣5x+4， ∴t与x成二次函数关系， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当x＜1时，t随x的增大而减小， 又∵当x＝1时，t＝1﹣5+4＝0， ∴t＞0， ∵， ∴y与t成反比例函数关系， ∵t＞0， ∴y随t的增大而减小， 又∵t随x的增大而减小， ∴y随x的增大而增大， 故结论⑤正确，符合题意， 综上所述，正确的结论为①③④⑤， 故答案为：①④⑤． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 20．（2026•苏州）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝　5　 ． 【答案】5． 【分析】先求出抛物线顶点的坐标，据此表示出BN的长，再分别求出点A和点B的坐标，据此表示出AB的长，最后根据四边形ABNM为正方形建立方程进行求解即可． 【解答】解：由题知， 因为y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， 所以抛物线的顶点坐标为（m，1）． 因为点B在直线y＝a上且BN⊥l， 所以BN＝a﹣1． 由x2﹣2mx+m2+1＝a得， x， 所以AB． 因为四边形ABNM为正方形， 所以AB＝BN， 则， 解得a＝1（舍去）或a＝5， 所以a的值为5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 21．（2024•淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝ 　　 ． 【答案】． 【分析】解：①由A1（1，0）得B1（1，），由A2（2，0）得B2（2，1），先求出直线A1B2和直线A2B1的解析式，再求出C1坐标，最后求出ai．同理求出a2，找出规律，再计算即可． 【解答】解：①由A1（1，0）得B1（1，）， 由A2（2，0）得B2（2，1）， 设直线A1B2的解析式为y＝kx+b， 代入由A1（1，0），B2（2，1）得： ， ∴k＝1，b＝﹣1， ∴直线A1B2的解析式为y＝x﹣1， 同理直线A2B1的解析式为yx， 联立得x﹣1x， ∴x， ∴C1（，）， ∴ai（）÷[1×（2）]． ②由A3（3，0）得B3（3，）， 同①方法得直线A2B3的解析式为yx， 直线A3B2的解析式为y＝﹣x+3， 联立得xx+3， ∴x， ∴C2（，）， ∴a21×（）÷[（）]， …， ∴a2024． 解法二：由题意A1B112，A2B222，A3B332，A4B442， ∵△A1B1C1∽△A2B2C1， ∴a1＝（）2＝（）2， 同法可得a2，…， ∴a2024． 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象上点的坐标特征，掌握求点的坐标方法，求直线解析式的方法，同时找到规律是解题关键． 22．（2023•泰州）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 　﹣3（答案不唯一）　 .（填一个值即可） 【答案】﹣3（答案不唯一）． 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【解答】解：设二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2， 即一元二次方程x2+3x+n＝0的根为x1、x2， 由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝n， ∵二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧， ∴x1，x2为异号， ∴n＜0， 故答案为：﹣3（答案不唯一）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用． 23．（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数yx2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 　（3，0）或（4，0）　 ． 【答案】（3，0）或（4，0）． 【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：当k＝0时，函数解析式为y＝﹣x﹣3， 它的“Y函数”解析式为y＝x﹣3，它们的图象与x轴都只有一个交点， ∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）； 当k≠0时，此函数为二次函数， 若二次函数的图象与x轴只有一个交点， 则二次函数的顶点在x轴上， 即， 解得k＝﹣1， ∴二次函数的解析式为， ∴它的“Y函数”解析式为， 令y＝0， 则， 解得x＝4， ∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0）， 综上，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）． 故答案为：（3，0）或（4，0）． 【点评】本题考查了新定义，二次函数与x轴的交点坐标，坐标与图形变换﹣轴对称，求一次函数解析式和二次函数解析式，理解题意，采用分类讨论的思想是解题的关键． 24．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　﹣1＜n＜0　 ． 【答案】﹣1＜n＜0． 【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴为直线x＝1的左侧，点B在对称轴为直线x＝1的右侧和点B在对称轴为直线x＝1的左侧，点A在对称轴为直线x＝1的右侧两种情况求解即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为：x1， ∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵y1＜y2， ∴若点A在对称轴为直线x＝1的左侧，点B在对称轴为直线x＝1的右侧， 由题意可得：， 不等式组无解； 若点B在对称轴为直线x＝1的左侧，点A在对称轴为直线x＝1的右侧， 由题意可得：， 解得：﹣1＜n＜0， ∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0． 故答案为：﹣1＜n＜0． 【点评】本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键． 25．（2023•无锡）二次函数y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m），有下列结论： ①该函数图象过定点（﹣1，2）； ②当m＝1时，函数图象与x轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧； ④当1＜m时，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，x2＜0，则y1＞y2． 其中，正确结论的序号为 　①②④　 ． 【答案】①②④． 【分析】抛物线整理为y＝x2+（2m﹣1）x+2m＝x2+2mx﹣x+2m＝2m（x+1）+x2﹣x可判断①，将m＝1代入并计算b2﹣4ac即可判断②，计算抛物线对称轴并根据m可判断③，根据题意确定对称轴的范围后可确定P、Q的位置，再根据增减性可判断④． 【解答】解：y＝x2+（2m﹣1）x+2m＝x2+2mx﹣x+2m＝2m（x+1）+x2﹣x， 当x＝﹣1时，y＝2， ∴该函数图象过定点（﹣1，2），故①正确； 当m＝1时，y＝x2+x+2， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0， ∴函数图象与x轴无交点，故②正确； 抛物线的对称轴为：x， ∵m， ∴， ∴当m时，对称轴在y轴左侧，当m时，对称轴在y轴右侧，故③错误； ∵， ∴﹣1m， ∵﹣3＜x1＜﹣2，x2＜0， ∴P（x1，y1）在对称轴左侧，Q（x2，y2）在对称轴右侧， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴当x＝﹣2时，y1最小＝y＝4﹣4m+2+2m＝﹣2m+6， 当x＝0时，y2最大＝2m， 此时，y1﹣y2＝﹣4m+6， ∵， ∴﹣4m+6＞0， ∴y1＞y2，故④正确， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查的是二次函数的综合题，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征． 三．解答题（共15小题） 26．（2025•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线l：y＝x﹣1与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接MB、MD，设点M的纵坐标为n，当MB＝MD时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90°后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）n的值为﹣3；（3）点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先联立抛物线与直线l：y＝x﹣1求出交点D的坐标，再求出对称轴，则得到点M的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）设 P（m，0），由旋转得∠NPH＝90°，PN＝PH，当m＜﹣1时，过点P作y轴的平行线，过点H，N分别作平行线的垂线，垂足为点F，E，证明△PEN≌△HFP（AAS），表示出H（4+m，1+m），将点H（4+m，1+m）代入y＝﹣x2﹣2x+3，得﹣（4+m）2﹣2（4+m）+3＝1+m，解方程即可；当m＞﹣1时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）联立得：， 解得：，， ∴D（﹣4，﹣5）， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为N（﹣1，4）， 设M（﹣1，n）， ∵MB＝MD， ∴MB2＝MD2， ∴（﹣1﹣1）2+（n﹣0）2＝（﹣1+4）2+（n+5）2， 解得：n＝﹣3， ∴n的值为﹣3； （3）由（2）得顶点N（﹣1，4）， 设P（m，0），由旋转得∠NPH＝90°，PN＝PH， 当m＜﹣1时，过点P作y轴的平行线EF，过点H，N分别作EF的垂线，垂足为点F，E，如图， ∴∠E＝∠F＝∠NPH＝90°， ∴∠EPN+∠ENP＝∠EPN+∠FPH＝90°， ∴∠ENP＝∠FPH， ∴△PEN≌△HFP（AAS）， ∴EN＝PF＝﹣1﹣m，PE＝FH＝4， ∴H（4+m，1+m）， 将点 H（4+m，1+m）代入y＝﹣x2﹣2x+3，得﹣（4+m）2﹣2（4+m）+3＝1+m， 整理得：m2+11m+22＝0， 解得：m， ∴P（，0）或P（，0）； 当m＞﹣1时，过点P作y轴的平行线，过点H，N分别作平行线的垂线，垂足为点F，E，如图， ∴∠E＝∠F＝∠NPH＝90°， ∴∠EPN+∠ENP＝∠EPN+∠FPH＝90°， ∴∠ENP＝∠FPH， ∴△PEN≌△HFP（AAS）， ∴EN＝PF＝m+1，PE＝FH＝4， ∴H（m﹣4，﹣m﹣1）， 将点H（m﹣4，﹣m﹣1）代入y＝﹣x2﹣2x+3，得﹣（m﹣4）2﹣2（m﹣4）+3＝﹣m﹣1，整理得：m2﹣7m+4＝0， 解得：m， ∴P（，0）或P（，0）； 综上，所有符合条件的点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 27．（2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D（0，﹣1），连接BC，DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； （3）M，N是抛物线上的两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为G，H．是否存在点M，N，使得以M，N，G，H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（，）；（3）存在，正方形的边长为或9． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）解法1：设P（t，t2﹣2t﹣3），连接OP，利用图形的面积建立方程求解即可；解法2：连接CP，根据面积关系证得CP∥BD，求得直线CP的表达式，联立方程组求解即可； （3）分三种情况讨论：①若点M，N分别在直线BC的两侧，②若点M，N在直线BC的下方，③若点M，N在直线BC的上方，分别画出图形，利用正方形性质建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴设y＝a（x﹣1）2﹣4， 把C（0，﹣3）代入，得：﹣3＝a﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3； （2）解法1：设P（t，t2﹣2t﹣3），连接OP，如图1， ∵S△CDE＝S△PBE， ∴S△CDE+S四边形BODE＝S△PBE+S四边形BODE， 即S△BCO＝S四边形BODP＝S△POB+S△POD， ∴3×33×（﹣t2+2t+3）1×t， 解得：t1＝0（舍去），t2， ∴P（，）； 解法2：如图2，连接CP， ∵S△CDE＝S△PBE， ∴S△CDE+S△BDE＝S△PBE+S△BDE， 即S△BCD＝S△BPD， ∴CP∥BD， 设直线BD的表达式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线BD的表达式为yx﹣1， 设直线CP的表达式为yx+c，把C（0，﹣3）代入得：c＝﹣3， ∴直线CP的表达式为yx﹣3， 联立得， 解得：（舍去），， ∴P（，）； （3）满足条件的点M、N存在． 理由如下： ①若点M，N分别在直线BC的两侧， 不妨令点M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如图3， 可知∠MGH＝90°， 则∠MGN＝∠MGH+∠HGN＞90°，不符合题意． ②若点M，N在直线BC的下方， 不妨设点M在点H的下方，如图4， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，连接MH，GN，则△MGN是等腰直角三角形，∠HGN＝45°， ∴GN⊥y轴，MH⊥x轴， 设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中0＜m＜3， 则点H坐标为（m，m﹣3）， 根据正方形的性质得：点N的坐标为（，）， 将点N的坐标代入抛物线表达式y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）， 得（3）（1）， 即（m2﹣5m+6）（m2﹣5m﹣2）＝2（m2﹣m﹣6）， 化简得（m﹣2）（m﹣3）（m2﹣5m﹣2）＝2（m﹣3）（m+2）， ∵0＜m＜3， ∴（m﹣2）（m2﹣5m﹣2）＝2（m+2）， 整理得m2﹣7m+6＝0， 解得：m1＝1，m2＝6（舍去）， 此时，MH＝2，正方形边长为． ③若点M，N在直线BC的上方， 不妨设点M在点H上方，如图5， 设点M（m，m2﹣2m﹣3），其中m＜0或m＞3， 根据正方形性质，点N坐标为（，）， 将点N的坐标代入抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）， 同理可得：m1＝1（舍去），m2＝6， 此时，MH＝18，正方形的边长为9． 综上所述，正方形的边长为或9． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特点，多边形的面积，正方形性质等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 28．（2025•德州）已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+n（m，n为常数）过点（1，5）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）． ①求该抛物线的解析式； ②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，求t的取值范围； （2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，此时抛物线y＝x2+（2m+3）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长． 【答案】（1）①抛物线的解析式为y＝x2+5x﹣1； ②t≤﹣3或t≥1； （2）MN． 【分析】（1）①代入点坐标，利用待定系数法算解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性质，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把（1，5）代入解析式，找到m和n的关系，借助图象研究函数恒成立问题，求出m的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【解答】解：（1）①∵抛物线y＝x2+（2m+3）x+n过点（1，5）和（0，﹣1）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+5x﹣1； ②抛物线y＝x2+5x﹣1的对称轴为x， B（2，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣7，y2）， ∵对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2， ∴由图象性质得3t+2≤﹣7或3t﹣1≥2， 解得t≤﹣3或t≥1； （2）∵抛物线y＝x2+（2m+3）x+n过点（1，5）， ∴1+2m+3+n＝5， 则n＝1﹣2m， ∵对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2， ∴x2+2mx﹣1﹣2m≥0对任意实数x都成立， ∴Δ＝4m2﹣4（﹣1﹣2m）≤0， （m+1）2≤0， ∴m＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝x2+x+3， 联立抛物线y＝x2+x+3与直线y＝4， 得x2+x+3＝4， 解得， ∴交点M，N的横坐标分别为和， ∴MN． 【点评】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． 29．（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A，C．直线x＝t与两个图象G1，G2分别交于点M，N，与x轴交于点P． （1）求b，c的值． （2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值． （3）设点M，N到直线AC的距离分别为m，n．当m+n＝4时，对应的t值有　2　 个；当m﹣n＝3时，对应的t值有　0　 个；当mn＝2时，对应的t值有　4　 个；当1时，对应的t值有　无数　 个． 【答案】（1）b的值为4，c的值为3； （2）MN的最大值为； （3）2，0，4，无数． 【分析】（1）先求出A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），再用待定系数法可求b，c的值； （2）由（1）知G2的表达式为y＝x2+4x+3，设P（t，0）（﹣3≤t≤0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3），故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t）2，根据二次函数的性质即可得到MN的最大值； （3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，如图1所示，由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝x+3，则∠CAB＝45°，∠MES＝∠NER ＝45°，MS＝m，RN＝n，从而ME，RN，即ME＝NE，进而得m＝n，①当m+n＝4时，即m＝n＝2，故MN，又﹣3≤t≤0时，MNmax，那么由图可知当t＜﹣3时或t＞0时，共2种情况满足题意；②当m﹣n＝3时，即m＝n+3，这与m＝n相矛盾，故不成立，对应的t值有0个；③当mn＝2时，由m＝n可知，m＝n，故ME＝2，故2，即t2+3t＝±2，可解得t有4个值； ④当1时，m＝n恒成立，所以对应的t值有无数个． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1）， ∴令y＝0，可得x＝﹣3或1， 即A（﹣3，0），B（1，0）， 把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c中，可得 ，解得， 故b的值为4，c的值为3； （2）由（1）知G2的表达式为y＝x2+4x+3， 设P（t，0）（﹣3≤t≤0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3）， 故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t）2， 即MN的最大值为； （3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，如图1所示， 由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝x+3， ∴∠CAB＝45°， ∴∠MES＝∠NER＝45°， ∵MS＝m，RN＝n， ∴ME，NE， ∵E（t，t+3）， ∴ME，NE， 即ME＝NE， 进而可得m＝n， ①当m+n＝4时， 即m＝n＝2，故MN， 当﹣3≤t≤0时，MNmax， 那么由图可知当t＜﹣3时或t＞0时，共2种情况满足题意， 故对应的t值有2个； ②当m﹣n＝3时，即m＝n+3，这与m＝n相矛盾，故不成立，对应的t值有0个； ③当mn＝2时，由m＝n可知，m＝n， 故ME＝2， ∴2，即t2+3t＝±2， 解得t＝﹣2或﹣1或或， 故对应的t值有4个； ④当1时， ∵m＝n恒成立， ∴对应的t值有无数个． 故答案为：2，0，4，无数． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数与坐标轴的交点的求法，二次函数与线段，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，难度不大，注意分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题关键． 30．（2025•湖南）如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA，点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当PB＞QC时，求证：x1+x2＞2； ②当PB＞RD时，求证：x1+x3＜2； （3）如图，若，延长PB交x轴于点T，射线QT、TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO，．记t＝R1Q1﹣ON，试探究：当x1为何值时，t有最大值？并求出t的最大值． 【答案】（1）二次函数的表达式为y； （2）见解析； （3）x时，t的最大值为． 【分析】（1）把点A（2，2）代入二次函数y＝ax（x﹣4）中，可得a，进而可得二次函数的表达式； （2）先求出直线OA的表达式为y＝x，选择①：由题意可知P（x1，2x1），B（x1，x1），Q（x2，2x2），C（x2，x2），故PBx1，QCx2，根据PB＞QC，可得不等式x1，整理变形后可得x1+x2＞2；选择②：同理得R（x3，2x3），D（x3，x3），故RDx3，由PB＞RD，可得不等式x1x3，整理变形后可得x1+x3＜2； （3）由待定系数法可求得直线AP的表达式为y＝（1）x+x1，设直线AP交y轴于点G，如图2所示，先证明△GOA≌△TOA（SAS），进而可得∠AMN＝∠TAO，再证明△TOA≌△TNM（AAS），可得TN＝TO＝x1，ON＝2x1，作QH⊥x轴于点H，则tan∠QTH，又tan∠QTH＝tan∠Q1TO，即，故OQ1．由待定系数法可得直线RT的表达式为y＝（）x，即OR1，故R1Q1＝OQ1+OR1，t＝R1Q1﹣ON2x1，当x1时，t的最大值为． 【解答】解：（1）把点A（2，2）代入二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）中， 得﹣4a＝2，故a， 故此二次函数的表达式为y． （2）证明：选择①：由A（2，2）可知直线OA的表达式为y＝x， 由题意可知P（x1，2x1），B（x1，x1），Q（x2，2x2），C（x2，x2）， 故PB2x1﹣x1x1，QCx2， ∵PB＞QC，即x1x2， 整理可得（x2﹣x1）（x2+x1）＞x2﹣x1，由于x2﹣x1＞0， 故（x2+x1）＞1， 即x1+x2＞2； 选择②：同理得R（x3，2x3），D（x3，x3）， 故RDx3， ∵PB＞RD，即x1x3， 整理可得（x3﹣x1）（x3+x1）＞x3﹣x1，由于x3﹣x1＜0， 故（x3+x1）＜1， 即x1+x3＜2； （3）由待定系数法可求得直线AP的表达式为y＝（1）x+x1， 设直线AP交y轴于点G，如图2所示， 则OG＝x1＝OT， ∵∠GOA＝∠TOA＝45°， 在△GOA和△TOA中， ， ∴△GOA≌△TOA（SAS）， ∴∠PAO＝∠TAO， ∵∠AMN＝∠PAO， ∴∠AMN＝∠TAO， ∵AO2MN， 在△TOA和△TNM中， ， ∴△TOA≌△TNM（AAS）， ∴TN＝TO＝x1，ON＝2x1， 作QH⊥x轴于点H， 则tan∠QTH， 又∵tan∠QTH＝tan∠Q1TO， 即， ∴OQ1＝（）x1． ∵T（x1，0），R（x1，）， ∴由待定系数法可得直线RT的表达式为y＝（）x， 即OR1， ∴R1Q1＝OQ1+OR1， ∴t＝R1Q1﹣ON2x1， 故当x1时，t的最大值为． 即当x时，t的最大值为． 【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，因式分解，不等式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，计算量稍大，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题关键． 31．（2024•枣庄）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m． （1）求m的值； （2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围． 【答案】（1）m＝1； （2）新的二次函数的最大值与最小值的和为11； （3）． 【分析】（1）把点P（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3（a＞0）可得b＝﹣2a，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点Q（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，可得：a＝1，可得抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得x1+x2＝2，，结合，4＜x2﹣x1＜6，再建立不等式组求解即可． 【解答】解：（1）∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上， ∴4a+2b﹣3＝﹣3， 解得：b＝﹣2a， ∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴m＝1； （2）∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上， ∴a﹣2a﹣3＝﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1， ∵0≤x≤4， ∴当x＝1时，函数有最小值为1， 当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11； （3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）． ∴x1+x2＝2，， ∵， ∴， ∵4＜x2﹣x1＜6， ∴即， 解得：． 解法二：∵4＜x2﹣x1＜6，抛物线对称轴是直线x＝1， ∴2＜x2﹣1＜3， ∴3＜x2＜4， ∴当x＝3时，y＜0，x＝4时，y＞0， ∴ 解得：． 【点评】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键． 32．（2024•绥化）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCPtan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答） （3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x+1； （2）存在，满足条件的点P的坐标为P1（，），P2（，）； （3）点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4）或（3，4）． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，由题意得tan∠BCPtan∠ACB，由tan∠BCP，可得BMBC4＝2，即|yM﹣1|＝2，得出M1（0，3），M2（0，﹣1），利用待定系数法可得：直线CM1的解析式为yx+3，直线CM2的解析式为yx﹣1，分别与抛物线联立求解即可； （3）先求得平移后的抛物线解析式为y′＝﹣x2+5，联立求得D（1，4），由题意设E（2，t），F（m，n），又B（0，1），根据菱形的性质分三种情况：当BD、EF为对角线时，当BE、DF为对角线时，当BF、DE为对角线时，分别根据对角线互相平分，邻边相等建立方程组求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，4），B（0，1）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x+1； （2）存在．理由如下： ∵BC∥x轴，且B（0，1）， ∴点C的纵坐标为1， ∴1＝﹣x2+4x+1， 解得：x1＝0（舍去），x2＝4， ∴C（4，1）， 过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图， 在Rt△ACQ中，∵A（3，4）， ∴Q（3，1）， ∵tan∠BCPtan∠ACB， ∴tan∠BCP， ∵BC＝4，∠CBM＝90°， ∴tan∠BCP， ∴BMBC4＝2， ∴|yM﹣1|＝2， ∴yM＝3或﹣1， ∴M1（0，3），M2（0，﹣1）， ∴直线CM1的解析式为yx+3，直线CM2的解析式为yx﹣1， 由，解得，（舍去）， 由，解得，（舍去）， ∴P1（，），P2（，）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（，），P2（，）； （3）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5， ∴原抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5）， ∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y′， ∴y′＝﹣x2+5， 联立得， 解得：， ∴D（1，4）， 又B（0，1）， 设E（2，t），F（m，n）， 当BD、EF为对角线时， 则， 解得：， ∴F（﹣1，3）； 当BE、DF为对角线时， 则， 解得：或， ∴F（1，4）与点D重合，不符合题意，舍去，或F（1，﹣2）； 当BF、DE为对角线时， 则， 解得：或， ∴F（3，4）或F（3，4）； 综上所述，点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4）或（3，4）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，解直角三角形的应用，菱形性质，第（3）问要分类讨论，避免漏解． 33．（2024•广元）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标； （3）作抛物线F关于直线y＝﹣1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+2； （2） 的最大值为，此时点C的坐标为（，）； （3）G点坐标（﹣2，0）或（4，6）或（2，4）． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，可知△CDM∽△ODB，由此得到，设C（t，﹣t2﹣2t+2），则M（t，t+2），所以CM＝﹣（t）2，当t时，CM有最大值，此时 的最大值为，此时点C的坐标为（，）； （3）由中心对称可知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝﹣1与抛物线F的右交点，求出E（1，﹣1），抛物线F'的顶点坐标为（3，﹣5），设G（m，m+2），当BE为平行四边形的对角线时，G（﹣2，0）；当BG为平行四边形对角线时，G（4，6）；当BH为平行四边形的对角线时，G（2，4）． 【解答】解：（1）将A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入 y＝﹣x2+bx+c， 得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+2； （2）如图1，过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴， ∴△CDM∽△ODB， ∴， 设AB的解析式为y＝mx+n， 把A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入解析式得， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝x+2， 设C（t，﹣t2﹣2t+2），则M（t，t+2）， ∴CM＝﹣t2﹣2t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2， ∵﹣3＜t＜0， ∴当t时，CM有最大值，此时 的最大值为， 此时点C的坐标为（，）； （3）设抛物线F与F′关于点（m，﹣1）对称， ∵F：y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，顶点为（﹣1，3）， ∴F′：y＝（x﹣2m﹣1）2﹣5， 则（x﹣2m﹣1）2﹣5＝﹣（x+1）2+3， 整理得：x2﹣2mx+2m2+2m﹣3＝0， ∵抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧）， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（2m2+2m﹣3）＝0， 解得：m＝﹣3（舍去），或m＝1， ∴E（1，﹣1）， ∵抛物线F：y＝﹣x2﹣2x+2 的顶点坐标为（﹣1，3）， ∴点（﹣1，3）关于点E（1，﹣1）的对称点坐标为（3，﹣5）， ∴抛物线F'的顶点坐标为（3，﹣5）， 设G（m，m+2）， 当BE为平行四边形的对角线时，m+3＝1，解得m＝﹣2， ∴G（﹣2，0）； 当BG为平行四边形对角线时，m＝3+1＝4， ∴G（4，6）； 当BH为平行四边形的对角线时，m+1＝3时，解得m＝2， ∴G（2，4）； 综上所述：G点坐标（﹣2，0）或（4，6）或（2，4）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形相似的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 34．（2024•威海）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2． （1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）： ①x1+x2　＝　 x3+x4；②x1﹣x3　＜　 x2﹣x4；③x2+x3　＞　 x1+x4． （2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围； （3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】（1）＝；＜；＞； （2）﹣4＜b＜﹣3； （3）b的值为或． 【分析】（1）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣b，以及x3+x4＝﹣b，即可判断①，利用二次函数的图象与性质得到x1＜x3＜x4＜x2，进而得到x2﹣x1＞x4﹣x3，利用不等式性质变形，即可判断②③； （2）根据题意得到3＜x2+x1＜4，结合x1+x2＝﹣b 进行求解，即可解题； （3）分三种情况讨论：①当0b时，最小值为，x＝1取得最大值；②当b≤1时，最小值为，x＝0取得最大值；③当b≥1时，x＝0取得最大值，x＝1取得最小值． 【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2， ∴x1+x2＝﹣b，且抛物线开口向上， ∵ 与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4， 即y＝x2+bx+c（b＜0）向上平移1个单位， ∴x1＜x3＜x4＜x2，且x3+x4＝﹣b， ∴①x1+x2＝x3+x4； ∵x2﹣x1＞x4﹣x3 ∴x2﹣x4＞x1﹣x3，即②x1﹣x3＜x2﹣x4； ∴x2+x3＞x1+x4，即③x2+x3＞x1+x4， 故答案为：＝；＜；＞； （2）∵x1＝1，2＜x2＜3， ∴3＜x2+x1＜4 ∴3＜﹣b＜4， ∴﹣4＜b＜﹣3； （3）抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）顶点坐标为，对称轴为直线， 当x＝0时，y＝c； 当x＝1时，y＝1+b+c； ①当0b时，最小值为，x＝1取得最大值， ∴， 解得（舍去）或， ②当b≤1时，最小值为，x＝0取得最大值， c， 解得b或b（舍）； ③当b≥1时，x＝0取得最大值，x＝1取得最小值， ∴c﹣（1+b+c）， b（舍去）， 综上所述，b的值为或． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，解题的关键在于熟练掌握二次函数图象与性质． 35．（2024•青岛）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园： 第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园： 第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图： （1）A樱桃园第x天的单价是 　（﹣2x+52）　 元/盒（用含x的代数式表示）； （2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本） （3）①y2与x的函数关系式是 y2＝﹣30x2+500x+25　 ； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？ （4）这15天中，共有 　4　 天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大． 【答案】（1）﹣2x+52； （2）； （3）①y2＝﹣30x2+500x+25； ②第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元； （4）4． 【分析】根据表格和图象找出关键信息，运用待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为：m＝kx+b， 由题中表格可知：当x＝1时，m＝50；当x＝2时，m＝48； ∴，解得， ∴m＝﹣2x+52， 故答案为：﹣2x+52； （2）根据题意可得：y1＝（﹣2x+52）（10x+10）﹣745， 化简整理得：， ∴A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式为：； （3）①由图象可知：二次函数的图象经过点（1，495）、（2，905）， ∴，解得， ∴y2＝﹣30x2+500x+25， 故答案为：y2＝﹣30x2+500x+25； ②50x2+1000x﹣200 ＝﹣50（x﹣10）2+4800， ∵﹣50＜0， ∴当x＝10时，y1+y2有最大值4800， ∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元； （4）由题可知：y2＞y1， ∴﹣30x2+500x+25＞﹣20x2+500x﹣225即﹣10x2＞﹣250， 解得：﹣5＜x＜5， ∵x取正整数， ∴1≤x≤4， ∴这15天中共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大， 故答案为：4． 【点评】本题综合考查了一次函数、二次函数、不等式等相关的知识点，实际问题中运用函数关系正确表示利润是解答的关键． 36．（2024•无锡）已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由； （3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）时，y1＞y2；时，y1＝y2；时，y1＜y2； （3）存在，或或N（0，﹣5）或N（0，5）或或． 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入y＝ax2+x+c，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出y1，y2，再用作差法得出y1﹣y2＝m，进行分类讨论即可； （3）求出直线AB的函数解析式为y，然后进行分类讨论：当PQ为正方形的边时；当PQ为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【解答】解：（1）把，B（2，1）代入y＝ax2+x+c得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）∵C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上， ∴y1，y2， ∴y1﹣y2m， 当时，即时，y1＞y2； 当时，即时，y1＝y2； 当时，即时，y1＜y2； （3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+e， 把，B（2，1）代入得：， 解得：， ∴直线AB的函数解析式为， 当PQ为正方形的边时， ①∵B（2，1）， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，如图1， ∵PQ∥MN，MG∥x轴， ∴∠BOC＝∠NMG， ∴，则MG＝2NG， 设NG＝t，则MG＝2t， ∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1）， ∴点N的纵坐标为﹣2t2﹣2t+1+t＝﹣2t2﹣t+1， 即N（0，﹣2t2﹣t+1）， ∵以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形， ∴∠PMN＝90°，PM＝MN， ∴∠PMH+∠NMG＝90°， ∵∠PMH+∠MPH＝90°， ∴∠NMG＝∠MPH， ∵∠NMG＝∠MPH，∠H＝∠MGN，PM＝MN， ∴△PHM≌△MGN， ∴PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t， ∴P（﹣3t，﹣2t2+1）， 把P（﹣3t，﹣2t2+1）代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图2：构造Rt△MQG，Rt△NMH， 和①同理可得：△MQG≌△NMH，， 设NH＝GM＝2t，则QG＝MH＝t， ∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），Q（t，﹣2t2+4t+1）， 把Q（t，﹣2t2+4t+1）代入得：， 解得：（舍去）， ∴N（0，﹣5）； ③如图3：构造Rt△GMN，Rt△HPM， 和①同理可得：△GMN≌△HPM，， 设GN＝HM＝2t，则GM＝HP＝t， ∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣t+1），P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1）， 把P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1）代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图4：构造Rt△GMN，Rt△HNP， 和①同理可得：△GMN≌△HNP，， 设GM＝HN＝2t，则GN＝HP＝t， ∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），P（t，﹣2t2﹣t+1）， 把P（t，﹣2t2﹣t+1）代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当PQ为正方形对角线时， ⑤如图5：构造矩形HGJI，过点P作PK⊥IJ于点K， ∴PK∥x轴， ∴∠QPK＝∠BOC， ∴， 设QK＝x，则PK＝2x， 和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI， ∴HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI， ∴四边形HGJI为正方形， ∴PK＝IJ＝2x， ∴，则， ∴， 设PG＝HN＝t，则PH＝GM＝3t， ∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+6t+1），P（﹣t，﹣2t2+3t+1）， 把P（﹣t，﹣2t2+3t+1）代入得：， 解得：（舍去）， ∴N（0，5）； ⑥如图6：构造Rt△PMH，Rt△NPG， 同理可得：， 设PG＝HM＝t，则PH＝GN＝3t， ∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣6t+1），P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1）， 把P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1）代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或N（0，﹣5）或N（0，5）或或． 【点评】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 37．（2024•内江）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值． 【答案】（1）猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元； （2）y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+1200x﹣35000（52≤x≤70），且最大利润为1000元． 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣20）元，根据商家用5000元购进的猪肉粽和用3000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）由题意得，当x＝52时，每天可售出180盒，当猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70）时，每天可售[180﹣10（x﹣52）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣20）元， 则， 解得：a＝50， 经检验a＝50是方程的解， 此时a﹣20＝30， ∴猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元； （2）由题意得，当x＝52时，每天可售出180盒， 当猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70）时，每天可售[180﹣10（x﹣52）]盒， ∴y＝（x﹣50）[180﹣10（x﹣52）]＝（x﹣50）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1200x﹣35000＝﹣10（x﹣60）2+1000， ∵﹣10＜0，52≤x≤70， ∴当x＝60时，y取最大值，最大值为1000元， 答：y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+1200x﹣35000（52≤x≤70），且最大利润为1000元． 【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式． 38．（2024•牡丹江）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为 　　 ． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线BC的解析式，然后过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，根据求出面积的最大值，然后求高PN即可． 【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）令y＝0，则， 解得：x1＝﹣1，x2＝6， ∴点B的坐标为（6，0）， ∴， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为， 过点P作PD⊥x轴交BC于点D，如图， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴， ∴S△PBCPD•OB6（3x）（x﹣3）2， ∴△PBC最大值为， ∴PN， 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 39．（2024•呼和浩特）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，m）． （1）若m＝1，则b＝　2　 ，通过配方可以将其化成顶点式为 y＝（x﹣2）2﹣8　 ； （2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0且2x1+2x2≤5，比较y1与y2的大小关系，并说明理由； （3）若b＝0，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y＝kx交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接AF，CF．求证：CF2CE． 【答案】（1）2，y＝（x﹣2）2﹣8；（2）y1＞y2；（3）证明见解答． 【分析】（1）将（﹣1，1）代入抛物线解析式求解，即可得出b的值，再化为顶点式即可； （2）由m＞0，抛物线经过（﹣1，m）可得b的取值范围，从而可得抛物线对称轴，由2x1+2x2≤5可得点（x1，y1），（x2，y2）到对称轴距离的大小关系，进而求解； （3）先求得平移后的抛物线解析式，与直线联立求得点A、B的坐标，根据中点得出点E及F的坐标，运用两点间距离公式即可证得结论． 【解答】（1）解：∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，1）， ∴1＝（﹣1）2﹣2b×（﹣1）﹣4， 解得：b＝2， ∴y＝x2﹣4x﹣4， 化成顶点式为y＝（x﹣2）2﹣8， 故答案为：2，y＝（x﹣2）2﹣8； （2）解：将（﹣1，m）代入y＝x2﹣2bx﹣4得m＝1+2b﹣4＝2b﹣3， ∵m＝2b﹣3＞0， ∴b， ∵y＝x2﹣2bx﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线xb， ∵2x1+2x2≤5， ∴， ∵x1＜x2， ∴y1＞y2； （3）证明：如图， ∵直线y＝kx与y轴交于点C， ∴C（0，）， 当b＝0时，原抛物线解析式为y＝x2﹣4，向上平移4个单位得到的新抛物线解析式为y＝x2， 与直线y＝kx联立得， 解得：，， 当A（，） 时， ∵点E为AC中点， ∴E（，）， ∵EF⊥x轴， ∴F（，0）， 根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2， CE， ∴CF2CE； 当A（，）时， ∵点E为AC中点，∴E（，），F（，0）， 根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2， CE， ∴CF2CE． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 40．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9； （2）点P的位置见解答；P点的坐标为（0，6）； （3）b的取值范围为． 【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+9，待定系数法求解即可； （2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求； （3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得b的取值范围即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9， 把点A（3，0）代入，得： 9a+9＝0， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9； （2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求； 把x＝1代入y＝﹣x2+9，得： y＝8， ∴B（1，8） 设直线A′B的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得：， ∴y＝2x+6， 令x＝0，得y＝6， ∴P点的坐标为（0，6）； （3）y＝﹣x2+2bx+b﹣1＝﹣（x﹣b）2+b2+b﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为（b，b2+b﹣1）， 当0＜b≤4时，得： ﹣62+12b+b﹣1≥9， 解得：， ∴b≤4， 当4＜b＜6时， 由b﹣4＞6﹣b，得： b＞5， ∴﹣42+8b+b﹣1≥9， 解得：， ∴5＜b＜6； 由b﹣4≤6﹣b，得： b≤5， ∴﹣62+12b+b﹣1≥9， ∴4＜b≤5； ∴当4＜b＜6时，都成立； 当b≥6时，得： ∴﹣42+8b+b﹣1≥9， 解得：， ∴b≥6都成立； 综上所述，b的取值范围为． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $